Ponentes

Resumen: En esta charla daremos una mirada general a la K-teoría topológica, la cual es introducida alrededor de 1960 por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch. Hablaremos de algunas propiedades de la K-teoría y de su utilidad como invariante topológico en el mundo de la topología algebraica. Comenzaremos con algunas definiciones y proposiciones básicas de los fibrados vectoriales para luego aplicar la construcción de Grothendieck y generar los grupos de K-teoría. Posteriormente, mencionaremos el teorema de periodicidad de Bott y la clasificación homotópica de la K-teoría. Por último, hablaremos de algunas variantes de K-teoría, específicamente de la K-teoría equivariante y la K-teoría equivariante torcida.

Referencias

[1] M. F. Atiyah. K-Theory. W. A. Benjamin; 1st edition. (1967).

[2] M. F. Atiyah and G. Segal. Twisted K-theory. Ukr. Mat. Visn. 1(3) (2004) 287–330.

[3] A. Hatcher. Vector bundle and K-theory. Online notes. (2003).

[4] A. Mukjheree. Atiyah-Singer Index Theorem. Hindustan Book Agency. (2013).

[5] G. Segal. Equivariant K-theory. Publications Math ́ematiques de l’IHES, Tome 34. (1968) 129–151.

Resumen: La clasificación de módulos indescomponibles de dimensión finita sobre álgebras de Lie no semisimple es extremadamente complicada y no se conoce tal clasificación, incluso para  álgebras de Lie de dimensiones bajas. Por ejemplo, A. Piard en [Pi] clasifica algunos módulos indescomponibles para el álgebra de Lie sl(2) n V (1) donde V (1) es el sl(2)-m ́odulo irreducible de peso m áximo 1, que tiene una gran importancia en la física (ver [BG]). Más recientemente, en 2017, P. Casati generaliza los resultados de Piard para las  álgebras de Lie sl(n + 1) n Cn+.

Para entender mejor la clasificaci ón de módulos indescomponibles una estrategia natural es identificar una clase distinguida de módulos indescomponibles para la cual se pueda esperar una clasificación razonable. Una de estas clases distinguidas son los módulos uniseriales, los cuales juegan un rol muy importante en  álgebras asociativas. En 2013, L. Cagliero y F. Szechman clasificaron los módulos uniseriales para la familia de  álgebra de Lie  perfectas sl(2) n V (m) donde V (m) es un sl(2)-módulo irreducible de peso máximo m ≥ 1.

Además, en 2016, L. Cagliero, L. Gutiérrez Frez y F. Szechtman clasificaron los módulos uniseriales para la familia de  álgebras de Lie perfectas sl(2) n hn donde hn es el álgebra de Heisenberg de dimensión 2n + 1. Una pregunta natural que surge de estas clasificaciones es entender la categoría monoidal generada por los módulos uniseriales y en particular, si los productos tensoriales se expresan en suma de uniseriales. Para responder a esta pregunta un camino natural es estudiar submódulos especiales de estos productos tensoriales como lo son el zócalo y el radical, en esta charla hablaremos del zócalo del producto tensorial de dos módulos uniseriales tanto para la familia de  álgebras de Lie sl(2) n V (m) como para la familia sl(2) n hn. Además, daremos un ejemplo en el que el producto tensorial de dos sl(2) n V (m)-módulos uniseriales es indescomponible (no uniserial) y otro ejemplo en el cual el producto tensorial es descomponible en el cual uno de los sumandos no es uniserial.

Resumen: Al estudio de la biodiversidad se ha sumado durante los  últimos años una novedosa disciplina denominada ecoacústica, esta se puede entender como el estudio de la composición de todos los sonidos escuchados en un lugar, bien sean biológicos, geológicos o antropogénicos. Tal composición o suma de sonidos se llama también el paisaje sonoro de la localidad. Un sistema de análisis ecoacústico automatizado consta de las siguientes etapas: adquisición de los datos (grabadoras), preprocesamiento (filtros y transformadas) y análisis o caracterización. Las técnicas de procesamiento digital de señales y de reconocimiento automático de patrones juegan un papel esencial en este análisis, particularmente en las dos  últimas etapas. El preprocesamiento consiste en el filtrado de las señales para remover ruidos ambientales y perturbaciones eléctricas, así como en su posterior transformación desde el dominio del tiempo a otro dominio más conveniente o informativo, usualmente el dominio tiempo frecuencia obtenido mediante la aplicación de la transformada de Fourier de tiempo corto, cuya magnitud se visualiza como una imagen llamada espectrograma. En la etapa subsiguiente, los espectrogramas son analizados con el fin de extraer información de valor que brinde nuevo conocimiento a biólogos o ecólogos y suministre evidencia científica para la toma de decisiones conducentes a la conservación de la biodiversidad y el paisaje natural. La factorización no negativa de matrices y sus variantes son técnicas ampliamente usadas en la bioacústica, pues permiten reducir la dimensión de los datos, mejoran la interpretabilidad debido a la no negatividad de sus factores y también pueden usarse como un método de agrupamiento.

En este proyecto de tesis de doctorado se pretende diseñar una metodología de análisis de paisajes sonoros, empleando métodos de factorización no negativa eficientes y dinámicos, con el fin de enriquecer la caracterización de su estructura mediante la consideración de aspectos como la percepción, la interpretación y la variabilidad en el tiempo.

Resumen: En los últimos diez años, el aprendizaje profundo o Deep Learning, ha alcanzado un desarrollo signficativo en ámbitos tanto científicos como prácticos, encontrando numerosas aplicaciones en muchas áreas del conocimiento y del desarrollo cientifíco en general. En este proceso, se ha creado la necesidad de aplicar métodos matemáticos y estadísticos cada vez más complejos y sofisticados, que han permitido el análisis de grandes cantidades de datos, con resultados cada vez más eficientes y eficaces, tanto en lo computacional como en lo metodológico. Uno de los aspectos en donde ha sido más notoria la necesidad de tener herramientas y técnicas sofisticadas del Deep Learning ha sido en el análisis de información no estructurada y una de las técnicas que más se usan para este n es el Procesamiento de Lenguaje Natural o NLP por sus siglas en inglés. Esta técnica ha sido usada con gran éxito en áreas como la minería de datos, traducción automática, sistemas de búsqueda de respuestas, generación de resúmenes automáticos, análisis de sentimientos y extracción de datos, entre otros. Sobre los primeros se han hecho importantes avances, sin embargo, en el área de la extracción de datos, todavía hay mucho camino por recorrer, especialmente en la extracción de datos de información no estructurada que se presenta en formatos de texto. En esta charla se propone, por un lado, identificar el estado actual del uso de técnicas y herramientas de Machine Learning y Deep Learning en algunos ámbitos del conocimiento y las áreas en donde tiene mayor aplicabilidad. Por otro lado, se propone hacer una revisión general de los fundamentos matemáticos que soportan la aplicación de este tipo de técnicas en la extracción de datos y realizar algunas demostraciones que muestran el potencial de este campo de estudio

Resumen: En esta charla se presentan varios modelos tipo SIR que han sido empleados para entender ataques de hombres lobos, zombis y vampiros, pero más allá de la ciencia ficción estos modelos pueden aplicarse a modelos epidemiológicos y en especial al COVID 19 y la evolución de la pandemia en Colombia, en la cual se establecen políticas y comportamientos que ayudarán a mitigar el virus.  En esta charla se presentan tres esquemas importantes:

2.1.  Covid 19 y sistema inmunológico:  Se presenta un modelo gobernado por un sistema de ODEs que permite estudiar en cierta forma la interacción del virus con el sistema inmune. 

2.2.  Covid 19 y Clasificación:  Se muestra una estrategia bajo fractales para clasificar el virus y posibles cepas. 

2.3.  Evolución de la pandemia: Se presentan modelos para predecir el comportamiento de la pandemia en Colombia de tipo estocásticos y determinísticos.

Resumen: En esta charla se explicará la definición de álgebras topológicas de Azumaya y su relación con la teoría de álgebras centrales simples sobre un campo. Se presentará un resultado de descomposición de álgebras topológicas de Azumaya sobre un complejo CW.

Resumen: El uso de la teoría de probabilidades imprecisas en el análisis de confiabilidad de estructuras, ha tomado fuerza en los últimos años. Esto, debido a que la teoría clásica de probabilidades ha demostrado no ser suficiente para modelar problemas en los cuales la cantidad limitada de información, hace imposible la construcción de modelos de probabilidad precisos que permitan una evaluación exacta de la probabilidad de falla para sistemas mécanicos y estructurales. En este sentido, la teoría de conjuntos aleatorios permite la estimación del intervalo de probabilidad cuando existen incertidumbre aleatoria y epistémica. Con esta teoría, es posible modelar variables básicas como CDFs, cajas de probabilidad e intervalos, entre otros. Además, permite representar la dependencia de las variables de entrada por medio de copulas. A partir de esto, se presentan algunas formulaciones para estimar el intervalo de la probabilidad de falla, basada en la teoría de evidencia de Dempster-Shafer y como un problema de  optimización del diseño basado en confiabilidad. Se preentarán metodologías para obtener el intervalo de falla basadas en la teoría de conjuntos aleatorios y en las propiedades de visualización y representación, proporcionadas por la transformación en coordenadas polares de los datos.

Resumen: Localidad es un concepto que recorre la literatura de la física y la matemática. En pocas palabras indica que un evento u observable solamente interactúa con eventos u observables en su vecindad; esto se puede modelar como multiplicaciones parciales. Por otro lado, en el año 2000 Connes y Kreimer demostraron la utilidad de las álgebras de Hopf para la renormalización de diagramas de Feynman. En esta charla empezaré por definir las álgebras de Hopf, luego introduciré una formulación algebraica de la localidad (multiplicaciones parciales); y si el tiempo lo permite presentaré un teorema estructural (Milnor-Moore) y una aplicación (factorización de Birkhoff-Hopf) de las álgebras de Hopf de localidad.

Resumen: A partir de la modernización de la administración pública, se ha admitido la profesión de matemático(a) en diversos perfiles de empleos públicos, gracias a que por su formación lógico-deductiva, estos desarrollan competencias aptas para el ejercicio de dichos empleos.