Cardioide

Otilia T. Wiermann Paques

otilia@ime.unicamp.br

Com a colaboração da bolsista

Luana P.R. de Aguiar

luana.aguiarpr@gmail.com

1. História

A cardioide, uma curva em forma de coração, foi denominada assim por

Johann Castillon (1704-1791), em 1741, num artigo publicado no Philosopical Transactions of the Royal Society. Curva estudada por Ole Roemer, (1644-1710) , em 1674 a estudou e Phillipe de La Hire (1640-1718) em 1708 descobriu o comprimento de uma cardioide.

2. Descrição

1) Cardioide como envolvente de uma família de círculos

Tome um círculo (chamado de círculo básico) e marque um ponto A sobre sua circunferência. Com centro em Q, ponto sobre a circunferência tome o círculo de centro em Q e raio QA. A curva em forma de coração em qual todos os círculos a tocam é chamada de cardioide, e o ponto A é chamado ponto cúspide. É a envolvente de todos os círculos de centro em Q e raio QA. Veja a figura abaixo, onde tomamos o círculo básico com centro na origem e raio 1 e A = (1,0).

2) Cardioide como uma epicicloide de um ponto cúspide.

(ver epicicloide no: Um e-book sobre curvas mecânicas animadas pelo GeoGebra: Trochoides)

Caso 1: Os raios dos dois círculos são iguais a 1 e o ponto que se move está sobre a circunferência do círculo exterior.

Caso 2: Quando o círculo de raio 1, roda sem deslizar, no interior do círculo fixado de raio 2, e o ponto que se move está sobre a circunferência do círculo que roda.

3) a conchoide de um círculo com centro em (0,0) e raio 3 e ponto fixo sobre a circunferência B=(3,0) e k = 6 é uma cardioide.

Ver no Um e-book sobre curvas mecânicas animadas pelo GeoGebra – Conchoides.

Em geral tomando a circunferência de raio 2a, o ponto fixo sobre a circunferência e k = 2a obtemos a cardioide.

REFERÊNCIA

LOCKWOOD, E.. A Book of Curves. Cambridge: At the University Press, 1961.

YATESs, R. Curves and their properties´- The National Council of Teachers of Mathematics – USA – 1974.

( publicado inicialmente em 1952)