Abstracts

Justification of the NLS approximation for dispersive PDEs. I discuss (briefly) how the NLS can be derived in order to describe the evolution of small oscillating wave packet-like solutions of some dispersive PDEs. I will focus both on the formal derivation of the NLS equation and on energy methods providing  a rigorous justification as well as estimates in Sobolev norms over a relevant time scale.

Almost-periodic Tori for the NLS a diagrammatic approach. We discuss the existence of almost-periodic tori for the NLS on the circle. We construct, via a diagrammatic approach, an infinite dimensional invariant torus  via Moser's counterterm approach.

On the generic "double pendulum" behaviour of nearly-interable hamiltonian systems close to simple resonances. The KAM theorem claims that the phase space of a non-degenerate nearly integrable Hamiltonian system in standard action angle variables $H(y,x):=h(y)+\varepsilon f(y,x) \quad ,\qquad (y,x)\in D\times\mathbb{T}^n$ is foliated by invariant tori up to a set whose measure is smaller than $\sqrt{\varepsilon}$. A conjecture of Arnold, Kozlov and Neishtadt says that, for a generic class of perturbations, such measure is actually smaller, i.e. proportional to $\varepsilon$. Luca Biasco and Luigi Chierchia have recently proved this conjecture for real-analytic mechanical systems, namely for systems of the form $H(y,x):=y^2/2+\varepsilon f(x)$. A key step in order to prove this result consists in showing that, close to simple resonances and up to a small remainder, a generic system of this kind can be symplectically conjugated to a "pendulum-like" system, that is to an integrable system perturbed by a Morse function with only one maximum and one minimum.  In this seminar, I will talk about a generalization of this intermediate result to the case in which the perturbation $f$ depends also on the actions $y$. Namely, I will show that, close to a simple resonance, a system of the kind $H(y,x):=y^2/2+\varepsilon f(y,x)$ can be generically conjugated to a system having the same phase structure of a "double pendulum". Of course, this is a necessary step in order to prove the conjecture of Arnold, Kozlov and Neishtadt in the case of perturbations which depend on the action variables. Joint work with L. Biasco and L. Niderman.

Invariant tori in exoplanetary systems: from theory to applications.  As a preliminary introduction, KAM theory is briefly recalled by discussing in a unified way two algorithms, which construct the usual (maximal) invariant tori and the (lower-dimensional) elliptic tori. This is made by adapting to our purposes the approach developed by Poeschel [Math. Z. (1989)]. Therefore, we focus on the applications to exoplanetary systems, by describing a sort of KAM reverse method designed so to estimate the (unknown) values of the mutual inclinations. In particular, some results previously obtained [Volpi et al., CMDA (2018)] are discussed and the method to improve them is sketched. Actually, such a new approach is based on a careful combination of the constructive algorithms described in the first part of the talk. Finally, we show the first results produced by the new method. This work is based on a research project made in collaboration with C. Caracciolo, M. Sansottera and M. Volpi.

Metodo multiscala e integrabilità: Costruisco un test (basato su una congettura) per verificare se una PDE in una dimensione spaziale sia integrabile. Il test si basa sulla ricerca di soluzioni piccole speciali quasi-monocromatiche. In prima approssimazione qualsiasi PDE dispersiva si riconduce in questo limite alla NLS, nella tesi andavo oltre questa approssimazione (almeno a livello di serie asintotiche).

Tori Risonanti: E' noto che in sistemi quasi-integrabili alcuni tori di dimensione bassa sopravvivono a perturbazioni opportunamente non degeneri. Cosa succede pero' se la perturbazione e' degenere? qualcosa si sa, ma e' ancora molto poco.

Riducibilità dell'equazione di Hill:  Per studiare lo spettro di un operatore di Schrodinger con potenziale quasi-periodico piccolo, Eliasson nel 92 introduce dei metodi iterativi (ma non perturbativi) di diagonalizzazione.  Provo a raccontare l'articolo seguendo delle note in tex che sto scrivendo (dato che non le ho mai finite se volete vederle chiedetemele, altrimenti qui ci sono gli appuntini manoscritti).

Il numero di rotazione: Dopo aver definito le funzioni almost periodiche e discusso un po' di proprieta', si considera un operatore di Schrodinger con potenziale almost-periodico e si dimostra l'esistenza  del numero di rotazione.

Deformazioni integrabili di mappe twist: un risultato di rigidità. Introducendo una nozione di integrabilità più debole di quelle già esistenti (i.e. la preservazione di cerchi invarianti rotazionali per ogni numero di rotazione in un intervallo aperto arbitrario), si può dimostrare che se una deformazione di un diffeomorfismo twist dell'anello che preserva l'area è integrabile, allora è necessariamente triviale. Possono essere dimostrati fenomeni analoghi, per ora molto meno caratterizzanti, anche per flussi Hamiltoniani Tonelli in dimensione più alta.

``Good'' and  ``bad'' orbits in nearly-integrable Hamiltonian Systems: Quali sono le orbite ''buone'' e le orbite ''cattive'' nei sistemi hamiltoniani? Il teorema KAM ci dice che nei sistemi hamiltoniani quasi integrabili le orbite buone sono ''tante'', ma ''quanto tante''? Insomma ''mi ami, ma quanto mi ami?''