Programme scientifique

A/ Analyse complexe, algorithmique et combinatoire (fondements → analyse d’algorithmes)

L’analyse complexe transforme des objets discrets (coefficients, comptages, coûts) en objets analytiques (intégrales, singularités, transformées), puis revient vers des bornes et asymptotiques utiles en analyse d’algorithmes. Couplée à la combinatoire (énumérative et analytique), elle permet d’obtenir des estimations fines (constantes, seuils, transitions) pour comprendre, comparer et tuner des algorithmes.

Contenu & activités.

(i) Extraction de coefficients par Cauchy/résidus et manipulation de séries génératrices (OGF/EGF) ;

(ii) Transformées Fourier/Laplace/Mellin et liens avec EDP, sommes et schémas divide-and-conquer ;

(iii) Méthodes asymptotiques (singularités, transferts, point-selle/contours) pour dériver des lois de coût [ex. Stirling, binomiaux centraux, structures arborescentes, tries/hashing] ;

(iv) Mise en pratique frugale (Python) : mini-outils de calcul/simulation pour valider des constantes et des prédictions.

Cours associés.  Analyse complexe (6h) + Algorithmique (analyse et conception, 6h) :
Flajolet–Sedgewick, transferts/singularités, Mellin–poissonisation, point-selle et choix de paramètres (seuils d’algos, tailles de blocs, etc.).

Prérequis. Analyse réelle.

Intervenants. Dr Fanilo Randriamahaleo & Pr. Vlady Ravelomanana

B/ Analyse fonctionnelle et apprentissage machine (Hilbert/RKHS → régularisation, optimisation, garanties)

Les méthodes modernes d’apprentissage s’expriment naturellement en espaces de Hilbert : la régression comme projection, la régularisation comme contrôle de norme, les noyaux comme représentation implicite, et l’optimisation comme dynamique de descente. L’analyse fonctionnelle clarifie stabilité, généralisation, biais spectral et effets des pénalités (L2/L1/faible rang), et outille également les formulations variationnelles (EDP, problèmes inverses).

Contenu & activités.

(i) Espaces normés/Hilbert : orthogonalité, projections, moindres carrés ;

(ii) Opérateurs linéaires (adjoint, compacts), spectre, SVD ;

(iii) RKHS : Riesz, théorème de représenter, Mercer, kernel ridge/SVM ;

(iv) Optimisation convexe : sous-gradient, proximal, dualité (Fenchel) ;

(v) Mini-expériences frugales reliant ridge/lasso, parcimonie et validation.

Cours associés.  Analyse fonctionnelle (6h) + ML sous le prisme de l’analyse fonctionnelle (6h) :
généralisation en RKHS, filtres spectraux/early stopping, optimisation convexe-variationnelle, ill-posedness, choix de paramètres (règle de Morozov/validation).

Prérequis.  Algèbre linéaire, calcul matriciel, bases de probabilités/optimisation souhaitées.

Intervenants. Dr Lova Zakariasy & Dr Dimby Rabearivony 

C/ Vérification formelle (logique, invariants, spécifications → correction & sécurité)

La vérification formelle applique la logique mathématique et la sémantique pour prouver la correction d’algorithmes et de systèmes. Elle fournit des outils concrets (spécifications, invariants, contrats) et une discipline de raisonnement directement réutilisable en sécurité logicielle et protocoles.

Contenu & activités.

(i) Spécifications légères : pré/postconditions, invariants, assertions ;

(ii) logique booléenne et “raisonnement SAT/SMT” (concepts et usages) ;

(iii) propriétés de protocoles (authentification, confidentialité) et exemples de vérification par invariants ;

(iv) exercices guidés : lecture critique de code, formulation d’invariants de sécurité, justification de correctifs.

Ancrage dans l’école. La partie vérification est mise en pratique dans la session “Sécurité des systèmes décentralisés” : contrats/invariants (style Frama-C sur papier), patrons de sécurité, formalisation d’invariants (conservation, unicité de vote) et aperçu de modélisation protocolaire (Needham–Schroeder/AVISPA sans exécuter l’outil).

Prérequis. Raisonnement mathématique de base ; notions de programmation utiles mais non indispensables.

Intervenants. Dr Antonella DEL POZZO & Pr. Mathias RAMPARISON

D/ Cryptographie et algorithmes décentralisés (théorie des nombres → sécurité / attaques → décentralisation)

La cryptographie relie objets mathématiques (arithmétique modulaire, courbes elliptiques, réseaux euclidiens) et objectifs de sécurité (confidentialité, authenticité), tandis que la cryptanalyse illustre le rôle central des algorithmes et du choix de paramètres. La seconde partie étend ces notions aux systèmes décentralisés (blockchain/smart-contracts et apprentissage fédéré/pair-à-pair) en abordant scalabilité, menaces et atténuations.

Contenu & activités.

(i) Notions de sécurité, modèles d’attaque, primitives symétriques/asymétriques (RSA/ElGamal, signatures, échange de clés) ;

(ii) Panorama post-quantique (codes, réseaux, multivarié) ;

(iii) Cryptanalyse algorithmique : factorisation (QS/NFS), réseaux (LLL/BKZ, SVP/CVP), Coppersmith/petites racines, études de cas & défenses ;

(iv) Décentralisé : smart-contracts, DEX, vulnérabilités (reentrancy, frontrunning…), patrons de correction et invariants ;

(v) Apprentissage décentralisé : fédéré vs pair-à-pair, communication frugale, agrégation robuste, confidentialité/fairness, critères “quand (ne pas) combiner” FL × blockchain.

Cours associés.  Cryptographie (6h) + Cryptanalyse algorithmique (6h)

+ Sécurité des systèmes décentralisés (6h) + Algorithmes d’apprentissage décentralisés (6h).

Prérequis. Arithmétique modulaire et algèbre linéaire de base ; bases Python utiles.

Intervenants. Dr Christalin RAZAFINDRAMAHATSIORO & Jorge Jimenez URROZ

E/ Statistiques et data (données → modèles → interprétation, reproductibilité)

Le bloc “stats & data” couvre le cycle complet : qualité/format des données, nettoyage et EDA, modélisation statistique/ML classique, validation et communication, avec une approche frugale et reproductible (offline-first) et une attention aux limites (biais, fuite d’information, anonymisation de base).

Contenu & activités.

(i) Statistiques appliquées : distributions, échantillonnage, tests d’hypothèse ;

(ii) analyse multivariée : ACP, classification, régressions ;

(iii) séries temporelles : ARIMA, modèles régularisés, prévision ;

(iv) data engineering frugal : CSV/JSON/Parquet, encodages, valeurs manquantes, schémas, jointures, visualisations légères, SQLite/DuckDB ; (v) stockage/performance : colonnaire, compression, index ;

(vi) workflow & éthique : traçabilité, reproductibilité, checklists, anonymisation de base ; mini-projet guidé (Python).

Cours associés.  Data 1 (Statistiques & analyse de données, 6h) + Data II (Introduction aux données & “big data”, 6h).

Prérequis. Notions de Python recommandées ; bases SQL souhaitées.

Intervenants. Dr Elinambinina RAJAONARIFARA & Pr Modeste KAMENI