Ponentes
(en el orden del programa)
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La teoría del área plana en la encrucijada: El Postulado de De Zolt
La proposición acerca de la cual con justicia podría decirse que gira la moderna teoría de la equivalencia del área plana es conocida como Postulado de De Zolt: Si un polígono es dividido en partes de un modo cualquiera, no es posible, prescindiendo de una de esas partes, disponer las restantes de modo tal que cubran enteramente el polígono. ¿Axioma o teorema? Para responder esta pregunta se debe considerar que la mencionada proposición se encuentra en la encrucijada de tres caminos matemáticos diferentes: el métrico, el algebraico y el geométrico. Examinaremos esquemáticamente esos caminos con la intención de contribuir al debate actual acerca del contenido de una proposición y la pureza de sus pruebas.
Demostrar la existencia de los números perfectos pares, la inició Euclides y la terminó Euler
Se expondrá la manera en la que Euclides define y demuestra la existencia de una clase determinada de números perfectos pares. Pero, por la manera como se ha concebido el concepto de divisibilidad, éste no le permite a Euclides demostrar que la clase de perfectos pares que muestra es única. Es hasta Euler cuando se entiende de manera más amplia la idea de divisor, y es que ya se puede demostrar que la clase de perfectos pares que propuso Euclides sí es la única. Para terminar nos preguntaremos ¿y los números perfectos impares?
¿Seguimos reglas o pensamos geometría?
Se discutirá la diferencia entre las particularidades de las demostraciones geométricas y algebraicas a partir del análisis de la geometría utilizada por R. Descartes en la Dióptrica y la propuesta que el propio autor hace en la Geometría.
Fray Diego, lector de Clavius
Esta ponencia que tiene por título “Fray Diego lector de Clavius” se centra en el análisis comparativo de algunas de las demostraciones matemáticas entre fray Diego Rodríguez (1596-1668), primer catedrático de matemáticas y astrología en la Real Universidad de México y las del jesuita alemán Cristopher Clavius (1538-1612), de quien fray Diego recuperó citas de sus obras los Elementos de Euclides (versión 1589) y la Geometría práctica (1606). A partir de dichas comparaciones queremos valorar la influencia matemática que tuvo Clavius dentro de la obra de Rodríguez, la cual nos permitirá trazar un panorama de la matemática que se cultivó en la Nueva España durante la primera mitad del siglo XVII.
Euler, Gauss, Liouville: 3 demostraciones del Teorema Fundamental del Algebra ¿Cuál de ellas demuestra lo que se tiene que demostrar?
Las preguntas acerca de cómo se demuestra en matemáticas, o la de si es posible demostrar una proposición matemática, suponen que de alguna manera se ha formulado con claridad el enunciado de lo que se pretende demostrar. En esta plática, y a partir del ejemplo de un "teorema fundamental", discutiremos acerca de la claridad sobre lo que se debe de demostrar, para tratar de comprender si el camino seguido para una demostración se deriva de cómo se ha entendido lo que se debe demostar. Tres demostraciones del Teorema Fundamental del Algebra, de entre las muchas que se han propuesto, dadas por Euler, Gauss y Liouville respectivamente, nos servirán para ilustrar este problema.
La emergencia de un concepto; la teoría de líneas antiparalelas de Antoine Arnauld, como un nuevo modo de caracterizar la proporcionalidad en geometría elemental
Es bien sabido que la teoría de proporciones (libro V de los Elementos) adquiere una expresión clara en la geometría elemental a través del llamado teorema de Tales, el cual, a su vez, recae en el quinto postulado euclidiano a través del concepto de líneas paralelas. En el siglo XVII, Antoine Arnauld, como parte de su reconstrucción de la geometría elemental de Euclides, propone los conceptos de líneas recíprocas y antiparalelas, mediante los cuales, la proporcionalidad entre líneas rectas y la semejanza de figuras planas, se plantean dentro de un nuevo marco teórico, que si bien no rebasa los límites de la geometría elemental, si delinea un modo nuevo de comprender una parte de ésta. En el siglo XIX, el concepto de antiparalelismo vuelve al escenario de la matemática, y sus vínculos con la nueva geometría del triángulo, confirman su pertinencia y aseguran su permanencia.
La teoría de ecuaciones de François Viète en el tránsito del álgebra clásica al álgebra moderna. Algunas anotaciones sobre sus textos propedéuticos
Se presentará una discusión sobre la teoría de ecuaciones enmarcada en el Álgebra Nueva de François Viète, a partir de una reflexión sobre el contenido de sus textos propedéuticos, a saber: In Artem Analyticem Isagoge (1591), Ad logisticem speciosam notae priores (1591) y Zeteticorum libri quinque (1593). En estos textos, Viète expone los fundamentos y aspectos esenciales de su teoría de ecuaciones, entre ellos: los dogmas, reglas y procedimientos que condicionan el proceso de constitución y transformación de las ecuaciones que en este contexto son construidas; nos interesa mostrar que estos dogmas y reglas permiten la formulación y demostración de expresiones auxiliares que serán útiles en la resolución de problemas y, además, posibilitan los procedimientos de reconocimiento y emendación de las ecuaciones que en De aequationum recognitione et emendatione (1615) son presentados. Desde esta interpretación, decimos que los fundamentos sobre los que esta teoría de ecuaciones es construida constituyen un puente entre el álgebra clásica y el álgebra moderna.
The Handmade Algorithms: notas sobre Computation of Four-Color Irreducibility
Desde Tymoczko [1] en adelante, muchos filósofos consideran que la prueba del Teorema de Cuatro Colores (P4C) implica la introducción de elementos empíricos en el ámbito a menudo a priori de las matemáticas. El uso de computadoras en el P4C por parte del equipo de Illinois (Haken, Appel y Koch, ver [2] y [3]) tendría reconfigurado una vez más the Kantian matrix [4]: la visión de las matemáticas como un cruce de dicotómicas categorías (conocimiento a priori versus a posteriori, juicios analíticos versus sintéticos, y también relaciones necesarias versus contingentes, pruebas versus experimentos, etc.). De manera diferente, para Kreisel, Wang y otros, las matemáticas siempre han tenido aspectos empíricos, que permiten su formalización y mecanización [como he mostrado en [5]. Aunque subestimada, esta sobre las pruebas asistidas por computadora sugiere que una reconstrucción de la cultura computacional dentro de la cual se elaboró el 4CP, tanto en sus dimensiones simbólicas como materiales, es necesaria. Investigaciones sobre las prácticas realizadas por los actores involucrados en la realización de la prueba, ya sean matemáticos, ingenieros informáticos o amadores, implican una distinción inicial entre los muchos roles que tenían las computadoras en el P4C.
Llevo a cabo una investigación de este tipo analizando la dissertación de doctorado de John Koch [6]. A pesar de su importancia para la P4C, rara vez se alude a este texto en las discusiones sobre la prueba. Koch se unió al equipo de Illinois como estudiante de posgrado en informática en 1974, luego de la interrupción de una prolífica colaboración entre el equipo y otros investigadores de Alemania (Heinrich Heesch y Karl Dürre) y los EE. UU. (Yoshio Shimamoto en el Laboratorio Brookhaven, Long Island, que recibió a Heesch y Dürre un par de veces). Sobre la base de los métodos de reducibilidad previamente establecidos por Heesch [7], Koch presentó "una parte crítica de una posible prueba de la conjetura de los cuatro colores", detallando los algoritmos, programas y estructuras de datos aplicables a los así llamados procedimientos de reducibilidad. Mi estudio tiene como objetivo distinguir los muchos aspectos computacionales de la demostración, permitiendo una mejor comprensión de la interacción entre la notación diagramática desarrollada específicamente por Heesch y los algoritmos y programas utilizados, descritos y mencionados en los textos que contienen la demostración [2], [3] y [8].
[1] Tymoczko, T. (1979) The Four-Color Problem and its Philosophical Significance. The Journal of Philosophy, Vol 76 (2): 57-83.
[2] Appel, K. & Haken, W. (1977) Every planar map is four colorable. Part I: Discharging. Illinois Journal of Mathematics, 21 (3): 429–490.
[3] Appel, K., Haken, W. & Koch, J. (1977) Every planar map is four colorable. Part II: Reducibility. Illinois Journal of Mathematics, 21(3): 491–567.
[4] Wagner, R. (2017). Making and baking mathematical sense: histories and philosophies of mathematical practice. Princeton University Press.
[5] Secco, G.D. (2016) Computadores nas práticas matemáticas: um exercício de microhistória. O que nos faz pensar. 25 (39): 105-122
[6] Koch, J.A. (1976). Computation of Four-Color Irreducibility. Department of Computer Science University of Illinois at Urbana-Champaign.
[7] Heesch, H. (1969). Untersuchungen zum Vierfarbenproblem. Hochschulscripten. Mannheim: Bibliographisches Institut, v. 810.
[8] Appel, K. & Haken, W. (1989) Every planar map is four-colorable. Contemporary Mathematics (AMS), v. 98.
Conciliando demostraciones asistidas por computadora, el caso del problema del álgebra de Robbins
En 1933 E.V. Huntington presentó una caracterización de las álgebras booleanas con sólo tres axiomas, conmutatividad, asociatividad y el llamado axioma de Huntington. Poco tiempo después Herbert Robbins se preguntó si sustituyendo el axioma de Huntington por otro más simple, hoy llamado axioma de Robbins, también se generaba a las álgebras booleanas. El problema se mantuvo abierto durante décadas hasta que EQP, un demostrador automático para lógica ecuacional, halló la respuesta en 1996. La prueba generada consta de 13 pasos de razonamiento ecuacional extraídos de una búsqueda que generó 8871 pasos. A partir de entonces se han desarrollado otras pruebas que intentan ser más explicativas. El propósito de esta charla es mostrar algunos aspectos de estas pruebas, reflexionando acerca de la búsqueda de mecanismos y terminología que concilien las pruebas mecanizadas con las pruebas matemáticas tradicionales, en el espíritu de la ecuación de Alan Robinson, Demostración = Garantía + Explicación.
Este trabajo se realiza con apoyo del proyecto UNAM-DGAPA-PAPIIT IN101723.
¿Cómo se demuestra usando asistentes de prueba? La importancia de incorporar la verificación formal en la práctica matemática
La computadora como herramienta en el quehacer de cualquier persona científica es una realidad que tiene implicaciones de toda índole. En particular, la sinergia entre las Matemáticas y las Ciencias de la Computación, más allá de la parte fundacional, está presente en muchos aspectos, por ejemplo dentro de la práctica matemática diaria, el proceso de abstracción, formalización, demostración y comunicación de los resultados son parte de un ciclo que se asemeja en gran medida al proceso de desarrollo de software. Estas semejanzas entre hacer matemáticas y el desarrollo computacional nos llevan a discutir la influencia del uso de los asistentes de prueba en la práctica matemática siguiendo el plan de Vladimir Voevodsky para incorporar la verificación formal en la práctica matemática diaria: utilizar un sistema computacional para verificar sus construcciones abstractas, lógicas y matemáticas.
¿Se puede probar la tesis de Church?
La tesis de Church es la aseveración de que la noción intuitiva de función efectivamente calculable es extensionalmente capturada por el concepto de función recursiva. En la charla analizo varias formulaciones de la misma, algunos argumentos según los cuales no es demostrable pero es verdadera (por ejemplo, Kleene), otros que intentan refutarla (por ejemplo, Kalmar) y por último, algunos intentos de demostrarla (de nuevo Mendelson), especialmente el dado por Kripke. Comento la semejanza y dependencia que este tiene con un argumento de Kreisel. De paso hago algunas consideraciones sobre las relaciones entre lo intuitivo y lo formal en la práctica matemática.
¿Cómo demostrar lo indemostrable? Sobre enunciados, proposiciones y propiedades indecidibles
Probablemente, una de las actividades principales de la práctica matemática consiste en establecer por la vía de la demostración qué propiedades y relaciones guardan los objetos involucrados dentro de las diferentes teorías matemáticas. Sin embargo, como si esto en ocasiones no fuera suficientemente difícil, la cuestión se complica de manera considerable cuando sencillamente no se puede demostrar si efectivamente tales entidades mantienen o no ciertas propiedades o relaciones. De este modo, la presente charla se propone abordar el fenómeno de la indecidibilidad a partir de un análisis intensional de las propiedades. Se espera que este análisis permita a la larga esbozar una propuesta para determinar el valor de verdad de proposiciones indecidibles sin recurrir a instrumentos poco confiables o inadecuadamente justificados desde un punto de vista epistémico.
Para llevar a cabo esta empresa, en primer lugar, será pertinente clarificar una distinción entre enunciados, proposiciones y propiedades de objetos. Si bien la indecidibilidad de ciertos enunciados dentro de una teoría particular es indiscutible, y si bien en ocasiones su interpretación pretendida permite asignarles un valor de verdad determinado, esto no implica que tal interpretación coincida íntegramente con la proposición original que se buscaba establecer; es más, muchas veces incluso no es inmediato que esta misma proposición recupere el vínculo que se pretendía expresar entre las entidades matemáticas y una cierta propiedad (o relación).
De esta forma, el desarrollo de la discusión llevará posteriormente a considerar un análisis intensional de las propiedades. En este análisis especialmente se estudiará la relación entre propiedades necesariamente co-extensionales (i. e., co-intensionales) —por ejemplo, “ser no-biyectable con un natural de von Neumann” y “ser biyectable con un subconjunto propio”— y se explorarán diferentes criterios de identidad entre estas. Asimismo, el examen conducirá a la cuestión sobre si el hecho de que dos propiedades sean co-intensionales desde un punto de vista privilegiado implica que su expresión proposicional garantice la preservación de sus extensiones. Se propondrá que esto no es siempre el caso con base en la presencia de conceptos extraños dentro de la formulación de una propiedad respecto de la otra, y viceversa.
Dicho en otras palabras, el interés se encuentra en explorar mediante una teoría de las propiedades si diferentes formulaciones de una proposición matemática (e. g., la hipótesis del continuo), y que recurren a diferentes propiedades (o relaciones), pueden apoyar argumentos en favor o en contra de dicha proposición.
Por último, se mencionarán problemas generales con la propuesta que se ha desarrollado y se indicará el posible papel que una teoría de los conceptos puede jugar en todo esto.
¿Todo problema matemático bien planteado tiene solución? Axioma de solubilidad y demostraciones formales
La historia de un procedimiento matemático inválido pero correcto a principios del siglo XIX
Como parte del examen para optar por la cátedra de matemáticas elementales en la Universidad de Praga en 1804, los candidatos debían calcular el área y volumen de un casquete esférico. Con este problema, como con el resto de las cuestiones planteadas en el examen, la comisión evaluadora pretendía que los candidatos mostraran su familiaridad con el libro de texto oficial, pero a la vez buscaba que hicieran gala de sus conocimientos matemáticos. En esta charla abordaremos las respuestas a tal problema ofrecidas por Ladislav Jandera y Bernard Bolzano, los dos únicos candidatos, y en particular explicaremos por qué mientras que el método empleado por el primero era considerado válido (aunque su respuesta fue incorrecta), el procedimiento seguido por el segundo era considerado inválido pero su respuesta fue juzgada como correcta.
¿Qué demostró Grothendieck?
El trabajo de Grothendieck extendió los límites del análisis funcional, inauguró una nueva era de abstracción y generalidad. Sus ideas pioneras en espacios vectoriales topológicos, espacios de Banach y teoría de operadores tuvieron un gran impacto. En esta charla analizaremos algunas de las nociones de Grothendieck sobre la estructura de los espacios vectoriales topológicos y su teoría de espacios nucleares. Uno de nuestros principales objetivos será determinar la elección del contexto en el cual se desarrolló su teoría y cómo ésta fue retomada años después fuera del contexto de los espacios vectoriales topológicos.
El infinito y lo imposible
Hay resultados en matemáticas que son considerados como imposibilidades, dos de los principales son: la imposibilidad de cuadrar el círculo con regla y compás y el teorema de imposibilidad de Abel. El primero corresponde a un problema geométrico, el segundo a uno algebraico. En esta platica explicaré los dos problemas y sus respectivas imposibilidades, y mostraré que en ambas situaciones subyace la distinción entre finito e infinito.
Inconsistencia como indagación en Matemáticas
Dentro de la Filosofía de las Matemáticas se ha puesto especial interés a los objetos matemáticos más aceptados, como los números, las figuras geométricas y las geometrías, e incluso las pruebas matemáticas, a veces denominados como objetos acabados o terminados, básicamente son los objetos matemáticos que se consideran que están integrados a las Matemáticas.
Así el principal interés de la Filosofía de las Matemáticas se centra en la ontología de los objetos matemáticos, si estos existen y son descubiertos, si se pueden formalizar, o si se pueden utilizar métodos constructivos para determinar las propiedades de dichos objetos, sin embargo la empresa matemática también se encarga del proceso de descubrimiento de los mismos, algo que muchas veces no queda registrado en alguna de estas posturas.
Para algunos filósofos el descubrimiento en matemáticas resulta ser un proceso subjetivo que no puede ser representado por alguna de las posturas sostenida por la Filosofía de las Matemáticas (Cellucci, 2022, p. 20). Esto más que un argumento, es herencia de la Filosofía de la Ciencia, donde se llegó a considerar que existe una división entre el descubrimiento, de naturaleza subjetiva y por lo tanto contingente, y la justificación, de naturaleza racional y por lo tanto esencial para la ciencia y en este caso para las Matemáticas.
El descubrimiento en Matemáticas si es contingente, ya que no necesariamente las primeras formulaciones de un objeto o área matemática se mantienen, pero es cuestionable que dichos descubrimientos sean subjetivos. Históricamente los matemáticos cuentan con herramientas que permiten determinar la pertinencia de los objetos matemáticos, sus usos y principios, una de esas herramientas es la consistencia de dichos objetos o áreas.
Lo que es espera es que los objetos matemáticos, o las soluciones proporcionadas, es que sean consistentes, es decir que a lo largo de su uso y definición no ocurra que se utilice una propiedad y su contraria. El debate de la consistencia tomó relevancia a partir del uso de los infinitesimales, indivisibles y los métodos originales del cálculo.
Estos objetos fueron debatidos ya que se consideraba que eran inconsistentes, es decir utilizaban una propiedad y su opuesta, si tomamos en cuenta la diferencia entre el descubrimiento y la justificación, los resultados de estos procedimientos no podría evaluarse porque serían subjetivos. Pero en matemáticas era posible comprobar los resultados de estos procedimientos con otras técnicas matemáticas, lo que permitía saber sí los resultados obtenidos eran correctos, así era posible evaluar dichos objetos matemáticos, quitándole la subjetividad al descubrimiento matemático.
Es posible que la inconsistencia sea una forma de proponer soluciones a problemas en matemáticas y que la inconsistencia sea usada como una forma de indagación. Dichas soluciones pueden evaluarse, al menos parcialmente, si se ponen a prueba con otros problemas ya resueltos con otras técnicas matemáticas.
Si bien no todos los descubrimientos matemáticos son inconsistentes, y algunos posiblemente tengan la característica de ser subjetivos, no significa que todas las investigaciones matemáticas sean subjetivas hasta que se incorporen a las Matemáticas.
Lo que nos mostraría la inconsistencia es que en Matemáticas sí se realiza una indagación matemática y que esta es posible estudiarla desde la perspectiva filosófica, mediante el estudio de la Ciencia Inconsistente o alguna otra herramienta filosófica como la filosofía de las matemática heurística o empirista, mostrando que el estudio filosófico del avance de las Matemáticas es posible.
Referencias
Cellucci, C. (2022). The Making of Mathematics: Heuristic Philosophy of Mathematics. Springer.
Demostrabilidad y verdad en Matemáticas. Algunas reflexiones acerca de la relación entre estas nociones con los conceptos formal e informal de conjunto
No parece haber duda de que, en la labor teórica matemática, la noción de demostración es uno de los elementos principales presentes para poder desarrollar y obtener una gran cantidad de resultados, logrando con ello los progresos que se tienen en la disciplina. Esto no es extraño en vista de que, desde que comenzaron a aparecer obras como los Elementos de Euclides, la importancia de demostrar resultados a partir de información inicial (axiomas, postulados, etc.) se ha visto inherente al trabajo que se realiza en la totalidad de las Matemáticas.
También es claro que la noción de verdad dentro de las Matemáticas es de gran importancia, aunque la preponderancia de su estudio no ha sido la misma para matemáticos que para filósofos. Remontándonos al quehacer matemático que se efectuó desde la antigüedad, considerar como verdaderos a los supuestos o axiomas de los que se partían consistía en cumplir con algunos pocos requisitos, a saber, que fuera clara una correspondencia de los supuestos con ideas e intuiciones consideradas como básicas para razonar matemáticamente, siendo tales ideas de carácter aritmético (conteo, manejo de cantidades, etc.) o de carácter geométrico (trazo de puntos, líneas, etc.). Esto se mantuvo sin mucho cambio hasta épocas relativamente recientes, cuando ciertos conceptos matemáticos comenzaron a introducir conflicto con esa idea de correspondencia intuitiva, como el caso de las nociones de continuidad o lo infinitesimal dentro del análisis, o el surgimiento de otras geometrías que no cumplían con todos los postulados más evidentes. Lo anterior se hizo aún más manifiesto con la incursión de la lógica como elemento clave en el desarrollo de la labor matemática, pues ahora las preguntas que tenían que ver con la verdad o la consistencia en Matemáticas se convirtieron en un foco de atención con obras como la de Hilbert, Frege, Tarski, Gödel, entre otros.
En este punto, otra rama de las Matemáticas que fue crucial para centrar la discusión en el tema de lo que significa que algo sea verdadero en esta disciplina fue la Teoría de Conjuntos. A partir del trabajo de Cantor, los objetos de esta teoría comenzaron a permear una gran cantidad del trabajo que se había hecho en Matemáticas, y aún ahora notamos que los problemas y preguntas actuales pueden ser interpretados con ayuda de los conjuntos. Entre otras cosas, esto ha propiciado que en una gran cantidad de demostraciones se recurra a los conjuntos en alguna medida para alcanzar los resultados, y también se ha ampliado el alcance del manejo de la cuestión acerca de la verdad en Matemáticas para incluir dentro de dicha cuestión a la relación que guarda esa noción con los conjuntos.
Pese al impulso que la Teoría de Conjuntos proporciona en la labor demostrativa en Matemáticas, y reinterpretar lo que significa que algo sea verdadero en esta disciplina, también es cierto que, en relación con la noción de verdad, los conjuntos han propiciado la aparición de nuevas cuestiones. La manipulación del contenido de diversas proposiciones matemáticas mediante conjuntos suele evidenciarse en la demostración de tales proposiciones, además que es usual emplear los conjuntos como parte del escrutinio sobre el valor de verdad de esas proposiciones.
Es notorio que no en todas las ramas de las Matemáticas se puede apreciar cómo es que las propias nociones de demostrabilidad y verdad pasan a ser objeto de cuestionamiento para los matemáticos. Sin embargo, esto deja de ser así cuando la atención es fijada en aquellas ramas de estudio más relacionadas con entender la estructuración y funcionamiento del propio quehacer matemático, es decir, la Lógica y la misma Teoría de Conjuntos. Además, una de las ventajas de tomar a la Teoría de Conjuntos como la primera rama para estudiar determinadas proposiciones de interés está en que el empleo de los conjuntos como los objetos que cumplen tales proposiciones admiten, en principio, ese manejo matemático teórico-conjuntista. Por lo que la cuestión más global acerca de qué cosas se cumplen para los conjuntos es una presente en mayor o menor medida en la labor (lo anterior siempre que las cuestiones se presten a ser analizadas en dichos términos).
La conexión de la verdad matemática con la labor teórico-conjuntista queda más clara gracias a ese carácter de la Lógica y la Teoría de Conjuntos como ramas de la disciplina más cercanas a la comprensión y estructura que subyacen a las Matemáticas. Pero no está exento de dificultades. Como suele ocurrir con otros problemas involucrados con la Teoría de Conjuntos, es la propia noción de conjunto la que tiene una fuerte influencia a la hora de tratar de resolver esos problemas. Lo anterior ocurre debido a que no hay una idea totalmente clara y aceptada sobre lo que significa que algo sea un conjunto en este sentido teórico. Por lo que, cuando se presentan afirmaciones como “para la proposición φ, los conjuntos X son tales que φ es verdadera de ellos” no siempre es claro qué significa que sea verdadero que los conjuntos satisfacen la proposición φ.
Uno de los casos de mayor interés para analizar la situación anterior dentro de la Teoría de Conjuntos se presenta con los llamados Principios de Reflexión (PR). Una forma usual de presentarlos es: Para cualquier proposición φ de la Teoría de Conjuntos, V ⊨ φ ⇒ ∃ β ∈ ORD(Vβ ⊨ φβ). La idea detrás de estos principios consiste en que, si una tal proposición es verdadera del entorno conjuntista V, entonces debe existir un estrato inicial ordinal Vβ en donde la proposición es verdadera, de modo que la proposición pasa de ser vista globalmente en la teoría a ser considerada de manera local. Ahora bien, ¿Qué significa “V ⊨ φ” en la formulación de PR? Ya que la cuestión acerca de la verdad matemática puede verse en estrecha relación con la comprensión de ese antecedente en la fórmula de PR, y por ende se afecta a la demostración de las fórmulas en los términos teórico-conjuntistas, el concepto de conjunto y su comprensión parecen volver al foco de atención para esclarecer la pregunta sobre la verdad matemática. Ciertamente, han sido varias las formas y propuestas con las que se intenta resolver la cuestión sobre lo que son los conjuntos. Unos se encaminan más por la naturaleza estructural del entorno V, por ejemplo, sostener que es una totalidad acabada y teóricamente independiente (Actualismo), o que es una totalidad en constante cambio y crecimiento (Potencialismo). Otras propuestas se encaminan a un tratamiento más relacionado con la naturaleza misma de los conjuntos, como sostener alguna forma de Platonismo, o Ficcionalismo. Además, en todas las formas para tratar de dar respuesta a la cuestión sobre los conjuntos, han aparecido preguntas adicionales propias de cada postura, pero unas preguntas que siempre es posible plantearse son: ¿Cómo se relacionan los conceptos formal e informal de conjunto?, ¿Cómo afecta esa distinción de conceptos a nociones como la de verdad matemática? Se pretende hacer la reflexión alrededor de aspectos y cuestiones como las anteriores.
Lo que la demostración de las paradojas nos puede enseñar
El tema central es la demostración de algunas de las paradojas de circularidad y su conexión con algunos teoremas importantes en lógica y matemáticas. Por un lado las paradojas son cierto tipo de fenómenos que nos resulta en aspectos problemáticos y en buena medida indeseables de nuestras teorías formales, mientras que los teoremas son uno de sus productos más deseables (siempre y cuando dichas teorías no sean triviales).
Mi objetivo general es analizar las demostraciones de algunas de las paradojas más conocidas de circularidad y su relación con la demostración de teoremas, los objetivos secundarios en el presente texto son mostrar a través de herramientas del análisis proporcionado por la lógica clásica y los teoremas de Cantor-Lawvere, cuáles son los conceptos e intuiciones detrás de algunas de las paradojas de circularidad, y cómo es que a través de estas herramientas es posible conectarlas con algunos teoremas importantes en lógica y matemáticas. El teorema de Cantor-Lawvere es un resultado que a manera un esquema que refleja la estructura de varias de las paradojas de circularidad más conocidas así como de algunos teoremas. Para ello se tomará un estudio de caso, para ser más concretos el de la paradoja del mentiroso.
Este trabajo partirá de abordar algunas de las nociones más importantes en lo que refiere al estudio de paradojas y que nos serán útiles para nuestra investigación, como es la misma noción de paradoja. Después pasaré a presentar el teorema de Cantor-Lawvere y cómo es que nos permite reconstruir algunos de los razonamientos detrás de algunas paradojas así como de algunos teoremas relacionados a fenómenos de recursión y circularidad. Posteriormente veremos como se acomoda este tipo de análisis para el caso particular de la paradoja del mentiroso y el teorema de indefinibilidad de la verdad de Tarski. Al final concluiré, a partir de este caso de estudio, con algunas reflexiones en torno a las posibles conexiones entre las paradojas de circularidad y teoremas relacionados con la circularidad y la computabilidad.