Resumo 

Estudamos uma classe de endomorfirmos de codimensão 1 parcialmente hiperbólicos e provamos que resultados de transição de fase termodinâmica e espectral implicam em análise multifractal para o espectro de Lyapunov, em particular descrevemos a função entropia topológica de conjuntos cujas médias de Birkhoff caem em um certo intervalo. Para dinâmicas monótonas por partes transitivas, mostramos que o conjuntos dos potenciais regulares que não possuem transição de fase termodinâmica e espectral formam um conjunto denso na topologia uniforme e o conjuntos dos potenciais que possuem transição de fase não são densos, em particular descrevemos o comportamento da função pressão topológica em relação à existencia ou não de transição de fase.  

Resumo 

Cayley graphs of finitely generated groups are of course a very particular kind of graph. Several authors have studied the question of which graphs, with certain self-similarity properties, are quasi-isometric to the Cayley graph of a group. In 2012, Eskin, Fisher and Whyte proved that certain homogeneous graphs and certain Lie groups are not quasi-isometric to the Cayley graph of a finitely generated group.

In a foliation for which all leaves are dense, endowed with a (Riemannian) metric, the recurrence of leaves means that they have a certain self-similarity at large scale. It is therefore a natural question, first proposed by G.Hector, whether leaves of a minimal foliation are quasi-isometric to Cayley graphs of groups. 

This is known to be true under certain assumptions. We give a negative answer to this question in general, by presenting an example which has other, unrelated, interesting features.