Limaçon

Otilia T. Wiermann Paques

otilia@ime.unicamp.br

Com a colaboração da bolsista

Luana P.R. de Aguiar

luana.aguiarpr@gmail.com

1. História

A curva Limaçon foi estudada primeiramente por Roberval (Gilles Personne Roberval foi matemático e físico francês (1602-1675) que descobriu o hoje chamado Principio de Cavallieri) que a descreveu por volta de 1630 e a denominou de Limaçon de Pascal em homenagem ao matemático Étienne Pascal que a estudou muito. Limaçon vem da palavra em latin “limax” que significa caracol. Após Roberval, esta curva foi muito estudada e muitos resultados foram obtidos sobre ela.

2. Descrição

⦁ Como conchoide de um círculo de diâmetro 2a em relação a um ponto fixo na sua circunferência e diferentes k. (ver no Um e-book sobre curvas mecânicas animadas pelo GeoGebra – conchóides).

Vejamos:

I) caso em que k = 5 e a = 2 (ou seja k > 2a)

II) com k = 4 e a = 2 temos um caso especial, uma cardioide (ou seja k = 2a)

III) caso em que a = k = 2. Neste caso temos uma limaçon denominada de trissectrix, pois pode ser usada para trisseccionar um ângulo.

Trisseccionar um ângulo pelo método da trissectrix

Temos a figura da trissectrix e os pontos A= (0,0), O = (2,0) e B = (6,0).

O ponto R está num círculo de centro A e raio AO. Traçando uma reta RO encontramos o ponto P sobre o laço interno da trissectrix. O ângulo BAP é igual a 1/3 do ângulo dado BAR.

2) Como envoltória de uma família de círculos da seguinte forma:

Tome um círculo de centro na origem e raio 1 e o ponto A = (2,0). Com centro em Q, um ponto sobre a circunferência e trace um círculo de centro em Q e raio AQ. A envoltória de todos estes círculos quando Q percorre a circunferência é uma Limaçon.

3) A limaçon de Pascal é um epitrochoide: Se um círculo rolar exteriormente ao redor de um círculo fixo, sem deslizar, de mesmo raio a, o lugar geométrico de um ponto P atachado a ele a uma distância k do centro desse círculo, mas não em sua circunferência, é chamado de epitrochoide (ver no Um e - book sobre curvas mecânicas animadas pelo Geogebra - trochoides).

De acordo com a relação entre k e a, temos o seguinte:

Caso I) Para k > 2a a limaçon possui um ponto cúspide

Limaçon com k = 1 e a = 0.8

Caso II) Para k = 2a, tem – se a cardioide

Limaçon com k = 2 e a = 1

Caso III) Para k < 2a, chama-se Limaçon crunodal.

(ponto crunodal é quando há mais de uma tangente).

Limaçon com k = 1 e a = 1.5