Embedded Files
This page is part of an exercise for the University of Tolima.
ENTROPIA
Nota: El siguiente contenido se basa en el libro Introduction to Statistical Physics de Kerson Huang (link).
Introducción: El mundo se percibe de manera distinta según las escalas de espacio y tiempo: la realidad macroscópica (metros y segundos) difiere notablemente de la atómica (mucho más pequeña). A escala macroscópica describimos la materia con magnitudes fenomenológicas como presión y temperatura, que reflejan de forma implícita la estructura atómica mediante propiedades medibles como densidad y capacidad calorífica.
Por experiencia, sabemos que un cuerpo macroscópico generalmente se estabiliza o alcanza un estado estacionario tras un breve periodo. A este estado lo denominamos equilibrio térmico. Cuando las condiciones externas cambian, el estado de equilibrio existente se modifica y, tras un tiempo de relajación relativamente corto, se estabiliza en otro estado de equilibrio. Así, un cuerpo macroscópico pasa la mayor parte del tiempo en algún estado de equilibrio, interrumpido por transiciones casi repentinas.
El estudio de los fenómenos macroscópicos se divide en tres partes:
La termodinámica es una teoría fenomenológica de los estados de equilibrio y las transiciones entre ellos.
La mecánica estadística se ocupa de deducir las propiedades termodinámicas de un sistema macroscópico a partir de su estructura microscópica.
La teoría cinética busca la descripción microscópica del proceso de transición entre estados de equilibrio.
El Límite Termodinámico: Se considera un cuerpo material compuesto por (N) átomos en un volumen (V), en el límite idealizado: N → ∞, V → ∞, con N/V = constante. Esto se llama el límite termodinámico.
El estado termodinámico se especifica mediante un conjunto de variables termodinámicas. Estas son P, V y T, que denotan respectivamente la presión, el volumen y la temperatura. Existen sistemas que requieren otras variables además de, o en lugar de, P, V y T. Ejemplos comunes son el campo magnético y la magnetización para una sustancia magnética, la deformación y la tensión en sólidos elásticos, o el área superficial y la tensión superficial.
Transformaciones Termodinámicas: En equilibrio térmico, las variables termodinámicas P, V y T no son independientes, sino que están relacionadas por una ecuación de estado: f(P, V, T) = 0. La función (f ) es característica de la sustancia y define una superficie en el espacio de estados generado por P, V y T. Todos los estados de equilibrio se encuentran sobre esta superficie.
Los cambios en las condiciones externas modifican el estado de equilibrio del sistema. Por ejemplo, aplicar presión externa puede reducir el volumen, lo que se denomina una transformación termodinámica. Si la transformación ocurre lentamente, el sistema permanece en equilibrio y se llama cuasiestática. Una transformación cuasiestática suele ser reversible, es decir, el sistema puede recorrer el mismo camino en sentido inverso cuando el cambio externo se revierte. Una transformación reversible puede representarse mediante un camino continuo sobre la superficie definida por la ecuación de estado, como se ilustra en la siguiente figura.
Una transformación irreversible, en cambio, no puede representarse como un camino en el espacio de la ecuación de estado, como indica la línea discontinua en la figura. De hecho, puede que ni siquiera sea posible representarla como un camino en el espacio de estados. Un ejemplo es la remoción súbita de una pared en un recipiente con gas, lo que provoca que el gas se expanda hacia un compartimento que estaba originalmente vacío. Aunque los estados inicial y final son estados de equilibrio, los estados intermedios no tienen presión, volumen y temperatura uniformes, y por lo tanto no pueden representarse como puntos en el espacio de estados.
Ciclo de Carnot: En una transformación cíclica, el estado final es igual al inicial y, por lo tanto, el cambio en la energía interna, U, ΔU = 0. Un proceso cíclico reversible se puede representar mediante un lazo cerrado en el diagrama P-V. El área del lazo representa el trabajo total realizado por el sistema en un ciclo. Dado que ΔU = 0, también es igual al calor absorbido ΔW = ΔQ.
El ciclo de Carnot es un ciclo reversible delimitado por dos isotermas y dos líneas adiabáticas. La sustancia de trabajo puede ser arbitraria, aunque la ilustración se refiere a un gas ideal. El sistema absorbe calor (Q_2) a lo largo de la isoterma a temperatura (T_2), y libera calor (Q_1) a lo largo de la isoterma a temperatura (T_1), donde (T_2 > T_1), y ( Q_1, Q_2 > 0 ). Según la primera ley de la termodinámica, el trabajo neto producido es: W = Q_2 - Q_1.
En un ciclo de operación, el sistema recibe calor (Q_2) de un depósito caliente, realiza trabajo (W), y libera “calor residual” (Q_1) a un depósito frío. La eficiencia del motor de Carnot se define como:
Aunque el siguiente video (link) se encuentra en lengua inglesa, es altamente recomendable para aclarar la idea de la máquina de Carnot. Considéralo como una oportunidad para mejorar dicho idioma, que predomina en la comunicación de las ciencias.
Teorema de Clausius: En un proceso cíclico arbitrario P, se cumple la siguiente desigualdad:
donde la igualdad se cumple si P es reversible.
Consideremos un estado inicial A y un estado final B, e imaginemos un proceso reversible que nos lleva de A a B a través de una trayectoria "a", y posteriormente de B a A a través de una trayectoria "b". Por el teorema de Clausius, tenemos que
De lo anterior se deduce que la integral de Clausius, que depende únicamente de los estados inicial y final (y es independiente de la trayectoria si se trata de un proceso reversible), define una variable de estado, que se denomina entropía (El término entropía viene de una mezcla de las palabras griegas 'ergon: trabajo' y 'tropy: transformación').
Por otro lado, si consideramos un proceso irreversible, podemos obervar:
Para un sistema aislado, que no intercambia calor con el mundo exterior, tenemos dQ = 0 y, por lo tanto, ΔS<0. Esto significa que la entropía de un sistema aislado nunca disminuye, y permanece constante durante una transformación reversible.
Enfatizamos los siguientes puntos:
El principio de que la entropía nunca disminuye (la energía se dispersa) se aplica al “universo” formado por un sistema y sus ambientes. No se aplica a un sistema no aislado, cuya entropía puede aumentar o disminuir.
Puesto que la entropía es una función de estado, el cambio de entropía del sistema al pasar del estado A al estado B es S_B - S_A, independientemente del camino, que puede ser reversible o irreversible. Para un camino irreversible, la entropía del entorno cambia, mientras que para un camino reversible no cambia.
La diferencia de entropía S_B - S_A no es necesariamente igual a la integral de Clausius. Es igual a dicha integral solo si el camino de A a B es reversible. De lo contrario, por lo general es mayor que la integral.
Los siguientes dos videos (link1, link2) son altamente recomendados (en español) para comprender el concepto de entropía desde la termodinámica y la mecánica estadística.
VECTORES
Nota: El siguiente contenido se basa en el libro Berkeley Physics Course: Mechanics de C. Kittel, W. D. Knight and M. A. Ruderman (link).
Introducción. La terminología es un ingrediente esencial del pensamiento abstracto. Para expresar nuevos conceptos científicos se inventan nuevas palabras que sí satisfacen las necesidades de la comunidad científica, se añaden a los idiomas. Así, por ejemplo, vector en español e inglés, vecteur en francés, vektor en alemán y bektop (pronúnciese vector) en ruso.
Definicion. Un vector es una magnitud que tiene módulo, dirección y sentido y se combina con otros vectores de acuerdo con reglas específicas. En el estudio muchas ramas de la física encontraremos magnitudes que tienen magnitud, dirección, por ejemplo, velocidad, fuerza, campo eléctrico, entre otros.
Notación. Antes de presentar la notación, resaltamos las siguientes dos propiedades de esta
La formulación de una ley física en función de vectores es independiente de los ejes coordenados. Los enunciados tienen un significado físico sin introducir en ningún caso un sistema coordenado.
La notación vectorial es concisa. Muchas leyes físicas tienen formulaciones sencillas y diáfanas que se desfiguran cuando se escriben referidas a un sistema coordenado particular.
Aunque al resolver un problema físico puede convenir la utilización de sistemas coordenados especiales, deberemos establecer leyes de la física en forma vectorial siempre que sea posible.
A (en negrita) suele ser la notación en libros, o con una flechita encima.
|A| módulo de A.
 vector unitario, esto es, vector de módulo uno.
Resumimos esta notación mediante la identidad A = Â|A| = |A|Â.
Nota: la utilidad y aplicación de los vectores a los problemas físicos está basada esencialmente en la geometría euclidiana. La enunciación de una ley en términos vectoriales normalmente lleva consigo la hipótesis de la validez de esta geometría. Para el espacio curvo existe una formulación mucho más general, la geometría métrica diferencial, que es el lenguaje de la relatividad general, dominio de la física en el que la geometría euclideana no es ya suficientemente precisa.
Igualdad de vectores. Dos vectores A y B se dice que son iguales cuando poseen el mismo módulo, dirección y sentido; se escribe así: A=B.
Representación geométrica. Un vector se representa geométricamente por un segmento lineal dirigido, o flecha, cuya longitud en unidades a una escala definida es igual a la magnitud del vector.
Suma vectorial. La suma de A y B se define por la construcción geométrica indicada en la figura. Esta construcción se llama con frecuencia ley del paralelogramo. A+B se define trasladando B paralelamente a sí mismo hasta que el origen de B coincida con el extremo de A. El vector dibujado desde el origen de A al extremo de B es la suma A+B. De la figura se deduce que A+B=B+A, es decir, la suma vectorial tiene la propiedad conmutativa.
Substracción. La relación A+(-A)=0 define el vector negativo.
La suma vectorial satisface la relación A + (B + C) = (A + B) + C, es decir, la propiedad asociativa. Si k es un escalar, k(A+B)=kA+kB, de modo que la multiplicación de un vector por un escalar satisface la propiedad distributiva.
Productos de vectores. Aunque no existe razón para preguntarse si la suma de dos vectores es un escalar o un vector, tal cuestión tiene importancia en lo que se refiere al producto de dos vectores, de gran utilidad ambos. Los tipos satisfacen la ley distributiva de la multiplicación: el producto de A por la suma de B+C es igual a la suma de A por B más A por C. Uno de los productos es un escalar y el otro se puede considerar un vector en la mayoría de las aplicaciones. Ambos son útiles en física.
Producto escalar. Se define el producto escalar de A y B como el número que se obtiene multiplicando el módulo de A por el de B y por el coseno del ángulo que forman entre sí, y se representa así: A · B = |A| |B| cos(A,B), donde A,B denota el ángulo que forman A y B.
Dado que cos(A,B)=cos(B,A), el producto escalar goza de la propiedad conmutativa: A · B = B · A.
Si A=B, entonces cos(A,B)=1 y A·B = |A|^2.
Si A·B=0 y A, B son distintos de cero, decimos que A es ortogonal (o perpendicular) a B.
La multiplicación escalar no tiene inversa, es decir, si A·B=X, no hay solución única para X.
Dividir por un vector es una operación sin definir, carente de significado.
Componentes, magnitudes y cosenos directores
Sean x̂, ŷ, ẑ tres vectores unitarios mutuamente ortogonales que definen un sistema cartesiano como en la figura. Un vector arbitrario A puede escribirse como
donde Ax, Ay y Az se denominan componentes de A. Fácilmente se ve que Ax = A · x̂, ya que
En función de estos componentes, Ax, Ay y Az, la magnitud de A es
Si deseamos escribir una expresión para el vector unitario Â, vemos que
es tal expresión. De esta deducimos que los ángulos que A forma con los ejes x, y, z tienen los cosenos Ai/|A|, o sea î · A, con i={x,y,z}. se denominan cosenos directores y tienen la propiedad de que la suma de los cuadrados de los tres es igual a la unidad.
Finalmente, el producto escalar de dos vectores A y B se recuerda fácilmente en función de los componentes
Vector eléctrico y magnético en una onda electromagnética. Si k̂ es el vector unitario en la dirección de propagación de la onda electromagnética plana en el espacio libre, entonces los vectores campo eléctrico y de inducción E y B, deben estar en un plano normal a k̂ y deben ser perpendiculares entre sí. Podemos expresar la condición geométrica por las relaciones k̂ · E = k̂ · B = E · B = 0.
El siguiente video (link) es recomendado para la profundización de los temas aquí mencionados.
ERROR EN LOS CALCULOS NUMERICOS
Nota: El siguiente contenido se basa en el libro Numerical Solution of Stochastic Differential equations de P. E. Kloeden and E. Platen.
Introducción. En general, no es posible encontrar explícitamente la solución Xt de un problema de valor inicial
La necesidad ha impulsado el desarrollo de métodos para calcular aproximaciones numéricas a la solución de este tipo de problemas de valor inicial. El método más extendido y utilizado es la aproximación en tiempo discreto, en la que la ecuación diferencial en tiempo continuo se sustituye por una ecuación en tiempo discreto que genera valores y₁, y₂, ..., yₙ para aproximar X₁, X₂, ..., Xₙ en instantes de discretización dados t₀ < t₁ < ... < tₙ. Se espera que estas aproximaciones sean bastante precisas si los incrementos de tiempo Δ = tᵢ₊₁ - tᵢ son suficientemente pequeños.
Cálculo de Itô. La inclusión de efectos aleatorios en ecuaciones diferenciales se produce cuando se requiere incorporar fluctuaciones internas o externas en la descripción dinámica de un sistema. Un ejemplo del primer caso es el bombardeo molecular de una partícula de polvo sobre la superficie del agua, que da lugar a un movimiento browniano. La intensidad de este bombardeo no depende de las variables de estado. Tomando Xt como una de las componentes de la velocidad de la partícula, Langevin formuló la ecuación
para la aceleración de la partícula. Esta es la suma de una fuerza de fricción retardadora que depende de la velocidad y las fuerzas moleculares representadas por un proceso de ruido blanco ξt, con intensidad b, que es independiente de la velocidad. Aquí, a y b son constantes positivas. Ahora interpretamos la ecuación de Langevin simbólicamente como una diferencial estocástica
Ecuaciones similares surgen de sistemas eléctricos donde Xt es la corriente y ξt representa el ruido térmico.
Aproximación de Euler. Una de las aproximaciones temporales discretas más sencillas de un proceso de Ito es la aproximación de Euler. Consideraremos un proceso de Ito Xt que satisface la ecuación diferencial estocástica escalar
Para una discretización temporal dada t0 < t1 < ... < tn, una aproximación de Euler es un proceso estocástico de tiempo continuo Yt que satisface el esquema iterativo
Nota: Cuando el coeficiente de difusión es idénticamente cero, es decir, cuando g = 0, el esquema iterativo estocástico se reduce al esquema determinista de Euler para la ecuación diferencial ordinaria dXt = f(t,Xt)dt.
Análisis del Error. Podemos calcular el error de una aproximación mediante el criterio del error absoluto. Este criterio es simplemente la esperanza de los valores absolutos de la diferencia entre la aproximación y el proceso de Ito en el instante t, es decir,
lo que proporciona una medida de la proximidad entre las trayectorias.
Si las funciones f y g son Lipschitz, esto es |f(t,x)-f(t,y)| < K|x-y|, y la condición inicial es determinista (o aleatoria con momentos finitos) existe una constante positiva c tal que
donde Δ es el incremento de tiempo.
Nota: Cuando el coeficiente de difusión g=0 y el valor inicial es determinista, la aleatoriedad no influye y la esperanza resulta superflua. En este caso, el criterio se reduce al criterio del error absoluto determinista.
Nota: Si el valor de c es conocido, es posible establecer una tolerancia y determinar el valor de Δ.
Monte Carlo. En muchas situaciones prácticas, no necesitamos una convergencia tan estricta como la de la aproximación por trayectorias. Por ejemplo, puede que solo nos interese el cálculo de momentos, probabilidades u otros funcionales del proceso de Ito. Organizaremos las trayectorias simuladas de la aproximación de Euler en M lotes con N trayectorias cada uno. El estimador de Monte Carlo de
para una cierta función F. Aquí el superíndice k denota la k-esima realización independiente de la variable aleatoria Yt. El promedio de los errores al cuadrado de este estimador es
De este modo, si el valor de c es conocido, podemos elegir N y Δ tal que este error sea menor que una cierta tolerancia. Además, mediante el teorema de límite central, podemos demostrar la convergencia de dicho estimador. Permitiéndonos construir intervalos de confianza.
El siguiente video (link) es recomendado para conocer el nacimiento de los métodos de Monte Carlo.
Page updated
Google Sites
Report abuse