Coloquio de Combinatoria Algebraica

Fecha: miércoles 15 de noviembre de 2023 a las 16h00 (conectarse).

Resumen: 

En los últimos años la teoría de matroides ha recibido mucha atención, debido a múltiples áreas de la matemática, como la teoría de Hodge, o la optimización combinatoria. Una conjetura propuesta por De Loera, Haws y Köppe afirmaba que el "polinomio de Ehrhart" asociado a cada matroide debía tener coeficientes positivos. En esta charla vamos a motivar un poco la teoría de polinomios de Ehrhart, y a navegar la construcción de contraejemplos a esta conjetura, discutiendo algunos casos en los cuales efectivamente es cierta (por ejemplo, para los hípersimplices, o los matroides de rango 2).

Fecha: miércoles 11 de octubre de 2023 a las 16h00 (conectarse).

Resumen: 

Exploramos el orden de Bruhat del conjunto de las facetas de un complejo simplificial (visto como permutación grassmanniana) y de su subdivisión baricéntrica (vista de una manera no estándar, en un cociente de un grupo simétrico). Eso lleva a los resultados que las extensiones lineales de un complejo con la propiedad de casi-intercambio (por ejemplo matroides o ideales de orden del Bruhat) son órdenes de shelling, y que las extensiones lineales de los ideales de orden del poset en donde miramos las subdivisiones baricéntricas, son órdenes de shelling "bandera", una noción que introduciremos en la charla. Terminaremos definiendo operadores de "promotion" y "evacuation" para los órdenes de shelling.

Fecha: miércoles 13 de septiembre de 2023 a las 16h00 (conectarse).

Resumen: 

La función simétrica cromática fue introducida por R. Stanley en 1995 como una función simétrica que generaliza el polinomio cromático y que tienen muchas conexiones tanto con teoría de representaciones, teoría de grafos e incluso algebras de Hopf. En esta charla haremos una introducción a esta función y revisaremos como expandir la función simétrica cromática en distintas bases clásicas (monomial, powersum, elementary) asi como usar deletion-contraction para calcularla y también indagaremos un poco sobre las principales conjeturas  alrededor de ésta: Conjetura de Stanley-Stembridge y Conjetura de isomorfismos de árboles. La primera establece que todo conjunto parcialmente ordenado puede asociarse le una función simétrica cromática y que está función será e-positiva si el conjunto es 3+1-libre. La segunda establece que todo par de árboles que tengan la misma función simétrica cromática deben ser isomorfos.

Fecha: miércoles 16 de agosto de 2023 a las 16h00 (conectarse).

Resumen: 

Contar puntos enteros dentro de un politopo es un problema clásico en la intersección de geometría, álgebra, y combinatoria. En esta charla veremos un recorrido por este problema. Nos enfocaremos en el polinomio de Ehrhart. Este está relacionado con el conteo de puntos enteros en dilataciones de un politopo particular. Computar este polinomio es complicado en general, pero revisaremos algunos casos conocidos, desembocando en una familia llamada permutaedros parciales.