Lunes 31 de mayo de 2021, 14 hs (GMT -3, local time)

Resumen: A long-standing open problem on Einstein homogeneous manifolds is the {\it Alekseevskii conjecture}, which states that a connected homogeneous Einstein manifold of negative scalar curvature must be diffeomorphic to a Euclidean space.

In this talk we aim to discuss recent advances towards the above mentioned conjecture, share our contributions and describe open questions.

This talk is based on joint works with Ramiro Lafuente (The University of Queensland).

Miércoles 3 de junio de 2021, 14 hs (GMT -3, local time)

Resumen: Conformal Killing forms on Riemannian manifolds are differential forms whose covariant derivative with respect to the Levi-Civita connection is given by its exterior differential and its co-differential. They generalize the concept of conformal (and Killing) vector fields. Examples of Riemannian manifolds with non-trivial conformal Killing k-forms are quite rare for k>1. Nevertheless they appear, for instance, on nearly-Kähler manifolds, round spheres and Sasakian manifolds. The aim of this talk is to introduce recent results regarding the structure of 2-step nilpotent Lie groups endowed with left-invariant Riemannian metrics and carrying non-trivial conformal Killing forms. In the way, we will review aspects of the Riemannian geometry of nilpotent Lie groups endowed with left-invariant metrics and describe the methods to achieve the structure results. The talk is based on joint works with Andrei Moroianu.

Viernes 4 de junio de 2021, 10 hs (GMT -3, local time)

Resumen: In the first part of this lecture we will introduce the fundamental concepts of contact Hamiltonian systems. The second part will be devoted to show some applications to thermodynamic systems. We will see how contact hamiltonian systems are able to capture the characteristic dissipative concepts of thermodynamics.

References:

[1] de León, Manuel; Lainz Valcázar, Manuel:: Contact Hamiltonian systems. J. Math. Phys. 60 (2019), no. 10, 102902, 18 pp.

[2] de León, Manuel; Lainz Valcázar, Manuel Infinitesimal symmetries in contact Hamiltonian systems. J. Geom. Phys. 153 (2020), 103651, 13 pp.

[3] Simoes, Alexandre Anahory; de León, Manuel; Lainz Valcázar, Manuel; de Diego, David Martín: Contact geometry for simple thermodynamical systems with friction. Proc. Royal Society A. 476 (2020), no. 2241, 20200244, 16 pp

[4] Simoes, Alexandre Anahory; de León, Manuel; Lainz Valcázar, Manuel; de Diego, David Martín: The geometry of some thermodynamic systems. To appear in: Les Houches-SPIGL'20 Proceedings, Springer, 2021, 30 pp

Jueves 3 de junio de 2021, 14 hs (GMT -3, local time)

Resumen: The natural way in which differential geometers encode (linear) restrictions on the velocities of mechanical systems is through distributions of k-planes. Among them, the two most relevant types are the integrable ones, which give rise to foliations, and the completely non-integrable ones, which play a fundamental role in sub-Riemannian geometry. One very useful way of studying these objects is through infinitesimal symmetries, which reduce a difficult "global" problem into a weaker, but more manageable, "linear-algebraic" one. This linearization procedure takes us to the realm of Lie theory, especially to the study of nilpotent Lie algebras.

In this talk, I will give a very biased overview of infinitesimal symmetries, related to problems in sub-Riemannian geometry, some generalizations, and geometric control theory.

Jueves 3 de junio de 2021, 10 hs (GMT -3, local time)

Resumen: The study of the algebro-topological invariants of G-character varieties for a Riemann surface roots in their relation, through the non-abelian hodge correspondence, to the moduli space of G-Higgs bundles. This also inspired the study of the same invariants for G-character varieties of Riemann surfaces without a finite number of points.

One way to address this study is to construct a lax TQFT that computes their virtual class in the Grothendieck ring of algebraic varieties. In this talk we want to show that it can also be applied to singular curves such as nodal curves. This is based in joint work with Angel González Prieto.

Viernes 4 de junio de 2021, 11 hs (GMT -3, local time)

Resumen: An extension of the definition of the momentum map, based on the Poisson-Lie momentum map definition is presented. This momentum map is able to capture discrete topological information and it exists for actions of various diffeomorphism groups for which the standard momentum map does not exist due to topological obstructions. Applications of this momentum map are also presented.

Descargar pdf de la presentación.

Lunes 31 de mayo de 2021, 10 hs (GMT -3, local time)

Resumen: Based on a stochastic SIS epidemic model, we apply the theory Lie-Hamilton systems and quantum deformations to propose a quantum stochastic SIS model that is a Hamiltonian system depending on a deformation parameter z. We propose a general solution for this new quantum system in form of a nonlinear superposition rule that depends on certain particular stochastic solutions of new entangled systems of as many particles as the number of particular solutions that are necessary to provide our superposition principle. The choice of initial conditions and the particular solutions will be crucial to display the expected behavior of the curve of infections. We shall limit these constants to nonsingular regimes and display graphics of the behavior of the solutions. From the classical approach we know that the dynamics should follow a sigmoid-like curve. The introduction of a deformation parameter slightly modifies the sigmoid character into more pure exponential growth, when one varies z from zero to one. In this paper, we show how the geometric theory of Lie systems and deformations helps us quantisize classical systems, how they retrieve the classical solution when the parameter is zero and provide a quantum version of an epidemic model, which is useful in the study of the spread of germs under the influence of a constant heat source (heated buidings, etc), when immunity is not acquired.

References

[1] A. Ballesteros, A. Blasco, F.J. Herranz, J. de Lucas and C. Sardón, Lie–Hamilton systems on the plane: properties, classification and applications, J. Differential Equations 258 (2015) 28732907

[2] A. Ballesteros, J.F. Cariñena, F.J. Herranz, J. de Lucas and C. Sardón, From constants of motion to superposition rules for Lie–Hamilton systems, J. Phys. A: Math. Theor. 46 (2013) 285203.

[3] A. Ballesteros, R. Campoamor-Stursberg, E. Fernandez-Saiz, F. J. Herranz, J. de Lucas, Poisson-Hopf deformations of Lie-Hamilton systems revisited: deformed superposition rules and applications to theoscillator algebra, J. Phys.A (Accepted Manuscript) (2021)

[4] J. de Lucas, C. Sardón, A Guide to Lie Systems with Compatible Geometric Structures, World Scientific, (2020).

[5] G.M. Nakamura, A.S. Martinez, Hamiltonian dynamics of the SIS epidemic model with stochastic fluctuations, Scientific Reports 9, 15841 (2019).

Martes 1 de junio de 2021, 14 hs (GMT -3, local time)

Resumen: El aprendizaje geométrico es una versión del aprendizaje estadístico que utiliza técnicas geométricas. Las arquitecturas de redes neuronales profundas son así aplicadas al estudio de objetos geométricos (no necesariamente Euclídeos) tales cómo gráficas o variedades lisas. En esta charla presentaré una visión panorámica del desarrollo de esta creciente área en la que la Geometría interactúa con la Ciencia de la Computación.

Las redes neuronales convolucionales son una de las arquitecturas más exitosas en el aprendizaje automático (machine learning). Definirlas requiere de varios elementos disponibles, por ejemplo, en el plano Euclídeo. Observaremos que el crecimiento de geodésicas entre dos puntos cualesquiera en una variedad Riemanniana genérica impone limitaciones computacionales a la tarea de trasladar núcleos convolucionales. Un resultado de Alan Turing de 1938 nos indica que tenemos que usar toros y grupos abelianos para aproximar variedades por espacios métricos finitos.

Veremos cómo se relacionan estos temas y propondremos una manera de realizar convoluciones en variedades lisas arbitrarias mediante encajes (o embebimientos) isométricos en toros.

Jueves 3 y viernes 4 de junio de 2021, 17 hs (GMT -3, local time)

Resumen: Una variedad simpléctica es una variedad diferenciable equipada con una forma simpléctica, es decir, una 2-forma cerrada y no degenerada. Estas variedades aparecieron originalmente en el estudio de sistemas mecánicos clásicos, pero más recientemente la geometría simpléctica ha mostrado interacciones muy importantes con geometría compleja, análisis global, teoría de Lie, sistemas dinámicos, entre otras áreas.

En este curso daremos una breve introducción al estudio de las variedades simplécticas con dos objetivos principales:

1. construir ejemplos (entre ellos los fibrados cotangentes y las órbitas coadjuntas) y buscar obstrucciones para la existencia de formas simplécticas;

2. mostrar que las variedades simplécticas son localmente indistinguibles (Teorema de Darboux), por lo que no existen invariantes locales en geometría simpléctica. Esto da lugar a la búsqueda de invariantes globales.

Prerrequisitos:

• Variedades diferenciables. Es conveniente conocer las nociones básicas de grupos y álgebras de Lie.

Descargar notas del curso.

Martes 1 y miércoles 2 de junio de 2021, 10 hs (GMT -3, local time)

Resumen: La Integración Numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (sistemas dinámicos) representa por sí misma un área relevante de las matemáticas. Tradicionalmente, la ``calidad’’ de los integradores numéricos queda definida por el error cometido a la hora de aproximar la dinámica del sistema de ecuaciones original. El error es de vital importancia, y que éste sea mayor o menor juega un papel importantísimo en los aspectos prácticos asociados a los integradores numéricos, principalmente su implementación y rendimiento computacional. Sin embargo, hay otros rasgos estructurales asociados a los sistemas dinámicos que estas consideraciones no tienen en cuenta y que en principio se ignoran a la hora de construir los integradores: reversibilidad temporal, conservación de integrales primeras, conservación de la forma simpléctica, conservación de simetrías, etc. Nos referiremos a todos estos rasgos estructurales como propiedades geométricas de los sistemas dinámicos, y a la subárea de la integración numérica que los tiene en cuenta para construir los integradores como Integración Geométrica. De manera natural, que los integradores numéricos asimilen estas propiedades los aproxima (los hace más “similares”) al sistema dinámico original a nivel cualitativo, lo que redunda, como veremos, en ciertos beneficios computacionales.

Este curso está dedicado a una introducción básica a la Integración Geométrica, que ha cobrado gran relevancia en la investigación matemática desde los años 90 del siglo pasado. Nos centraremos en los llamados sistemas Hamiltonianos, de gran relevancia en física y matemáticas. Estos sistemas tienen como integral primera la llamada función Hamiltoniana, además de preservar la forma simpléctica en el espacio en el que están definidos. Estudiaremos integradores que preservan el Hamiltoniano e integradores que preservan la forma simpléctica. Profundizaremos en los del segundo tipo, denominados integradores simplécticos, poniendo de manifiesto sus principales rasgos, que incluyen un comportamiento acotado en la evolución dinámica (en el tiempo discreto) de la función Hamiltoniana. Finalmente, presentaremos una técnica sistemática para construir integradores simplécticos: los llamados integradores variacionales.

Prerrequisitos:

• Nociones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Nociones de cálculo numérico.

• Nociones de geometría diferencial

Notas del curso

Martes 1 y miércoles 2 de junio de 2021, 17 hs (GMT -3, local time)

Resumen: Introduciremos de manera amigable las nociones elementales de la geometría riemanniana (conexión de Levi-Civita, geodésicas, curvatura, isometrías, etc.). Para ejemplificar estos conceptos estudiaremos métricas invariantes a izquierda en grupos de Lie tridimensionales. Trataremos de mostrar con estos ejemplos cómo podemos ayudarnos de SageMath para resolver problemas de geometría riemanniana.

Prerrequisitos:

• Cálculo en varias variables

• Álgebra lineal

Deseable pero no excluyente:

• Variedades diferenciables

• Tener instalado correctamente SageMath y Jupyter: https://doc.sagemath.org/html/en/installation/

• Una alternativa para usar Sage sin instalar nada es https://cocalc.com/ (la versión gratuita es un poco lenta, pero es más que suficiente para este curso).

• Haber hecho algún tutorial de Sage, por ejemplo https://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/index.html

Descargar pdf de las notas de la clase 1.

Descargar pdf de las notas de la clase 2.

Descargar archivo fuente de SAGE de la clase 1.

Descargar archivo fuente de SAGE de la clase 2.