L'objet de ces énigmes et tout d'abord pour le plaisir du jeu et de la réflexion, ensuite pour divulguer un cours sur la topologie algébrique et ses liens avec l'analyse tensorielle des réseaux de Gabriel Kron. Les exposés sont au plus simple possible pour être lisibles par les néophytes.
La synchronisation des horloges
Énoncé
Daniel : bonjour Josiane ! J'aimerais que nous synchronisions nos montres, je pars en voyage et je voudrais t'appeler à une heure précise.
Josiane : tu veux dire que tu voudrais m'appeler à une certaine heure qui soit identique sur nos deux montres malgré ton éloignement ?
Daniel : oui, c'est cela, comme ça je suis sûr qu'on se loupera pas.
Josiane : ok, alors comment pourrions-nous procéder ? Il nous faut prendre en compte le décalage temporel entre nos deux montres lié à l'éloignement. Comment proposerais-tu de faire ?
Daniel : Ben c'est justement pour cela que je suis venu te voir ! Donc je dirais que je n'ai pas trop de solution !
Et vous, comment procéderiez-vous ?
Solution
Le temps est l'un des axes de l'espace-temps. L'espace-temps est composé des axes x/c, y/c, z/c, t. c est la vitesse de la lumière (300 000 km/s). Pour mesurer une distance temporelle, nous utilisons une source de lumière. Si Josiane est en A et Daniel en B (par exemple AB=300 m) ; la lumière met 3.10^2/3.10^8 seconde pour parcourir la distance. Soit une distance temporelle de 1 µs. Une fois en B, Daniel règle son horloge à 20h + 1 µs par exemple. Josiane envoie une impulsion lumineuse depuis A à 20h sur son horloge. Dès que Daniel reçoit l'impulsion de lumière il démarre son horloge, et les deux horloges seront synchronisées.
L'émergence dans l'assemblage
Énoncé
Daniel : bonjour Josiane ! J'ai fait un cauchemar cette nuit ! Je me promenais sur des morceaux de rubans et je n'arrivais pas à m'en sortir, ne sachant discerner un côté du ruban de l'autre.
Josiane : j'ai peut-être une idée pour te sortir de ton cauchemar : en faisant un montage tel que tu pourras discerner un côté du ruban de l'autre. La condition est qu'il faut pouvoir disposer de plusieurs rubans. C'est possible ?
Daniel : oui oui, c'est possible, autant que tu veux ! Après tout cela reste un cauchemar et mes rubans sont imaginés !
Josiane : Très bien. Au moins deux rubans suffiront. Et pour te montrer que nous pourrons discerner les deux faces du montage avec plusieurs rubans, nous visiterons ton cauchemar ensemble.
Daniel : Super ! Faire un cauchemar à deux est moins éprouvant :-)
Que proposeriez-vous à Daniel pour sortir de son cauchemar ?
Solution
En assemblant les deux rubans pour faire une portion de cylindre, les deux faces deviennent distinguables. Si deux personnes marchent sur le ruban en étant distantes d'un demi-périmètre: si elles sont sur la face externe elles ne peuvent pas se voir, alors que si elles sont sur la face interne, elles peuvent se voir en levant les yeux.
Cette différence de propriétés des faces du ruban après assemblage constitue une émergence systémique : nous ne retrouvons pas cette propriété de face différentiable quand les rubans sont séparés avant d'être cousus sur deux extrémités pour faire une portion de cylindre.