tematica 1. Antiderivadas 

5 ejercicios de integrales inmediatas

Primer punto – Temática 1: Antiderivadas

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el álgebra, la trigonometría y propiedades matemáticas para reducir las funciones a las integrales inmediatas. Recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.), y compruebe su respuesta derivando el resultado y graficando la solución a la integral.

Tabla 1 Elección de ejercicios de antiderivadas. 

a ∫▒cos⁡〖(x)-〖3x〗^5+〖2e〗^2x/(e^x  )  dx〗 

b ∫▒〖√x ( 2x+3x^2-5/x^3 ) 〗  dx

c ∫▒〖e^x-9/√(x^3 )+tan⁡x 〗 dx

d ∫▒〖cos⁡x+5x^3+4x/x^(5/2 )  dx〗

e ∫▒(〖6x〗^5+〖3x〗^2-3)/x^2  dx 

Tercer punto - Temática 3: Integral definida.

Calcular la integral definida de las siguientes funciones, encontrar la gráfica de la integral definida en GeoGebra y adjuntarla.

Tabla 3 Elección de ejercicios de integral definida

Letra Ejercicio

a ∫_1^4▒〖(〖3x〗^2+8x+5)/x  dx 〗

b ∫_2^5▒〖5/x+1/x^4 +2x^5 〗 dx

c ∫_(-1)^2▒〖(3x^2+x+5)^2 dx〗

d ∫_1^4▒〖∜(x^5 )/∛(x^2 )+2xdx〗

e ∫_0^(1⁄2)▒〖(2x-x)〗^(2 )  ∛(x^5 ) dx

Cuarto punto – Temática: Aplicaciones de la integral definida a solución de problemas

Tabla 4 Elección de ejercicios de aplicaciones de la integral definida

Letra Ejercicio

a 

Una partícula se mueve a lo largo de una recta con una velocidad v(t)=2t+4 metros por segundo, desde el tiempo t=0 hasta el tiempo t=4. Calcule el desplazamiento total neto de la partícula durante este intervalo de tiempo.

b 

El costo marginal de cierta empresa está dado por C^' (x)=18-0.003x y el ingreso marginal está dado como I^' (x)=23-0.06x. Determine el incremento en las utilidades (Ingresos-costos) de la empresa si las ventas se incrementan de 600 a 700 unidades.

c 

Un avión despega en t=0 y consume combustible a una tasa de 8-0.5t gal/h durante el vuelo. ¿Cuántos galones de combustible consume en las primeras 3 horas de vuelo?

d 

El costo marginal de fabricar x metros de cierto material es dado por C^' (x)=0.02x+0.000004 (en pesos por metro). Encuentra el incremento en el costo si el nivel de producción aumenta de 500 a 1500 metros.

e 

Se considera la función c=3t+t^2 que representa el caudal que brota de una tubería, donde c se mide en litros por minuto y t en minutos. Calcula el volumen de agua que se consigue recoger en un tanque en las dos primeras horas. 

Primer punto - Método de integración por sustitución.

Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución y comprobar su resultado usando GeoGebra. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido en Geogebra o en Python con la librería Sympy)

Tabla 1 Elección de ejercicios primer punto.

Letra Ejercicio

∫▒〖√(5&1+x^3 )  3x^2  dx〗

∫▒〖(2z )/(z^2  - 2) dz〗

∫▒〖x^3 (x^4-1)^2 dx〗

∫▒〖3t/√(t^2+1) dt〗

∫▒〖(6y+5)/∛(3y^2+5y) dy〗 

Segundo punto - Método de integración por partes.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido Geogebra o en Python con la librería Sympy)

Tabla 2 Elección de ejercicios segundo punto.

Letra Ejercicio

a ∫▒〖x cos⁡x dx〗

b ∫▒〖z^3 e^z dz〗

c ∫▒〖e^x cosx dx〗

d ∫▒p 2^p dp

e ∫▒〖y^2  ln⁡y 〗 dy 

Tercer punto - Integración por Fracciones parciales

Clasifique cada una de las expresiones en las cuales se va a dividir la integral en: lineales, lineales repetidas o cuadráticas irreductibles.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de fracciones parciales y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido Geogebra o en Python con la librería Sympy)

Tabla 3 Elección de ejercicios tercer punto

Letra Ejercicio

a ∫▒x/((x^2-3x)) dx

b ∫▒(3x+1)/(x(x^2+x-6)) dx

c ∫▒〖x/(x+1)(x^2+1)  dx〗

d ∫▒〖x^2/(x^2-4)(x+2)  dx〗

e ∫▒〖(x^2+4)/(x+1)(x^2+9)  dx〗

Cuarto punto – Sustitución trigonométrica.

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado y comprobar su resultado usando GeoGebra versión 6. (Al final del ejercicio desarrollado anexe el pantallazo del resultado obtenido Geogebra o en Python con la librería Sympy)

Tabla 4 Elección de ejercicios cuarto punto

Letra Ejercicio

a ∫▒√(529-〖4x〗^2 )/(4x^2 ) dx

b ∫▒(4x^2)/√(529-〖4x〗^2 ) dx

c ∫▒〖1/(x^2 √(144+x^2 )) dx〗

d ∫▒〖x^3 √(144〖-x〗^2 ) dx〗

e ∫▒〖√(225x^2+144) dx〗 

Quinto punto – Integrales Impropias

Desarrollar el ejercicio seleccionado y determine si la integral es convergente o divergente.

∫_(-∞)^1▒〖3/(3-x)^2  dx〗

∫_0^∞▒〖(-4)/(5x-2)^2  dx〗

∫_1^∞▒〖18/x^4  dx〗

∫_0^1▒〖1/(1-2x)^(2⁄3)  dx〗

∫_0^1▒〖1/(x)^(2)  dx〗 

Primer punto – Áreas entre curvas

Hallar el área determinada por las regiones de cada uno de los ejercicios, teniendo en cuenta:

 Hallar los puntos donde se intersecan (con tres cifras decimales de aproximación) de manera matemática y verificar los resultados con lo reportado por GeoGebra.

 Describir la integral que determina el área entre las dos curvas y solucionarla paso a paso.

Tabla 1 Elección de ejercicios primer punto.

Letra Ejercicio

a Calcular el área limitada por la parábola y^2=4x y la recta y=x.

b Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones y=〖3x〗^2  y  y=〖–x 〗^2+4x.

c Determine el área de la figura plana limitada por  y=x^2-2x  y   y=-x^2+4x.   

d Hallar el área de la región limitada por las funciones 

y=senx,y=cosx,   en el intervalo de [0,π/4].              

e Determine la región limitada por y=x^2-5x+6   y   y=2x. 

Segundo punto – Sólidos de revolución

Encontrar el volumen de revolución generado por el ejercicio seleccionado:

Realice la representación de la figura generada por la curva (sólido de revolución) en Geogebra. 

Calcule el volumen del sólido describiendo paso a paso la solución de la integral.

Tabla 2 Elección de ejercicios segundo punto.

Letra Ejercicio

a Encontrar el volumen de revolución generado por la región acotada por el ejercicio seleccionado la función f(x)= x^2, el eje 𝑥 y las líneas x=1 y x=2 al ser rotada alrededor del eje 𝑥.

b Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por y=√x , y=x alrededor del eje y.

c Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región limitada por las curvas y=x^2, y=4 alrededor del eje y.

d Encuentra el volumen del sólido de revolución generado por la región acotada por las curvas 𝑦=sin (𝑥), y=cos⁡(x) al ser rotada alrededor del eje y, en el intervalo [0,( π)/4].

e Calcular el volumen del sólido generado por la región encerrada por las curvas 𝑦=e^x, y=1, x=0, x=1, al ser rotada alrededor del eje x. 

Les informo sobre la Tarea 2: El concepto de Integral, cuya actividad inició el lunes 17 de febrero de 2025 y finaliza el domingo 16 de marzo de 2025.

En esta ocasión, los ejercicios son los mismos que los de la Tarea 1 del semestre pasado, con una única excepción: el ejercicio de la Letra B de Sumas de Riemann ha sido corregido, ya que anteriormente estaba mal planteado.

Para ayudarles, recientemente subí la solución de este nuevo ejercicio. Los demás ejercicios pueden encontrarlos en los videos de solución de la tarea del semestre pasado.

¡Mucho éxito!