El Álgebra conmutativa estudia las propiedades de diferentes tipos anillos que aparecen naturalmente en diversas áreas de la matemática. Este curso está pensado para introducir al estudiante a esta teoría e ilustrar su importancia mediante la conexión con otras áreas tales como la teoría de números y la geometría algebraica.
Primero introduciremos conceptos básicos de módulos sobre anillos y de extensiones integrales. Además introduciremos localizaciones de anillos y estudiaremos descomposición primaria. Continuaremos con anillos de valoraciones discretas y mas generalmente dominios de Dedekind, y estudiamos el grupo de ideales fraccionarios. Identificaremos ejemplos concretos de dominios de Dedekind, como el anillo de enteros en un cuerpo de números o el anillo de funciones de una curva suave afin.
Después, introduciremos el concepto de dimensión de Krull de un anillo y estudiaremos completaciones de anillos y módulos. Como aplicación vamos a relacionar la dimensión de Krull con la dimensión topológica de una variedad algebraica sobre un cuerpo arbitrario y con la dimensión analítica de una variedad compleja.
El curso se realizará mediante exposiciones de los profesores y alumnos. La evaluación se basará en la(s) exposición(es) y el desarrollo de su preparación.
Temario
Semana 1: Modulos sobre anillos.
Semana 2: Extensiones integrales.
Semana 3: Variedades afines (Excursión a la Geometría)
Semana 4: Anillos Noetherianos (y sus espectros)
Semana 5: Localizaciones y normalizaciones
Semana 6: Anillos de valoración discreta
Semana 7: Anillos de Dedekind
Semana 8: Extensiones de valoraciones y de anillos de Dedekind
Semana 9: Completaciones
Semana 10: Henselización de valoraciones de rango mayor
Semana 11: Teoria de dimension y anillos locales regulares
Semana 12: Dimension inyectiva y proyectiva de modulos y los functores Ext y Tor
Semana 13: Dimensión global de un anillo local, regularidad, factoralidad
Referencias