Derick Terán y Anllely Chávez
Curso computacional de álgebra lineal
Objetivo del proyecto
Dar a conocer los distintos tópicos de álgebra lineal y cómo aplicarlos con los métodos computacionales existentes Para este peque;o curso de álgebra lineal vamos a usar ya sea Octave o matlab los cuales conocemos que son grandes softwares matemáticos , Si se le complica a alguien descargar octave o matlab puede usar la versión online de octave https://octave-online.net/ .
Softwares Matematicos
Existen algunos softwares bastante útiles por Internet , pero para este proyecto nos centraremos en Matlab y octave los cuales son específicamente para cálculos numéricos. A continuación una guía rápida o ayuda de como descargar estos programas:
Octave:
Para la descarga de el programa octave podemos hacerlo por la pagina oficial https://www.gnu.org/software/octave/ o usar la versión online https://octave-online.net/
Motivación:
Dar a conocer los distintos tópicos de álgebra lineal y cómo aplicarlos con los métodos computacionales existentes
¿Qué es el álgebra lineal?
Conocemos al álgebra lineal como el uso de conceptos de álgebra para el trabajo de vectores y matrices en distintos espacios vectoriales y ecuaciones lineales. Gracias a que en la actualidad contamos con una gran cantidad de herramientas computacionales para la resolución de problemas algebraicos es importante conocer acerca de estos software para tener una mayor eficiencia al desarrollar cálculo de ejercicios.
Escritura de vectores
Conocemos que un vector tiene tanto magnitud como dirección y los utilizamos para describir, por ejemplo, la velocidad de objetos en movimiento entre muchas otras cosas mas.
La forma correcta para escribir un vector en matlab y octave es:
a=[1, 2, 3] a2=[1; 2; 3]
Como podemos observar, nombramos al vector a y dentro de los corchetes van los elementos del vector. El vector a es vector fila ya que al colocar coma después de cada elemento permanece igual, en cambio el vector a2 en el cual se agrega punto y coma este se expresa en forma de vector columna.
a=[1, 2, 3]
a2=[1; 2; 3]
Suma & resta de vectores:
Gráficamente:
Para sumar o restar vectores gráficamente dos vectores solemos utilizar la llamada regla del paralelogramo que consiste en trazar por el extremo de cada vector una paralela al otro. El vector resultante de la suma tiene su origen en el origen de los vectores y su extremo en el punto en el que se cruzan las dos paralelas que hemos trazado.
Algebraica-mente:
Para conseguir la suma de dos o mas vectores se necesita sumar cada una de sus componentes(estos tienen que ser de las mismas dimenciones )
Multiplicación por escalar:
La multiplicación de un vector u por un número k se escribe ku. El número k también se conoce como escalar. Además, la multiplicación por escalar es otro vector que satisface las siguientes propiedades:
Al multiplicar un vector por un escalar lo que sucede gráficamente es que ese vector va a aumentar o disminuir su tamaño en la posición en la que se encuentra
Para la multiplicación de un escalar con un vector en octave o matlab se debe primero de crear el vector y el escalar para después poder multiplicarlos , usaremos el vector A=[1 2 3] y a el escalar b=2
a=[1 2 3]
b= 2
c= a*b
Producto punto:
El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar las componentes y despues sumarlas , un ejemplo puede ser al tener el vector a=[1 2 3] y b =[ 2 2 2 ], su producto punto es c= 1*2+2*2+3*2 c=12
C = dot(a,b) devuelve el producto de punto de los dos vectores en los que se tienen que cumplir las siguientes condiciones:
Si a y b son vectores, deben tener la misma longitud.
Si a y b son matrices o matrices multidimensionales, deben tener el mismo tamaño. En este caso, la función dot trata a y b como colecciones de vectores. La función calcula el producto de punto de los vectores correspondientes a lo largo de la primera dimensión de matriz cuyo tamaño no es igual a 1.
a=[1 2 3]
b =[ 2 2 2 ]
c=12
Escritura de matrices
Por otro lado, una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las cantidades de filas (m) por las de columnas (n)
Matrices:
Para poder crear un arreglo de matrices en nuestro software necesitamos tener en claro las dimensiones de las cuales va a ser nuestra matriz.
Para cambiar de fila separaremos con un ;
A continuación algunos ejemplos:
Esa matriz es conocida como la matriz identidad
Suma y resta de matrices
Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3x2 y otra de 3x3, no se pueden sumar ni restar
Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta o suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta o suma de los elementos colocados en el mismo lugar de las matrices restadas o sumadas.
Para realizar la suma y resta de matrices en octave es necesario primero que se hayan graficado las matrices , para después usar el comando C=A*B donde A y B son matrices. y C seria el resultado de la suma de estas dos materias.
A=[1 2 3;1 2 3;1 2 3]
B=[2 1 3;1 4 5;1 2 3]
C=A+B (Para realizar la resta solo hay que cambiar el signo)
Gauss-Jordan
Es un algoritmo del álgebra lineal que se usa para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, para encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
Para realizar Gaus en octave o matlab usaremos el comando rref el cual nos dara el resultado de la matriz en su forma escalonada reducida, para esto tendremos que tener ya nuestra matriz creada.
A=magic(4) (Este comando nos produce una matriz 4x4 aleatoria)
B=rref(A)
Nota: Solo existe el determinante de una matriz si esta es cuadrada
Determinante
Llamamos determinante de A "det A", al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden.
Para conseguir el determinante de una matriz en matlab u octave se neesita usar el codigo det el cual nos mostrara el determinante de la matriz cuadrada el cual es un numero real
A=magic(3) (Devuelve una matriz 3x3 aleatoria)
B=det(A)
Transpuesta
Una matriz traspuesta es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz. Para realizar este procediemiento en octave o matlab usaremos el comando transpose.
A=magic(3)
B=transpose(A
Inversa
Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de 0. Si una matriz tiene inversa, se dice que es inversible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.Para sacar la inversa de una matriz en octave o matlab se necesita usar el codigo inv el cual nos da la inversa de la matriz.
Tabla de códigos, Octave/Matlab
Vectores:
A = [2 3 4] (Muestra un vector fila)
A = [2;3;4] (Muestra un vector columna)
C = A+B (Suma de las matrices A y B)
C = A-B (Resta de las matrices A y B)
C = A*b (Multiplicación de la matriz A y el escalar b)
C = dot(A,B) (Resuelve el producto punto de los vectores A y B )
Matrices:
A = [2 3 4;1 2 3; 2 1 3] (Muestra una matriz de 3x3)
A = magic(3) (Crea una matriz 3x3 con datos aleatorios)
C = A+B (Suma de dos matrices)
C = rref(A) (Resuelve por el método de eliminacion de gaus jordan la matriz A)
C = det(A) (Resuelve el determinante de la matriz A)
C = transpose(A) (Transpone la matriz A)
C = inv(A) (Resuelve la matriz inversa de la matriz A)
Conclusiones
Al lograr abarcar los temas más importantes podemos entender que es fundamental aprender a usar estos software computacionales los cuales están al alcance de todos para poder facilitarnos la resolución de ejercicios de álgebra lineal, a demás, es importante recalcar que es recomendable previo a aprender los códigos tener unas bases básicas de la teoría que conlleva el curso de álgebra lineal.
