Semana Temática - Verão 2024

Título:  Hiperbolicidade não-uniforme e medida de entropia máxima.

Resumo: Abordaremos duas formas de hiperbolicidade não uniforme: as funções racionais semi-hiperbólicas e aquelas que satisfazem a condição topológica de Collet-Eckmann. O nosso objetivo é apresentar uma caracterização desses tipos de hiperbolicidade em relação à medida de máxima entropia. A análise incluirá uma exploração do conceito de hiperbolicidade,  interligação com a semi-hiperbolicidade e a condição Topológica de Collet-Eckmann (TCE).

Título: Mapas C1 Robustamente Transitivos

Resumo: Nesta apresentação faremos uma revisão sobre o vínculo entre uma dinâmica robustamente transitiva e propriedades hiperbólicas, onde veremos alguns exemplos dessas dinâmicas e quais relações elas possuem. No caso de difeomorfismos, apresentaremos alguns exemplos clássicos, como o do Mañé e Shub. Comentaremos um pouco sobre condições necessárias para ter mapas C1 robustamente transitivos no contexto de difeomorfismos e endomorfismos,  além de apresentar algumas obstruções topológicas.

Título:  Difeomorfismos de Anosov no Toro

Resumo: Um dos objetivos ao estudarmos sistemas dinâmicos é obter propriedades que sejam persistentes sob certas perturbações, denominadas robustas. Nessa perspectiva, exploraremos a estrutura dual do toro como grupo e variedade, usando como exemplo a indução de um automorfismo hiperbólico sobre o toro, chamados Difeomorfismos de Anosov e, consequentemente, comentaremos sobre alguns resultados interessantes, como transitividade, estabilidade estrutural e expansividade. Mais ainda, estes mapas são C^1-robustamente transitivo.

Título: Minimal distance between random orbits

Resumo: Link

Título: Contribution on the theory of C1-robustly transitive endomorphisms displaying critical points

Abstract (Link): We will present recent results given by different authors about necessary and sufficient conditions in order to obtain C1 robustly transitive endomorphisms. In [Lizana, Ranter '2017] proved for surfaces that these kind of maps displaying critical points has to be partially hyperbolic and they gave some topological obstructions. In [Lizana, Potrie, Pujals, Ranter'2022], the authors proved for manifolds of higher dimension that these maps admit a dominated splitting. In this talk we will comment about some examples of robustly transitive endomorphisms displaying critical points on surfaces introduced in [Lizana, Ranter'2024]  and we will exhibit a new class of examples in higher dimension that are robustly transitive displaying critical points and admitting a dominated splitting but are not partially hyperbolic (work in progress joint with E. Lima).

Título: Geometric and ergodic aspects of nonuniformly hyperbolic flows

Resumo: link

Título:  Finite Measures of Maximal Entropy for Partially Hyperbolic Diffeomorphisms with unidimensional center bundle

Resumo:

Let f be a partially hyperbolic diffeomorphism  with a one-dimensional central direction such that the unstable entropy exceeds the stable entropy. Then f has a finite number of ergodic measures of maximal entropy. Moreover,  any diffeomorphism  g \in C^{1+} near to f in the C^ 1 topology possesses at most the same number of ergodic measures of maximal entropy. These results provide an open class of non Axiom A systems of diffeomorphisms exhibiting a finite number of ergodic measures of maximal entropy. This corresponds to a joint work with Juan Carlos Mongez.

Título: A dimensão métrica média de sistemas dinâmicos

Resumo (link): Os conceitos de entropia métrica e topológica apresentam-se como alguns dos mais importantes indicadores da complexidade de um sistema dinâmico, sendo relacionados através de um princípio variacional.  No entanto é comum que sistemas dinâmicos contínuos e sistemas dinâmicos diferenciáveis em espaços de dimensão infinita têm entropia infinita. Nesta palestra introduziremos o conceito de dimensão métrica média como um dos importantes ingredientes para medir complexidade de sistemas dinâmicos de entropia infinita e falaremos sobre resultados de pesquisa recentes.

Título: Aplicações de normas anisotrópicas  a sistemas com grau topológico variável.

Resumo (link):  Nessa apresentação, exploramos as propriedades espectrais do operador de transferência associado a uma aplicação que apresenta grau topológico variável. A utilização das métricas projetivas de Birkhoff recebeu atenção significativa no contexto de sistemas hiperbólicos, mapas expansores por partes unidimensionais e mapas não uniformemente expansores. Em nosso estudo, aplicamos esta técnica para obter gap espectral para o operador de transferência. Através dessa propriedade é possível obter informações estatísticas importantes para a dinâmica, incluindo a existência de estados equilíbrio, decaimento de correlações e teorema central do limite.

Título: Uma questão proposta por Anatole Katok para Anosov expansor.

Resumo: Anatole Katok propôs aseguinte questão: um difeomorfismo que seja Holder

conjugado a um difeomorfismo de Anosov, seja este global ou local, pode ser considerado também um Anosov? Para difeomorfismos globais a resposta é não, mas conjectura-se que a resposta seja positiva para difeomorfismos locais. Isto é, acredita-se que se f for um difeomorfismo local C^1 e for Hölder conjugado a uma aplicação uniformemente expansora então f é uniformemente expansor. No âmbito de nosso trabalho, temos como objetivo analisar essa questão no contexto de Anosov expansor em dimensões superiores a 1. Em relação ao caso unidimensional, a conjectura foi comprovada no artigo intitulado "On a question of Katok in One-dimensional case", escrito por Jiang Y.

Título: Symmetries of C^r-vector fields on surfaces

Resumo (link): Given r>=1, the discrete C^r-centralizer of a C^r-flow is formed by the set of symmetries of the flow, that is, the set of C^r-diffeomorphisms commuting with it. 

In this lecture I will present a  a recent result obtained joint with Paulo Varandas (UFBA) and Jorge Rocha (CMUP, PT) establishing that if M is a compact surface and 2 < r <\infty,  then there exists a C^r-open and dense subset of vector fields O\subset X^r(M) so that every symmetry of the flow $(X_t)_{t\in \mathbb R}$ generated by $X\in \mathcal O$ is isomorphic to the direct product of the time-t maps of the flow and the space of orbit preserving involutions. 

In particular, there exist C^1-open sets of C^r-Morse-Smale vector fields on surfaces whose C^r discrete centralizer is trivial.