Antonio Cafure (Universidad Nacional de General Sarmiento)

María Chara (Universidad Nacional del Litoral)

Adrián Pastine (Universidad Nacional de San Luis)

Ricardo Podestá (Universidad Nacional de Córdoba)

Denis Videla (Universidad Nacional de Córdoba)

C1 - DANIEL JAUME - ADRIÁN PASTINE (UNSL)

Teoría Algebraica de Grafos --- Aula Magna.

Es este breve curso introduciremos la descomposición nula de árboles. Esta herramienta, fue introducida por Jaume y Molina en 2018, y permite estudiar propiedades estructurales de árboles vía álgebra lineal. El espacio nulo de la matriz de adyacencia del una árbol produce una descomposición del árbol en dos bosques. El S-bosque, formado por árboles con un único independiente máximo, y el N-Bosque formado por árboles con un único matching máximo.

C2 - ROBERTO MIATELLO (UNC)

Introducción a los cuerpos finitos --- Aula 27 (pdf notas!).

Se introducen los cuerpos finitos y sus propiedades mas salientes. Se darán métodos para construirlos a partir de polinomios irreducibles y caracterizaciones. Estudiando los subcuerpos, se puede dar la clausura algebraica.

CF1 - CAROLINA MALDONADO (FCEFYN, UNC)

Álgebra de Terwilliger asociada a geometrías parciales // The Terwilliger algebra associated to partial geometries (PDF)

En esta charla describimos el Álgebra de Terwilliger del grafo asociado a una geometría parcial PG(r, k, t). El caso t = 1 está descripto en [1]. En esta charla mostramos los avances sobre el caso general.

[1] Levstein, F.; Maldonado. Generalized quadrangles and subconstituent algebra. CUBO, A Mathematical Journal. Vol.12, No 2, 53-75. (2010).

Trabajo conjunto con Blas Fernádez.

CF2 - VICTOR SCHVÖLNER (UNSL).

Teorema de transición de árboles // A Theorem of transition on trees (PDF)

El 2-switch es una operación que preserva la secuencia de grados de un grafo. El Teorema de Berge afirma que, dados 2 grafos con la misma secuencia de grados, es posible transformar uno en el otro mediante una sucesión de 2-switches. Se mostrará que es posible obtener una afirmación análoga para árboles y se aplicará este resultado para demostrar que muchos parámetros tienen propiedad de intervalo sobre familias de grafos con una misma secuencia de grados.

CF3 - MAXIMILIANO VIDES (CONICET)

Identidades de MacWilliams para métricas poset // MacWilliams identities for poset metrics (PDF)

La identidad de MacWilliams es uno de los resultados fundamentales en la teoria de códigos sobre el espacio de Hamming, que relaciona el enumerador de pesos de un código con el de su dual. En este caso hablaremos sobre la identidad de MacWilliams sobre sobre espacios Poset, es decir F_q dotado con una métrica inducida por un poset. Veremos en que casos existe tal relación y daremos algunos casos donde se pueden dar explicitamente.

Trabajo conjunto con Ricardo Podestá.

CF4 - NARDO GIMENEZ (UNGS)

Complejidad en promedio del algoritmo de Euclides con un polinomio fijo sobre un cuerpo finito // Average complexity of Euclid's algorithm with a fixed plynomial over a finite field (PDF)

Analizamos el comportamiento del algoritmo de Euclides aplicado a pares de polinomios univariados (g, f) sobre un cuerpo finito de q elementos cuando el polinomio de mayor grado g está fijo. Considerando todos los polinomios f de grado fijo, establecemos cotas asintóticamente óptimas en términos de q para el número de polinomios f coprimos con g y para el grado promedio del máximo común divisor de g y f. También exhibimos cotas asintó́ticamente óptimas para la complejidad promedio del algoritmo de Euclides aplicado a tales pares de polinomios (g, f).

Trabajo conjunto con Guillermo Matera, Mariana Pérez y Melina Privitelli.

CF5 - ALEJANDRO CASTRILLÓN (FCEFyN, UNC).

Códigos entrelazados y espacialmente acoplados: Conceptos y aplicaciones // Interlaced and spacially coupled codes: concepts and applications (PDF)

En respuesta a la demanda de esquemas de corrección de errores cada vez más poderosos, la academia y la industria han confluido a una novedosa clase de códigos denominados espacialmente acoplados, los mismos incluyen características de los códigos convolucionales. Además, estos códigos presentan excelentes propiedades como poder alcanzar la capacidad de determinados canales.

CF6 - ADRIÁN PASTINE (UNSL).

Secuenciabilidad de grupos // Sequentiability on groups (PDF)

Un grupo abeliano de orden n es secuenciable si existe una sucesión g1, g2, g3, . . . , gn de los diferentes elementos de G, de manera tal que las sumas parciales

g0, g0 + g1, g0 + g1 + g2, . . . , g0 + g1 + g2 + · · · + gn−1

son todas distintas.

Un grupo abeliano G de orden n es R-secuenciable si existe una permutación de los elementos distintos a la identidad g2, g3, . . . , gn de manera tal que los elementos de la sucesión

g3 − g2, g4 − g3, . . . , gn − gn−1, g2 − gn

sean distintos dos a dos.

En esta charla reinterpretaremos estas definiciones utilizando digrafos de Cayley, daremos una caracterización de grupos abelianos secuenciables y R-secuenciables basada en su 2-subgrupo de Sylow, y daremos generalizaciones del problema tanto en la teoría de grupos como en la teoría de diseños combinatorios.

CF7 - DENIS VIDELA (FAMAF, UNC).

El problema de Waring en cuerpos finitos y grafos de Paley generalizados // The Waring's problem on finite fields and generalized Paley graphs (PDF)

El problema de Waring clásico, introducido por Edward Waring, pregunta si dado k ∈ N, existe un número g(k) tal que todo natural puede ser escrito como la suma de a lo más un número g(k) de potencias k-ésimas. Por ejemplo g(1) = 1, g(2) = 4 y g(3) = 9. Este último hecho fue probado por Hilbert en 1909 y desde entonces es conocido como el Teorema de Hilbert-Waring.

En el contexto de cuerpos finitos, dado un cuerpo finito Fq y un entero k | q − 1, el problema es decidir si es posible expresar cada elemento del cuerpo como una suma de potencias k-ésimas en el cuerpo. En este caso, el número de Waring g(k, q) es el menor valor s tal que todo elemento de Fq es una suma de a lo más una cantidad s de potencias k-ésimas de elementos del cuerpo. Este es un problema abierto que sólo ha sido resuelto para algunas familias de parámetros. Más aun, la obtención de buenas cotas es también satisfactorio.

Hay tres métodos generales para calcular o estimar g(k, q): combinatoria aditiva, sumas exponenciales y métodos de Lattice. Aquí proponemos una nueva estrategia, mostrando que el cálculo del número de Waring es equivalente al cálculo del diámetro de cierto grafo de Cayley definido sobre el cuerpo finito Fq, los llamados grafos generalizados de Paley. En esta charla veremos cómo a partir de caracterizaciones de estos grafos es posible calcular el número de Waring en algunos casos no conocidos. Luego presentamos una fórmula exacta de reducción de tipo g(k_b, q^b) = b g(k, q) donde k_b depende de k, b y q. Por último mostraremos una nueva cota inferior para g(k, q) en el caso de que q es primo.

Trabajo conjunto con Ricardo Podestá.

CF8 - MARIANA PÉREZ (UNAHUR).

Análisis probabilístico del algoritmo clásico de factorización de polinomios univariados en familias sobre cuerpos finitos // Probabilistic analisys of the classic factorization algorithm of univariated polynomials in famlilies over finite fields (PDF)

En esta comunicación analizamos la complejidad en promedio del algoritmo clásico de factorización aplicado a ciertas familias A de polinomios univariados con coeficientes en el cuerpo finito Fq de q elementos. Este algoritmo se basa en cuatro etapas fundamentales. Primero realiza una “eliminaciónn de factores repetidos”; luego descompone este polinomio libre de cuadrados en polinomios cuyos factores irreducibles tienen todos el mismo grado (factorización en distintos grados). En el tercer paso factoriza completamente estos polinomios (factorización en grados iguales). Por último, factoriza los factores repetidos que se descartaron en el primer paso. Este algoritmo está implementado en muchos paquetes de álgebra computacional.

En [1], P. Flajolet, X. Gourdon y P. Panario realizan un análisis probabilístico del mismo sobre todos los polinomios en Fq[T] de grado dado, donde demuestran que éste queda determinado por la correspondiente distribución de patrones de factorización. Sin embargo, frecuentemente los polinomios a factorizar poseen características particulares que impiden aplicar directamente estos resultados. En tal sentido, utilizando estimaciones explícitas sobre la distribución de patrones de factorización sobre las familias A consideradas (ver, [2]), obtenemos resultados sobre el comportamiento en promedio del algoritmo clásico de factorización para el caso de dichas familias, que muestran que éste tiene buen comportamiento como en el caso general.

[1] P. Flajolet, X. Gourdon, D. Panario. The complete analysis of a polynomial factorization algorithm over finite fields. J. Algorithms. 40 (1): 37-81, 2001.

[2] G. Matera, M. Pérez, M. Privitelli. Factorization patterns on nonlinear families of univariate polynomials over a finite field, J. Algebr. Comb. (2019), 1-51.

Trabajo conjunto con Guillermo Matera y Melina Privitelli.

CF9 - GUSTAVO CABAÑA (UNL).

Propiedades estructurales de AG-códigos cíclicos // On structural properties of cyclic AG-codes (PDF)

Una pregunta todavía sin responder dentro de la teoría de códigos es si la clase de códigos cíclicos es asintóticamente buena, aunque hay evidencia que indica que algunas construcciones de códigos cíclicos no son útiles para generar una familia asintóticamente buena.

En este trabajo interpretamos la condición de ciclicidad en el contexto de códigos algebraicos geométricos racionales y presentamos algunos resultados parciales en la búsqueda de caracterizar a los códigos algebraicos geométricos cíclicos.

CF10 - DANIEL JAUME (UNSL).

Inversión de grafos unicíclicos no singulares // Inversion of non-singular unicyclic graphs (PDF)

CF11 - RICARDO PODESTÁ (FAMAF, UNC).

Propiedades espectrales de grafos de Paley y códigos irreducibles asociados // Spectral properties of generalized Paley graphs and irreducible cyclic codes (PDF)

Los grafos de Paley generalizados son ciertos grafos de Cayley G(k,q)=Cay(Fq,Rk) cuyo conjunto de vértices es un cuerpo finito de q elementos Fq y su conjunto de conexión está dado por Rk = \{x^k : x en Fq*}.

En esta charla, primero daremos el espectro del grafo en términos de períodos Gaussianos. Para el caso en que G(k,q) es semiprimitivo, damos su espectro explícitamente y deducimos propiedades estructurales de los grafos a través de dicho espectro.

En segundo lugar consideraremos ciertos códigos cíclicos irreducibles asociados C(k,q) y mostramos que los espectros de C(k,q) y de G(k,q) se determinan mutuamente. Con esto es posible calcular los espectros de G(3,q) y G(4,q).

Esta charla se basa en un trabajo conjunto en curso con Denis Videla.

CF12 - MELINA PRIVITELLI (UNGS).

Estimaciones para variantes de ecuaciones diagonales sobre cuerpos finitos // Estimations for variants of diagonal equations over finite fields (PDF)

Ciertos problemas de teoría de códigos, criptografía y combinatoria, requieren el estudio de la geometría de variedadades simétricas sobre cuerpos finitos, es decir, variedades definidas por polinomios en los polinomios simétricos elementales (ver, por ejemplo [1], [2] y [3]).

En este trabajo consideramos los polinomios suma de potencias de orden k en las variables X1, . . . , Xn, es decir, los polinomios de la forma S_k = X_1^k + · · · + X_n^k. Dado f ∈ Fq[Y1, . . . , Yd] (donde Fq es el cuerpo finito de q elementos) y S_{k1}, · · · , S_{kd} ∈ Fq[X1, . . . , Xn], definimos la variedad dada por f(S_{k1}, . . . , S_{kd}) + g, con g ∈ Fq[X1, . . . , Xn] . Bajo ciertas hipótesis sobre f y g, probamos que dicha variedad es absolutamente irreducible, y también obtenemos una cota de la dimensión de su lugar singular. A partir de este estudio, y utilizando los resultados de conteo de puntos Fq-racionales para variedades singulares provistos en [4], obtuvimos estimaciones de la cantidad de puntos Fq-racionales de este tipo de variedades.

Finalmente aplicamos estas técnicas al problema de estimar el cardinal del conjunto de soluciones Fq-racionales de ciertas ecuaciones polinomiales sobre Fq. Más precisamente, obtenemos resultados de existencia y estimaciones de la cantidad de soluciones Fq-racionales de las ecuaciones diagonales deformadas, las escuaciones generalizadas de Markoff-Hurwitz y las ecuaciones de Carlitz, (ver, por ejemplo, [5]).

[1] A. Cafure, G. Matera, M. Privitelli. Singularities of symmetric hypersurfaces and Reed-Solomon codes, Adv. Math. Commun. 6 (2012). no. 1, 69–94.

[2] E.Cesaratto, G. Matera, M. Pérez y Melina Privitelli. On the value set of small families of polynomials over a finite field. I. J. Combin. Theory Ser. A 124 (2014), 203–227.

[3] G. Matera, M.Pérez y M. Privitelli. Factorization patterns on nonlinear families of univariate polynomials over a finite field, J Algebr. Comb. (2019), 1-51.

[4] S. Ghorpade and G. Lachaud, Etale cohomology, Lefschetz theorems and number of points of singular varieties over finite fields, Mosc. Math. J. 2 (2002), no. 3, 589–631.

[5] G. Muller y D. Panario. G. Mullen y D. Panario, Handbook of finite fields. CRC Press, Boca Raton, FL, 2013.

CC1. JAVIER GARCIA (UNGS)

Polinomios ciclotómicos binarios y álgebra lineal // Binary cyclotomic plynomials and linear algebra (PDF)

Es un hecho conocido que si p y q son números primos diferentes, los coeficientes del polinomio ciclotómico binario Φ_{pq}(x) pertenecen al conjunto {0, ±1}. Esta particularidad lleva a decir entonces que los polinomios ciclotómicos binarios son planos.

En esta comunicación presentaremos una nueva demostración de la planitud de los polinomios ciclotómicos binarios Φ_{pq}(x), apelando al álgebra lineal implícita en la factorización de polinomios.

CC2. AGUSTINA LEDEZMA (UNSL)

Hamiltonicidad de grafos estables de Kneser // Hamiltonicity of stable Kneser graphs (PDF)

El grafo de Kneser KG(n,k) tiene como vértices los subconjuntos de cardinalidad k de el conjunto {1,...,n}, y como aristas {A,B} si A y B son disjuntos. El subgrafo de Kneser s-estable, KG_{s-stab}(n,k) se obtiene al eliminar los vértices con elementos cuya distancia cíclica sea menor o igual a s. Muchas propiedades de los grafos estables de Kneser han sido estudiadas en los últimos años, por ejemplo su número cromático, número de independencia, y grupo de automorfismos.

En este trabajo estudiaremos la existencia de ciclos hamiltonianos en los grafos s-estables de Kneser, es decir la existencia de un ciclo que pase por todos los vértices del grafo.

CC3. GUILHERME PORTO (UNSL)

Recent topics on the Brouwer conjecture.

Let G be a simple graph with n vertices and e(G) edges. The Laplacian and signless Laplacian matrix of G are defined as L(G) = D(G) − A(G) and Q(G) = D(G) + A(G) respectively, where A(G) is the adjacency matrix and D(G) is the diagonal matrix of vertex degrees of G. It is well known that both L(G) and Q(G) are symmetric and positive semidefinite, then we can denote the eigenvalues of L(G) and Q(G), called respectively the Laplacian eigenvalues and the signless Laplacian eigenvalues of G, by μ_1(G) ≥ · · · ≥ μ_n(G) = 0 and q_1(G) ≥ · · · ≥ q_n(G) ≥ 0.

Brouwer et al. conjectured that the sum of the k largest Laplacian eigenvalues of G is at most e(G) + \binom{k+1}{2}, where 1 ≤ k ≤ n, that is

S_k(G) = \sum_{i=1}^k μ_i(G) ≤ e(G) + \binom{k+1}{2} , for 1 ≤ k ≤ n.

Motivated by the definition of Sk(G) and Brouwer’s conjecture, F. Ashraf et al. proposed the following conjecture for the sum of the k largest signless Laplacian eigenvalues of G

S_k^+(G) = \sum_{i=1}^k q_i(G) ≤ e(G) + \binom{k+1}{2} , for 1 ≤ k ≤ n.

In this work, we will talk about the main results already obtained for these conjectures and present some new results that we developed. In addition, we will present new conjectures that were motivated by recent studies of Brouwer’s conjecture that should attract the attention of many researchers.

CC4. PAULA CHIAPPAROLI (UNC)

Distribución de pesos de códigos cíclicos a través de sumas exponenciales y curvas algebraicas // Weight distribution of cyclic codes through exponential sums and algebraic curves (PDF)

En esta charla hablaremos sobre dos estrategias para encontrar la distribución de pesos de ciertos códigos cíclicos. Una de ellas a través de sumas exponenciales y la otra a partir del número de puntos racionales de ciertas curvas algebraicas.

En particular, encontraremos la distribución de pesos del código de Melas a partir de curvas algebraicas, en este caso, curvas elípticas. Usaremos el Teorema de Delsarte, las identidades de MacWilliams, el número de clase de Kronecker y la traza de operadores de Hecke.

CC5. DIEGO MARTINEZ (UNSL).

Soporte de grafos de línea de árboles // The support of line graphs of trees (PDF)

Dado un grafo G=(V,E), el grafo de línea de G, L(G), tiene como vértices a las aristas de G,dos de las cuales son vecinas en L(G) si y sólo si tienen un vértice en común. Por otro lado, el soporte de un grafo son los vértices asociados a las coordenadas no nulas de los vectores del espacio nulo de su matriz de adyacencia. Este conjunto es interesante por brindar una conexión entre propiedades estructurales y propiedades espectrales de los grafos. Por ejemplo, el soporte de un árbol es la intersección de todos los conjuntos independientes máximos.

En este trabajo estudiamos el soporte de los grafos de línea de los árboles. En particular, demostramos que el soporte es indepentiente si y sólo si el árbol original tiene un matching perfecto. Además, en dicho caso, el soporte coincide con las aristas del matching.

CC6. ELÍAS CANCELA (UNSL)

Zero forcing on circulant graphs.

En este trabajo estudiamos el zero forcing number para grafos circulantes, una subfamilia de los grafos de Cayley, el cual denotamos Z(C(n, {a1, . . . ak})). Primero obtenemos un lema sobre grafos de Cayley generales G = Cay(Gamma, S) que nos permite encontrar ciertos forts en G dados cosets en Gamma. Utilizamos este lema para encontrar cotas inferiores no triviales para Z(Circ(2n, {1, n − 1}). Aplicando otras técnicas también encontramos cotas para Z(C(2n, {1, n − 1})) , Z(C(2n, {1, a, n − 1}))), Z(C(2n, {a, b, n − 1}))) entre otros varios casos. Ademáas determinamos específicamente el forcing number para los casos C(2n, {1, n − 1}) y C(n, {1, 3}). También dado cualquier primo p encontramos cotas superiores para el caso general Z(C(p, {a1, . . . ak})).

CC7. GERSON GUTIERREZ (UNC)

Coloreando nudos con Fq // Colouring knots with Fq (PDF)

En la teoría de nudos un invariante básico muy conocido es el de ser tricoloreable, el cual consiste en colorear los arcos de un diagrama del nudo con tres colores (rojo, amarillo y azul) tal que se cumplan ciertas condiciones de coloreo.

Veremos cómo este invariante puede ser generalizado usando los cuerpos Fq. Y de alguna manera análoga el etiquetar los arcos de un diagrama con los elementos de un grupo. Profundizaremos más en esta última parte.

CC8. MARCO PULITI (UNSL)

Nulidad mínima y máxima de una secuencia de grados de grafos unicíclicos // Minimum and maximun nullity of a sequence of degrees of unicyclic graphs (PDF)

Un grafo unicíclico es un grafo conexo que contiene un único ciclo inducido. La sucesión finita no decreciente s = (d1, d2, . . . , dn) se dice que es una secuencia de grados de unicíclicos de longitud n si existe al menos un grafo unicíclico tal que su secuencia de grados es s. El conjunto de todos los unicíclicos conexos que tienen s como su secuencia de grados es denotado por U_s. Definimos las nulidades mínima y máxima posibles en U_s por

null_m(U_s) := min_{U∈U_s} {null(A(U))} y null_M(U_s) := max_{U∈U_s} {null(A(U))}.

Mostraremos fórmulas explícitas para estas nulidades mínima y máxima.

Trabajo conjunto con Gonzalo Molina, Daniel A. Jaume y Maikon Toledo Machado