Semana Temática - Verão 2020

Universidade Federal da Bahia: 03 a 06 de Fevereiro de 2020

Local: Sala 12 da Pós-Graduação em Matemática do IME-UFBA

Todos os professores, alunos de graduação e pós-graduação são bem-vindos!!

• Minicurso 1: Thiago Bomfim (UFBA), 6 horas (4 aulas).

Grandes desvios em Sistemas Dinâmicos.

Resumo:

A teoria de grandes desvios estuda, entre outras coisas, a taxa de convergência com que a média temporal de uma sequência de variáveis aleatórias converge para uma distribuição limite. Em Sistemas Dinâmicos essas ideias são úteis para estimar a velocidade com que as médias de pontos típicos de medidas invariantes ergódicas convergem para a respectiva média espacial. Existem pelo menos três formas de se obter resultados de grandes desvios em Sistemas Dinâmicos, cada uma com suas vantagens. Uma primeira forma é utilizando do esquema de torres de Young para poder se obter um novo sistema, onde já se tem um razoável entendimento, e usar os grandes desvios desse para obter grandes desvios do original. Uma segunda forma é usar algum variante da chamada propriedade de especificação, tentando levar as propriedades de colagem de órbitas para o espaço de medidas invariantes. E uma terceira forma é utilizando a aproximação funcional e suas propriedades fortes para obter grandes desvios.

Nesse minicurso pretendemos abordar o princípio (estimativas) de grandes desvios do ponto de vista de Sistemas Dinâmicos, categorizando as principais técnicas que conhecemos hoje para abordar o problema. Iremos descrever sua origem probabilística, sua primeira interseção com Sistemas Dinâmicos, culminando com o panorama geral que temos hoje nessa área de pesquisa bastante ativa.

• Minicurso 2: Armando Castro (UFBA), 4 horas e 30min (3 aulas).

Técnicas espectrais para o estudo de medidas de estados de equilíbrio.

Resumo:

Neste curso, falaremos dos métodos de Análise para construir e estudar as propriedades ergódicas das medidas de estado de equilíbrio, que são as principais da Teoria Ergódica. Esses métodos também permitem estudar a dependência diferenciável dessas medidas com respeito à dinâmica (linear response formula.)

Programa do Curso:

1a. Aula: Revisão de Teoria Espectral. Componentes Espectrais. Funções Holomorfas de Operadores. Diferenciabilidade de Espaços Invariantes.

2a. Aula: Estados de Equilíbrio. Operadores de transferência. Métodos de Analíticos de Construção via autovetores de operadores de transferência:

- Desigualdade de Lasota-Yorke.

- Cones Projetivos.

3a. Aula: Linear Response Formula. Dependência contínua e diferenciável de estados de equilíbrio com respeito ao potencial e a dinâmica. Alguns resultados conjuntos com C. Liverani.

• Palestra 1: Carlos Siqueira (UFBA)

Teoremas do ponto fixo, superfícies de Riemann e Sistemas Dinâmicos.

Resumo:

Nesta palestra, apresentaremos alguns Teoremas do ponto fixo, com aplicações em Sistemas Dinâmicos reais e complexos, em dimensão finita ou infinita.

• Palestra 2: Cristina Lizana (UFBA)

Invariance of Entropy for maps isotopic to Anosov.

Resumo:

We prove the topological entropy remains constant inside the class of partially hyperbolic diffeomorphisms of $\mathbb{T}^N$ with simple central bundle (that is, when it decomposes into one dimensional sub-bundles with controlled geometry) and such that their induced action on $H_1(\mathbb{T}^N)$ is hyperbolic. In absence of the simplicity condition we construct a robustly transitive counter-example, evidencing the necessity of our assumptions. This is a joint work with P. Carrasco, E. Pujals and C. Vásquez.

• Palestra 3: Edgar Matias (UFBA)

Iterações aleatórias de funções no espaço euclidiano: sincronização e teorema central do limite.

Resumo:

Nesta palestra apresentaremos um teorema central do limite (TCL) para uma classe de iterações aleatórias de funções monótonas (com respeito a uma ordem parcial adequada) em um subconjunto fechado e conexo de um espaço euclidiano. O TCL é obtido como consequência de um fenômeno de sincronização de órbitas aleatórias. Este é um trabalho em colaboração com Eduardo Silva (UNB).

• Palestra 4: Hale Aytaç (UFBA)

Extremes for random transitive dynamics.

Resumo:

In this talk, we will introduce Extreme Value Theory and show that the limiting laws for extreme values of a class of randomly perturbed transitive dynamical systems is standard exponential.

• Comunicação 1: Débora de Oliveira (USP)

A periodicidade de funções e o caos de Li-Yorke.

Resumo:

Ao modelarmos um sistema dinâmico como um espaço métrico compacto X e sua evolução temporal como uma aplicação T : X -> X contínua, podemos estudar matematicamente variadas formas de caos [1]. As principais definições surgem de questões intuitivas que compreendem a complexidade do comportamento da trajetória de um ponto no espaço e a sensibilidade em relação a condições iniciais.

O Li-Yorke chaos [2] que será discutido, investiga o comportamentos de trajetórias. É comum definirmos a dinâmica de um sistema por meio de uma sequência x, f(x), f^2(x), ... que descreve sua evolução temporal. Li e Yorke propõe-se a analisar a caoticidade de um sistema e, de maneira simplificada, introduzem o conceito de caos como "uma situação na qual a sequência {f^n(x)} é não periódica e pode ser dita caótica". A publicação de seu trabalho "Período três implica caos" instigou diversos trabalhos a posteriori, como o Devaney chaos [3] e Distributional chaos [4]. No presente trabalho revisaremos o trabalho desenvolvido por Li e Yorke, analisando suas provas minuciosamente.

Referências:

[1] Jian Li and Xiang Dong Ye. Recent development of chaos theory in topological dynamics. Acta Mathematica Sinica, English Series 32.1 (2016), 83-114.

[2] Tien-Yien Li and James A. Yorke. Period three implies chaos. The American Mathematical Monthly 82.10 (1975), 985-992.

[3] R. L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley Publishing Company Advanced Book Program, Redwood City, CA, second edition, 1989.

[4] Berthold Schweizer and Jaroslav Smital. Measures of chaos and a spectral decomposition of dynamical systems on the interval. Transactions of the American Mathematical Society 344.2 (1994), 737-754.

• Comunicação 2: Kelvyn Emmanoel de Castro Martins Welsch de Souza (USP)

Chain Recurrence and Complete Lyapunov Functions.

Resumo:

This work aims to present some results concerning discrete dynamical systems generated by a homeomorphism of a compact metric space X, whereas our ultimate goal is proving the existence of a continuous Lyapunov function g : X -> R, which is an important tool, for proving stability, for example. During this journey we end up developing a theory about attractors and their dual repellers, besides introducing the concept of epsilon-chain and chain recurrence. Roughly speaking, an epsilon−chain is a sort of orbit which allows little jumps or errors, while chain recurrence uses this concept to extend the usual notion of recurrence. As intermediate results we present some relations between attractors and chain recurrence. Most of this discussion was firstly proposed by Charles Conley [1]. Finally, we also discuss briefly regarding some generalizations of the theory and applications.

Referência:

[1] Charles Conley. Isolated Invariant Sets and the Morse Index. C.B.M.S. Regional Conference Series in Math. 38, American Mathematical Society., Providence, RI, 1978.

• Comunicação 3: Leydiane Campos (UFBA)

Dinâmica das Transformações de Intercâmbio de Intervalos.

Resumo:

Neste trabalho estudamos conjugação por homeomorfismo entre transformações de intercâmbio de intervalos afins e standard. Inicialmente apresentarei definições básicas sobre intercâmbio de intervalos. Em seguida, enunciarei resultados importantes e exibirei um exemplo de conjugação topólogica. Por fim, enunciarei e provarei um critério para conjugação. Isto foi parte do minha dissertação de mestrado sob a supervisão de Prof. Dr. Kleyber Mota.