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먼저 제가 이것을 쓰기로 맘먹은 것은, 요즘같이 LLM이 수학에 활발하게 쓰이는 시대에 (심지어 이 논문도 보면 알겠지만 증명을 검토하는데 LLM을 꽤 썼고, Example은 아예 LLM이 던져줬습니다) 아마 Terence Tao가 말하는 것처럼 "수학을 소화하는 능력" 내지 "수학적 이해를 제시하는 능력"이 "수학적 증명을 내놓는 능력"보다 더 중요해지고 있고, 따라서 어떻게 이 논문을 집필하면서 무슨 실패를 겪었고 어떻게 minimizer에 대한 수학적 이해를 형성하게 되었는지를 쓰면 좋을 것 같아서 쓰게 되었습니다. 보통 논문 안에선 무엇을 실패했는지, 무엇을 새로 이해하게 되었는지 딱히 쓰지 않거나 쓰더라도 짧게만 쓰는 것이 관행이라 (이런 관행은 AI 시대에 바뀌어야 하겠죠), 이렇게 제 홈페이지에 논문을 집필하면서 겪은 실패 내지 형성하게 된 이해를 따로 쓰게 되네요. 아마 이 에필로그는 제가 단독 논문을 하나씩 내놓을 때마다 계속 제 홈페이지에 쓸 예정입니다. 만일 수학계의 관행이 바뀌어서, 이런 실패 기록이나 형성하게 된 수학적 이해를 논문 안에 써놓는 것이 일상이 된다면 이런 에필로그는 안 쓰게 될 지도요?

논문의 시작은 참 바보같았습니다. 그러니까,

1. [BJ20, BLX22]에서 $\delta$-invariant에 대한 minimizer가 존재함을 증명했고,

2. [XZ20]에서 local $\delta$-invariant라고 불리는 걸 정의했다는데,

그렇다면 local $\delta$-invariant의 minimizer가 존재할 것이냐? 이런 문제 말이죠. 아마 제가 2026년 5월달에 [XZ20]을 처음 봤을 테고, 그 때부터 이런 질문을 하기 시작했다고 보면 될 것 같네요. 저는 A valuative approach to the anticanonical minimal model program을 집필하기 시작했을 때부터 무언가의 minimizer 찾기에 꽤나 집착하는 경향이 있고, 어느 log canonical threshold의 analog를 본다면 일단 그것의 minimizer부터 묻게 된 것 같아요. Algebraically closed field of characteristic $0$에서 $\alpha,\delta$-invariant를 모두 찾은 On the quasi-monomiality of the α- and δ-invariats [KL26]도 딱 이런 종류의 논문이죠. 사실 minimizer가 있다고 뭔가 화려하게 좋은 수학 이론이 생기는 건 아니겠지만, 그냥 제 집착이라고 생각하면 좋을 것 같아요.

처음에는 바보같이 그 minimizer가 center가 그냥 closed point $x\in X$가 될 줄 알고 헤딩했던 기억이 납니다. 논문을 보시면 알겠지만 사실 거의 모든 경우에서 이런 상황은 없고, 심지어 논문 안 Example 4.2를 보시면 일반적인 경우에 아예 minimizer가 없는 경우도 볼 수 있죠. 전 그것도 모르고 일단 논문거리가 하나 만들어질 것 같으니 그냥 헤딩한 것이고요. 나중에 [Wan25, Remark 3.7]을 보면서 이런 경우는 별로 없음을 알아낼 수 있었고, 제가 예전에 개발해 놓은 multiplier ideal sheaves의 bounded center를 이용하는 테크닉을 쓰려고 할 때의 난점도 알아챌 수 있었죠. 만일 우리가 여기에서 multiplier ideal sheaves를 쓰려고 한다면 거의 모든 경우에서 그 zero set의 irreducible component가 x가 되도록 하는 건 불가능합니다. 만일 우리가 asymptotic multiplier ideal sheaf $\mathcal{J}(X,\Delta,|\text{something}|)$를 다루려고 한다면, asymptotic multiplier ideal sheaf를 계산하는 divisor $D$가 $|\text{something}|$ 안에 general하게 있을 테니 Bertini를 생각하면 되겠지만, 안타깝게도 우리가 다루고자 하는 대상은 이런 general member를 이용하는 것을 전혀 기대할 수 없는 local $\delta$-invariant고, 따라서 굳이 [Wan25, Remark 3.7]를 인용하지 않아도 multiplier ideal sheaves로 접근하려고 할 때 그 minimizer는 $x\in X$에 centered될 수 없음을 쉽게 알아챌 수 있겠죠.

이는 꽤 심각한 문제로 보입니다. 이제 살짝 부끄러운 말을 하자면, 저는 On the quasi-monomiality of the α- and δ-invariats 논문을 처음 집필했을 때 v2 기준 Lemma 2.15를 증명하기 위해 [BLX22, Lemma 2.4] 증명을 이해해야 했었는데, 이거 증명을 이해하는 것이 너무 어려워서 최대한 제가 모르는 것들을 다 풀어 쓰다가 나중에 Lemma 2.15를 LLM에게 물어봐서 사실은 Lemma 2.15가 틀렸고, 그 이유는 Lemma 2.15가 non-closed point들을 다루려다가 field base change가 어긋나서 그렇단 것을 알게 되었습니다 (다행히도 이 논문은 이대원 박사님이 준 아이디어로 v3으로 사실상 새로 쓰다시피 했습니다). 이 사태의 교훈은, 만일 우리가 center로 non-closed point를 무조건 맞닥뜨려야 한다면, 전 거의 무조건 On the quasi-monomiality of the α- and δ-invariats에서 맛봤던 그 지옥맛을 다시 맛봐야 한단 것이죠. 거의 가망이 없는 싸움으로 보입니다...

심지어 나중에 확인해 보니까, 모든 좋은 조건들(semicontinuity, center boundedness)이 맞아 떨어지더라도, On quasi-monomiality v2의 Lemma 3.4에 해당되는 local analog가 없음을 확인하는 황당한 사태도 있었습니다. 그러니까 Birkar의 boundedness of complements를 쓰려면 무조건 필요한 \nu(\mathfrak{m}_x)의 lower bound 자체를 못 만든다고요!! 설명을 하자면 (m,\nu)-basis type divisor들에 대한 Cantor diagonal argument를 쓰려면 [XZ20, Lemma 3.3]과 같이 저는 local ring을 일단 projectification을 하고

$$ H^0(\overline{X},L^m)\to H^0(\overline{X},L^m\otimes \mathcal{O}_X/\mathfrak{a}_{2Cm}(\nu)) $$

라는 surjection을 만들 필요성이 있음을 알게 되었는데, 황당한 소식이 여기에서 C가 \nu에 대해서 심하게 depend할 수 있단 것이죠. 이는 minimizer를 찾을 때 실제로 일어날 수 있는 상황이며, 실제로 제 논문의 Example 4.2가 그 반례를 말하고 있습니다.

전 여기에서 가망 없음을 느끼고 원래라면 포기해야 하는 게 맞겠지만... 여기에서 포기하는 건 좀 이르다고 생각해서 방향을 바꿔 틀어서 [BLX22, Xu20]처럼 Birkar의 boundedness of complements를 쓰는 것이 아닌 [BJ20]처럼 generic limit argument를 쓰기로 맘먹은 것이죠. Generic limit argument가 computing valuation의 기하학적 정보를 아예 안 주다시피 해서 그렇지, computing valuation을 찾는 것 자체는 굉장히 잘 하는 argument고, 저의 목표는 computing valuation을 찾는 것이므로 이런 목표에 나름 맞아 떨어진 것이죠. 덤으로 generic limit argument로는 a sequence of valuations가 center를 x라는 closed point로 가져도 그 generic limit는 center가 커질 수 있어서 center가 거의 무조건 x를 포함하는 non-closed point여야 하는 제 상황에도 나름 맞아 떨어졌고 말이죠.

여기에서 저는 아직 generic limit argument로 논문을 써본 적이 없기에 일단 generic limit argument의 디테일을 많이 좀 공부해야 했었는데, 그 과정에서 LLM의 도움을 꽤 받았습니다. 특히 [BJ20, Section 5]에서 ideal의 integral closure를 씌우는 단계가 Section 5만 생각하면 필요 없는 단계인데 Proposition 6.3때문에 필요한 단계란 걸 알아채는데 꽤 도움이 됐습니다. 그리고 가장 좋은 소식은, uniform Fujita approximation의 local analog가 은근 매우 쉽게 증명되었단 것이죠! 우리에게 사실 multiplier ideal sheaves의 subadditivity만 필요하고 global generation은 필요가 없다는 것이 정말로 컸습니다. 그 global generation으로 증명해야 했던 부분은 [Proposition 5.7, BJ20] 한 방이면 되더라고요. 보통은 [Laz04b, Corollary 11.2.22]처럼 global generation을 무조건 필요로 하는데, 이 정도면 가히 신이 축복을 내린 상황이라고 봐도 되겠죠... 저 부분이 틀리지만 않길 빕니다.

Uniform Fujita approximation을 증명했다고 해서 바로 generic limit argument가 돌아가는 건 아닙니다. Generic limit argument를 적용하려면 우리는 filtration들의 moduli를 구성해야 하고, 그 moduli의 generic point를 이용해서 generic limit를 만들어야 하고, 이 과정에서 generic limit에서의 invariant하고 우리가 생각하던 a sequence of valuations의 filtration에 대응되는 closed point에서의 invariant를 대응하는 작업이 필요하고, [BJ20]에선 이 작업을 [BJ20, Proposition 6.3, 6.7]이 해주고 있죠. 그렇다면 제 논문에선 이걸 뭐가 해줄까요? 여기에 대해서 제가 꽤 걱정이 많았었는데, 제 논문의 $\mu_{p,N,q}$란 map을 찾기 전까진 이런 비교 작업을 심지어 $\overline{S}$에 대해서 해야 했어서 어케 증명해야 할 지 깜깜했지만, 저 map을 운 좋게 찾고 나서 사실 이런 비교 작업이 Lemma 3.5로 한큐에 끝난단 것을 알게 되었습니다 (부끄러운 말이지만 제 논문의 Lemma 3.5하고 3.6은 병합 가능하고, 논문을 0.5페이지정도 더 짧게 쓰는 게 가능합니다. 나중에 arXiv에 수정본을 올릴 예정입니다).

이렇게 논문을 쓰다가 한 가지 난점이 생겨 버렸는데, 우리가 generic limit를 구성하다 보면 그 generic limit가 사는 곳이 사실은 $X$ 자체가 아니라 $X$를 $x$에서 completion시킨 곳에 산단 걸 알아버린 것이죠. 저는 generic limit argument를 제 연구를 하는데 처음 써보는 지라 처음에 이 현상이 나타나는 것에 대해서 살짝 당황했는데, 생각해보면 당연한 것 같기도 해요. [BLXZ25]에서도 비슷한 현상때문에 minimizer를 찾는데 base가 complete란 조건을 둬야 했었고, 제 연구에서도 비슷한 현상이 일어난 것이고, 어쩌면 [BJ20]이 운 좋은 것일 수도 있겠단 생각이 들어요. 그렇기 때문에 generic limit argument로는 죽어도 전체 x\in X에 대해서 minimizer를 찾는 것이 불가능합니다. 실제로 반례가 있고 말이죠. 만일 우리가 여기에서 $X$ 자체에 대해서 generic limit argument로 minimizer를 찾고 싶다면, 그 generic limit가 $X$로 내려올 수 있단 걸 증명해야 합니다.

여기에서 전 LLM하고의 대화를 통해서 log Fano cone singularity라는 게 바로 이 조건을 만족할 수 있음을 알게 되었습니다 (LLM이 없었다면 아마 제 논문의 제목은 log Fano cone이 아니라 complete local ring에 대한 statement가 되어 있었겠죠). 하지만 전 아직 log Fano cone singularity에 대해서 아는 것이 별로 없고, 그래서 log Fano cone singularity에 대해서 역시나 LLM을 끼고 열심히 공부하기 시작했죠. 사실 지금도 제가 log Fano cone에 대해서 잘 아냐 한다면 당연히 "아니오"겠지만, 적어도 이 논문에 필요한 만큼은 공부한 것 같습니다. 그 과정에서 모든 증명 과정들이 $\mathbb{T}$-invariant하게 바뀌어야 한단 귀찮음이 있긴 했지만 그런 귀찮음을 이겨내고 사실 일반적인 $x\in X$에 대한 증명을 의도했던 논문을 log Fano cone singularity에 대한 증명으로 바꿨습니다. 이렇게 논문을 바꾸게 된 또 다른 계기로는 제가 LLM에게 existence of minimizer라는 성질이 étale morphism에 대해서 잘 내려오는지 물어봤더니 바로 반례를 찾아준 것이 계기가 되었고요.

이렇게 논문을 완성할 수 있었습니다. 그리고 증명 초안을 떠올릴 때마다 LLM에게 증명 초안을 주고 어디를 더 메꿔야 하냐고 꽤 많이 물어봤고, 그 과정에서 Lemma 2.2, 2.7, 3.3같은 것들이 생겨나기도 했고요. 덤으로 제 결과를 모든 algebraically closed field로 내리는 상상도 했었는데, 그건 도저히 못 하겠더라고요. [KL26]의 argument를 이용하려고 해선 제가 원하는 부등호 방향이 안 나옵니다.

[BJ20] H. Blum and M. Jonsson. Thresholds, valuations, and K-stability. Adv. Math., 365:107062, 57, 2020.

[BLX22] Harold Blum, Yuchen Liu, and Chenyang Xu. Openness of K-semistability for Fano varieties. Duke Math. J., 171(13):2753–2797, 2022.

[BLXZ25] Harold Blum, Yuchen Liu, Chenyang Xu, and Ziquan Zhunag. Relative stability theory and properness of k-moduli spaces. arXiv preprint arXiv:2510.06197, 2025.

[KL26] Donghyeon Kim and Dae-Won Lee. On the quasi-monomiality of the α-and δ-invariants. arXiv preprint arXiv:2604.18465, 2026.

[Wan25] Linsheng Wang. K-polystability and reduced uniform k-stability of log Fano cone singularities. arXiv preprint arXiv:2505.10828, 2025.

[Xu20] Chenyang Xu. A minimizing valuation is quasi-monomial. Ann. of Math. (2), 191(3):1003–1030, 2020.

Constructibility of Fano type and klt type varieties란 분야는 제가 대학원에서 대수기하학을 하겠다고 맘 먹은 순간부터 제가 만지작거리던 분야였지만 (관련해서 On volumes and the generic invariance of Fano type varieties란 논문도 있죠), 이 논문은 굉장히 뜬금 없이 등장했던 것 같습니다. 이미 논문 안에도 써뒀지만, Lemma 2.5는 챗지피티의 도움을 상당히 받은 Lemma고, 실제로 발견 과정도 제가 Xu-Zhuang의 Kaledin 논문(cf. [XZ26])을 읽다가 이해는 거의 못 했지만 \Omega^{[i]}_{\mathcal{S}}(\log \mathcal{S})의 slope를 쓰는 방법으로 제가 저 스스로 가지고 있는 난제였던 모든 differential operator P하고 valuation \nu에 대해서 \nu(Pf)\ge \nu(f)-(\mathrm{ord}\,P)A_X(\nu)를 증명할 수 있는지 그냥 물어보다가 증명을 훅 받아버려서 제가 이걸 쓰면 바로 된다고 여태껏 생각했던 걸 바로 논문화한 것에 불과해요.

이 논문에서 아마 가장 중요한 Lemma는 당연히 Lemma 2.5하고 Lemma 2.12일 텐데, 먼저 Lemma 2.12에 대해서, Lemma 2.12는 제가 대학원 다닐 시절부터 어렴풋이 가지고 있던 직관을 명료히 한 거고, 내용도 만일 우리가 a bounded family of varieties에 대해서 \alpha-invariant에 lower bound가 있다면 [Laz04b, Corollary 11.2.22] 내지 [CP16, Proposition 4.4]의 family version으로 closed fiber에서의 boundary를 좋은 sense로 generic fiber로 올릴 수 있단 내용이라 그렇게 재미는 없어요 (그리고 논문 안에선 Jacobian factor 무서워서 sub-klt pair 쓴다고 되어 있을 텐데, 최근에 다시 시도해보니까 Jacobian factor같은 거 그냥 무시해도 되더라고요... 멍청해졌습니다. 아마 7월달에 [LP26, Conjecture 1.2]를 풀 수도 있는 시도를 한 번 했다가 바로 이 Jacobian factor때문에 실패해서 너무 쫄았나봐요).

그래서 Lemma 2.5에 대해서 한번 말해보고 싶네요. Lemma 2.5의 argument에서 아마 가장 중요한 점은, log discrepancy에 대한 inequality를 slope에 대한 inequality로 변환해볼 수 있단 내용일 것이고, 이 점은 [XZ26, Section 5]하고 다른 게 하나도 없습니다. 다른 점은, [XZ26, Section 5]는 differential "forms"를 다루고 있고, 저희는 differential "operators"를 다루고 있기에 우리가 여기에서 다뤄야 하는 대상은 \Omega^[j]_{\mathcal{S}}(\log \mathcal{S})가 아니라 \Sym^{[j]} T_{\mathcal{X}'}(\log \mathcal{S})|_{\mathcal{S}}란 점일 거예요. 그리고 이런 걸 다루기 위해서 [XZ26]에 있는 결과에서 dual을 취하는 작업을 했고 말이죠. 꽤나 운 좋게도 (그리고 챗지피티의 열일로) [XZ26, Section 5]에서 적어도 Kollár component에 대한 inequality를 하나 뽑아낼 수 있던 것 같아요 (그리고 일반적인 valuation에 대한 inequality는 여전히 적어도 저로선 난제고 말이죠 [XZ26]의 방법론으론 이게 Kollár component의 geometric structure에 크게 의존하고 있어서, 매우 휘황찬란하기 짝이 없는 일반적인 exceptional divisor의 geometry엔 전혀 적용 불가능합니다).

솔직히 말하면 전 [XZ26, Section 5]에서 어떻게 해서 log discrepancy에 대한 inequality를 slope computation으로 얻을 생각을 할 수 있는 것인지 전혀 이해를 하지 못 했고, 저는 이 부분에 대한 이해를 결여한 채 그냥 관련 argument를 블랙박스로 가져다 쓴 것에 불과한 것 같습니다. 전 이 과정에서 챗지피티의 도움도 받았으니 어쩌면 저는 요즘 수학자들이 경계시하는 "이해 없이 AI로 수학을 하는" 상황에 이르렀다고도 말할 수 있을 것 같네요. 

잠깐 제 자신을 변호해보자면, 요즘 AI 시대에서 수학자들이 유난히 수학적 "이해"를 중요시하는 모습을 보이곤 하고, 아마 모든 수학적 내용들을 인간이 이해하고 있어야 한다는 식으로 나오는 경우가 많은 것 같은데 (예를 들면 Peter Scholze는 인터뷰에서 우리가 이해하지 못 하는 수학들이 느는 것을 일종의 파국으로 이해하는 모습을 보이고 있죠), 사실 우리가 이해하고 쓰는 수학은 얼마 있지 않고, 저에겐 [XZ26, Section 5]의 log discrepancy에 대한 inequality를 slope 계산으로 바꾸는 argument가 약간 그런 종류의 argument인 것 같습니다. 그 전에도 제가 [CJKL26]을 처음에 집필할 때 Chenyang Xu의 weak Jonsson-Mustaţă theorem 증명을 도저히 이해하지 못 했지만 그 argument를 거의 그대로 가져다가 쓰는 수준으로 쓴 적도 있고, 수학에 "이해의 블랙박스"라고 말할 수 있을 만한 것들을 그대로 가져다 쓰는 경우는 굉장히 흔한 것 같아요. 사실 소크라테스적 태도를 생각한다면 우리는 그 어느 수학도 이해하지 못 하고 있고(심지어 초등학교 수학마저!!), 우리는 수많은 수학 개념들을 그저 가져다가 쓰고 있는 것에 불과하다고 여기는 것도 어쩌면 가능하겠죠. 그래서 전 가끔식 덧셈도 이해 못 했고 0과 1이 무엇인지도 이해 못 했다고 말하는 걸 즐겨 하는 편입니다.

이렇게 이해의 블랙박스로 수많은 argument들을 가져다 쓰는 경우는 AI를 쓰지 않더라도 굉장히 흔한 일입니다. 누군가는 어쩌면 한 사람이 모든 수학 체계를 이해하지 못 하고 있더라고 수학 공동체 내부에서 누군가는 스스로가 만들어낸 argument를 이해하고 있어야 하고, AI의 등장으로 많은 argument들이 이해되지 않은 채로 남으면 안 된다고 말할 수도 있어 보이는데, 사실 지금도 수많은 argument들은 컴퓨터 계산으로 행해지고 있고, 인간이 전혀 이해하지 못 하고 있습니다 (4색 정리의 증명에서 비슷하게 컴퓨터 증명에 의해서 수학이 인간의 이해에서 벗어났고, 이래선 안 된단 논쟁이 있던 걸로 기억해요). 하지만 LLM에 기대지 않는 컴퓨터 증명은 적어도 현대 들어서 매우 폭넓게 받아들여지고 있죠. 왜 사람들이 LLM을 사용하지 않는 컴퓨터 증명엔 관대하면서 LLM엔 굉장히 각박하게 구는지를 생각해보면 LLM을 사용하지 않는 컴퓨터 증명이 대체하는 수학적 이해는 (아리스토텔레스적 용어를 써서) 우리에게 "수학적 번영"이라고 말할 수 있는 무언가를 주기 힘들지만, LLM이 대체해버릴 수 있는 수학적 이해는 우리에게 수학적 번영을 크게 주던 그런 이해여서라고 말할 수 있고, 그 이유는 LLM을 쓰지 않는 컴퓨터 증명의 argument는 대체로 비언어적거나 매우 협소하게 언어적이지만, LLM은 Large "Language" Model이란 이름에서 나오듯 우리의 언어적 사유를 대체해버리고, 우리의 언어적 사유가 대체되어 버리면 우리는 수학적 번영을 잃고 말 것이라는 비트겐슈타인적 논변이 가능해 보이긴 합니다. 즉, 우리가 블랙박스로 쓸 이해들이 다른 사람의 이해 혹은 LLM이 아닌 컴퓨터 증명에서 오는 것이라면 우리의 수학적 번영이 사라질 위험성이 적지만, LLM에서 온다면 우리의 수학적 번영이 흔들릴 수 있다는 식으로 나올 수 있는 것이죠.

그러나, 이런 비트겐슈타인적 논변은 LLM을 인간화해서 인간의 대체제로만 생각하는 문제점이 있다고 전 생각합니다. 사실 이런 면에선 LLM을 무작정 찬양하면서 이걸로 수학자 공동체는 모르겠고 수학자 공동체를 대체해버리겠단 사람들이나, LLM의 이용을 반대하며 LLM에 맞서서 인간의 수학을 지켜야 한다고 말하는 사람들이나 똑같이 공유하는 문제점이겠죠. 만일 정말로 LLM을 인간을 "대체"하는 용도로 쓴다면 이는 큰 문제겠지만, 저는 LLM을 인간을 대체해야 한다, 혹은 기존 수학적 명성 크레딧 분배 원칙에 기반해서 LLM을 이용해서 최대한 많은 수학 문제를 푸는 논문을 뽑아내야 한다는 규범 명제에 동의하지 않으며, 인간은 인간의 수학적 번영 형식이 있고, LLM 역시 LLM 스스로의 수학적 번영 형식이 있으며, 우리가 해야 할 일은 LLM에게 매우 놀라운 수학적 번영 형식이 있음에 동의하면서 이를 어떻게 우리 인간의 수학적 번영을 위해 이용할지에 있다고 생각합니다. 예를 들면 최근 Terence Tao의 math 2.0 강연에서도 보이듯 LLM을 이용해서 통계적 방법으로 수학적 방법론을 추출할 수도 있고, 이미 증명된 정리를 더 잘 설명해볼 수도 있으며, 정리의 가정을 최대한 약화시켜보는 방식으로 우리의 수학적 이해를 더더욱 증진시킬 수 있겠죠. 따라서 우리가 LLM을 "대체제"가 아닌 "동반자"로 이해할 수 있다면, 우리는 LLM을 쓰면서 우리의 수학적 이해 내지 번영을 훼손하지 않을 수 있고, 따라서 LLM에 어느 정도 이해를 외주 맡기는 것도 가능하다고 봅니다 (이 부분은 저하고 Leiden declaration하고 의견이 갈리는 부분이기도 하죠. Leiden declaration에 따르면 수학적 이해는 반드시 인간에게 있어야 하고, 인간이 책임져야 합니다).

관련해서, 한 가지 저의 재미있는 입장을 말씀드리자면, LLM은 수학적 논변을 쓸 때 정말로 끔찍하게 수학적 논변을 못 쓰는 것으로 유명합니다. 최근의 OpenAI의 slopdrop에서도 제 분야와 관련된 논문이 Abundance, existence of minimal models, Fujita freeness conjecture 등등이 있고, 특히 Fujita freeness conjecture는 제가 지금도 꽤나 읽어보고 있는 preprint인데, 이런 preprint들이 이미 잘 알려진 lemma를 이상하게 해석학적으로 증명한다던가, Okounkov body를 매우 맛깔나게 잡아서 적분 부등식을 만드는 주제에 Okounkov body도, 적분 기호도 하나도 없고 tangential moment같은 인간이 전혀 쓰지 않는 용어를 쓰는 등 인간 기준에서 매우 맛탱이가 나간 수학 서술 방식을 보여주고 있더라고요. 이 부분은 LLM에게 있어서 매우 큰 문제점으로 보이는데, 전 개인적으로 이런 LLM 스스로의 수학 서술 방식이 LLM 특유의 수학적 번영 형식을 보여주고 있고 (어쩌면 LLM이 이렇게 인간 기준에서 박살난 수학적 서술을 보여주고 있고 사실 이런 서술 방식을 채택하는 것이 수학 문제를 푸는데 있어서 매우 안성맞춤이기에 LLM이 수학을 그렇게나 잘 하는 것일 수도 있죠!), 그래서 억지로 교정하려고 하지 말아야 하고 수학자들이 단체로 달라붙어서 그런 LLM 스스로의 수학 서술 방식을 배워서 인간의 수학 방식으로 변환하는 과정을 언제나 거쳐야 한다고 보고 있습니다 (그리고 OpenAI는 이런 slopdrop을 하려면 반드시 수많은 수학자들을 고용해서 slopdrop들을 인간 수학자들이 이해하도록 하고 인간 수학자가 이해할 수 있도록 preprint를 만들어야 한다고 생각하고 있고 말이죠). 우리가 LLM의 삶을 무시한 채로 LLM 특유의 수학 서술을 그저 결함으로만 본다면, 우리는 LLM하고 협력하는 게 어쩌면 불가능할 수도 있다는 것이 제 의견입니다.

여기까지가 제 입장에 대한 변호고, 다시 제 논문에 대한 이야기로 돌아가자면, 전 [XZ26, Section 5]에 대한 argument를 챗지피티의 도움으로 어느 정돈 블랙박스로 가져다 쓰는데 성공했고, 그것이 바로 저 논문이 되었다고 말할 수 있습니다. 사실 전 여기에서 좀 더 희망을 가지고 사실 저 argument로 klt type property가 constructible property인지 증명하려고 꽤 애썼는데, 일단 naive하겐 바로 불가능합니다. 모든 klt variety X:=\Spec R에 대해서 R이 simple D_R-module인 건 아니거든요. 당장 R=\C[x_1,x_2,x_3,x_4]/(x^3_1+x^3_2+x^3_3+x^3_4)으로만 두어도 반례입니다 (cf. [Mal21]). 그래서 전 R이 simple D_R-module이 그냥은 아니니 D-module theory로 들어가서 그냥 아무 simple D_R-module 잡고 그걸로 증명을 진행할 수 있는지에 대해서도 꽤나 파봤는데, 모든 시도가 실패로 돌아갔습니다. 다시 R이 simple D_R-module임을 가정하는 단계로 돌아가거나, log discrepancy에 대한 부등식을 만들지 못 하더라고요. 어쩌면 저보다 훨씬 똑똑한 사람들이 제 differential operator를 이용한 방법론으로 일반적인 klt type이 constructible이란 성질을 증명해줄 수 있을 지도 모르겠지만, 저는 못 하겠습니다... 

한 가지 가능한 증명 루트를 파보다가 얻게 된 question도 있는데, 만일 \{o_i\in (C_i,\Delta_i)\}가 bounded in codimension 1인 log Fano cone singularities일 때 (C_i,\Delta_i)가 bounded가 될 수 있다면 [CLZ25, Question 1.1]이 바로 풀립니다! 이 question은 너무 바보같이 거짓같은데, 아무리 찾아봐도 반례를 찾을 수가 없어서 일단 가능한 question으로 남겨두고 싶어요. 사실 제가 abundance니 existence of minimal models니 같은 것들이 죄다 거짓이라고 생각하고 있었는데 OpenAI 측에서 그 AI slop을 내놓는 걸 보고 어쩌면 이 question도 affirmative answer를 가질 수도 있단 희망을 품고 있는 중입니다.

[CJKL26] Sung Rak Choi, Sungwook Jang, Donghyeon Kim and Dae-Won Lee, A valuative approach to the anticanoncal minimal model program, Adv. Math. 505 (2026), article 111307.

[CLZ25] Sung Rak Choi, Zhan Li, and Chuyu Zhou, Variation of cones of divisors in a family of varieties -- Fano type case, arXiv preprint arXiv 2504.04109.

[CP16] Sung Rak Choi and Jinhyung Park, Potentially non-klt locus and its applications. Math. Ann. 366(1-2):141–166. 2016.

[Laz04b] Robert Lazarsfeld, Robert Lazarsfeld, Positivity in algebraic geometry. II, volume 49 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics]. Springer-Verlag, Berlin, 2004. Positivity for vector bundles, and multiplier ideals.

[LP26] Yuchen Liu and Suchitra Pande, On the positivity of the limit F-signature, arXiv preprint arXiv 2605.16636.

[Mal21] Devlin Mallory, Bigness of the tangent bundle of del Pezzo surfaces and D-simplicity, Algebra Number Theory 15 (2021), no. 8.

[XZ26] Chenyang Xu and Ziquan Zhuang, Stable Degeneration, Non-degenerate Forms, and Kaledin's Conjecture, arXiv preprint arXiv 2606.02401

OpenAI는 10월 6일에 총 722개(그중 3개는 틀려서 철회됨)의 preprint를 공개했고, 이는 많은 수학자들의 우려를 만들어낸 것 같네요. 수학자들이 증명의 공개에 우려를 한다니 무슨 말이야? 사실 증명을 하는 걸 원하지 않았단 말이야? 이렇게 생각할 수 있지만, 이러한 우려는 수학계에 AI와 함깨 어떻게 수학적 사고에 가치를 줘야 하는지 합의가 안 된 상황에서 수학계의 문화에 너무 급작스러운 변화를 줘서 많은 수학자들(특히 박사과정생이나 저와 같은 박사후연구원들)에게 앞으로 어떻게 수학을 해야 하고 어떻게 진로를 잡아야 하는지에 대한 판단을 매우 불확실하게 만들어버려서 그렇겠죠. 물론 저는 AI가 꽤나 크게 우리에게 수학적 번영을 가져다 줄 수 있다고 믿는 편이긴 합니다만, 수학계가 어떻게 AI로 인한 변화를 받아들여야 하는지에 대한 시간이 필요하고, OpenAI는 이런 고민이 별로 없었다고 볼 수 있겠네요. 모든 변화들은 아무리 좋은 변화라고 하더라도 공동체가 그 변화를 보고 어떻게 대처해야 하는지 고민하고 적응할 시간을 줘야 하고, 그런 시간을 주지 않은 너무나도 빠른 AI 성능의 향상을 수학계에 과시하는 것과 이번 mathdrop은 수학자 공동체를 자신들이 맘대로 할 수 있는 무언가로 여기는 것이겠죠. 하지만 증명은 나왔고, 이를 수학자 공동체가 흡수하는 게 필요해보이긴 하며, 전 그 중에서도 제 전공 분야인 valuative approach를 꽤 심하게 쓰는 것으로 보이는 Fujita freeness conjecture를 읽도록 마음 먹었습니다.

저는 불과 2026년 8월(이 글을 집필하고 나서 2개월 전)만 하더라도 이렇게까지 AI의 수학적 능력이 급상승할 줄은 몰랐습니다. 물론 AI가 수학 증명의 많은 부분을 대신 해줄 수 있다고는 생각했지만, 적어도 아이디어를 내는 부분에 대해서는 AI는 브루트 포스는 컴퓨터 특유의 미친 컴퓨팅 파워로 잘 하지만 인간과 같은 아이디어의 도약은 잘 못 한다고 생각했고, 그렇기에 수학 증명을 하는데 있어서 대체로 인간의 도움이 필요하다고 생각하곤 했죠. 이번 mathdrop은 이런 제 판단을 무너트린 것 같습니다. Fujita freeness conjecture의 증명을 읽으면서 어떻게 우리의 invariant를 새로 정의하고 어떻게 이런 invariant를 Fujita freeness conjecture 증명에 쓸 생각을 하며, 어떻게 center를 closed로 만들 생각을 하는지 이 모든 것이 의문입니다. 이런 것들을 단순한 브루트 포스로 할 수 있나? 어쩌면 그렇다고 말할 수도 있을 것 같고, 아직 저는 AI가 브루트 포스 전문이라는 생각을 떨치지 못 했습니다만, 이제 정말로 그렇다고 하더라도 적어도 AI의 브루트 포스가 인간이 가지고 있는 아이디어의 도약보다 수학 증명이라는 분야에서 더 효과적임을 인정할 수밖에 없을 것 같습니다. 인간 수학자가 더 잘할 수 있는 분야가 분명 있기야 하겠지만, 적어도 수학 문제 풀이의 영역에선 AI보단 못 하다는 느낌입니다. 

제가 증명을 처음 읽을 때, 제일 의문인 것은 아마 대부분의 수학자들이 공감하겠지만 (적어도 인간 수학자 입장에서) AI는 수학 증명을 못 써도 너무 못 쓴단 것입니다. 

1. 첫번째로, 이미 알려진 증명을 굉장히 괴기한 형태의 증명으로 다시 증명하곤 합니다. 제가 읽은 Fujita freeness conjecture 증명만 하더라도 Lemma 2.3은 log canonical threshold에 대한 꽤나 standard fact인데 고대 그리스 시절을 연상케 하는 수식이 딱 5군데만 있는 자연어 범벅으로 된 증명을 내놓았고, Lemma 3.1은 \alpha-invariant가 0보다 크다는 매우 standard fact인데도 이상한 형식으로 다시 썼고, Lemma 4.1 역시 누구나 알고 있는 Izumi inequality인데도 이걸 어떻게 쓴 건지 전혀 이해가 안 갑니다. 전 솔직히 말하면 증명을 재구성하면서 이것들 증명을 한 줄도 안 읽고 모두 standard fact로 갈아치웠습니다. 

2. 이상한 용어들을 너무 많이 씁니다. 예를 들면 Proposition 4.4부터 "a nonzero real-weight monomial test"란 용어가 등장하는데, 이건 그냥 quasi-monomial valuation이란 것이고 "minimizing test"는 minimizing valuation인데 왜 이렇게 용어를 창조해대는 거지? 싶습니다. 증명도 rational "list", divisorial "witness"같은 용어들이 등장하다 보니까 가독성을 급격히 떨어트립니다. Section 5.2부턴 tangential moment같은 tangential 어쩌구 저쩌구가 또 들어가서 가독성을 더더욱 개판으로 만들고요.

3. 수학자라면 증명의 어디가 중요한지 독자들에게 알리려고 하고, 그 부분을 꽤나 꼼꼼하게 설명하기 마련입니다. 그에 비해서 나름 well-known인 부분들은 짧게 설명하고 넘어가곤 하고요. 우리의 AI는 그런 게 전혀 없습니다. 제가 생각할 때 이번 증명에서 정말로 중요한 부분은 Section 5.3인데, 이 부분 설명은 1페이지 안밖이며, 정의들이 어떻게 독자에게 motivation이 주어져야 하는지에 대한 설명이 전혀 없다시피 합니다. 저도 이 부분을 읽을 때 ChatGPT한테 수도 없이 Okounkov body의 관점에서 증명을 재구성해달라고 해야 했고, 이 부분을 이해는 못 해도 받아들이는데만 1주일은 걸린 것 같습니다. 그에 비해서 well-known인 부분은 괴기하게 매우 자세히 증명해놨죠. 

위의 On constructibility 논문에 대한 제 에필로그를 보면 알 수 있듯 어쩌면 AI의 이런 성향은 이런 언어 사용이 AI에게 수학 문제를 풀기에 딱 안성맞춤인 언어 사용이기에 그렇고, 우린 그저 비트겐슈타인의 사자의 언어를 이해 못 하고 있을 뿐이란 생각이 들곤 합니다. 하지만 mathdrop의 목적이 정말로 수학자들이 읽고 수학적 이해를 갖추도록 하는 것이라면, OpenAI는 자신의 힘을 과시하기 위해 아무렇게나 이렇게 읽는 것이 힘든 preprint들을 툭 던지는 것이 아니라 수학자들을 대량으로 고용해서 preprint들을 수학자들이 읽기 쉽게 만들고 다른 수학자들과 소통할 수 있게끔 했어야 했다고 생각이 드네요. 

이제 증명 아이디어 부분을 말해보자면, 증명은 크게 네 부분으로 나누어집니다. 

(a) Fujita freeness conjecture가 거짓이란 가정 하에 preprint의 invariant가 t\ge n+1일 때 1보다 작음을 증명하고,
(b) 이를 이용해서 그 invariant가 quasi-monomial minimizer를 attain함을 증명한 다음에,
(c) 그 quasi-monomial minimizer가 center가 closed임을 증명하고, 

(d) 이를 이용해서 Angehrn-Siu가 했던 것처럼 isolated non-klt locus를 만들고 Nadel vanishing theorem을 씁니다. 

여기에서 제가 생각하기에 제일 중요하고 제일 이해가 안 되는 파트는 (c)인데, 전 아직도 어떻게 이런 Okounkov body를 생각할 생각을 했고, 이걸로 어떻게 이런 계산을 할 생각을 했는지 도무지 이해가 안 됩니다. 지금도 이해 못 했어요. (a)도 어떻게 아마 K-stability에서 아이디어를 떠올렸을 invariant를 Fujita freeness conjecture를 푸는데 쓸 수 있는지 지금도 이해가 잘 안 가고 말이죠. 그에 비해서 (b)나 (d)는 꽤나 standard한 편입니다. (b)는 OpenAI preprint에도 잠깐 언급이 되듯 Blum-Jonsson에서 그 기원을 찾을 수 있고, 그래서 전 이 증명을 소화하면서 (b)를 원래 finite m에 대해서 정의와 증명이 되어 있던 걸 아예 asymptotic invariant에 대한 정의와 증명으로 갈아버렸습니다. Generic limit argument가 적어도 \tilde{\beta}_{X,\Delta,t}(x)<0일 땐 그대로 먹히더라고요. 제 생각엔 아마 이 preprint에서 처음 정의되었을 \tilde{\beta}_{X,\Delta,t}(x) 자체에 대해서 연구해보는 것도 재미있을 듯 합니다. 예를 들면 family에서 \tilde{\beta}_{X,\Delta,t}(x)가 constructible일지에 대해서 연구해보는 것도 나름 재미있을 듯 하고, 이것이 K-stability에서 나올 수 있는 여러 invariant에 대한 이해를 높이는데 꽤 도움이 될 것이라고 생각합니다.