Математический анализ -1

Для желающих получить оценку.

Для получения оценки необходимо сдать зачет и экзамен. Письменный экзамен состоится 19 декабря (воскресенье) с 11 до 15 часов. Темы задач экзамена перечислены здесь. К экзамену допущены будут только те слушатели, у кого есть зачет. Получить зачет можно одним из следующих способов:

1) Если вы по состоянию на 8 декабря сдали 38 задач или более, то получаете зачет автоматически (мы опубликуем список тех слушателей, у кого уже есть зачет).

2) Если вы сдали от 25 до 37 задач, то можете записать аккуратные и подробные решения еще нескольких задач (чтобы в сумме набралось 38 или больше) и отправить их по электронной почте Владлену Тиморину на адрес vtimorin@hse.ru до 10 декабря. В том числе можно прислать записанные решения задач с истекшим сроком, кроме тех, которые вы уже сдали.

3) Если вы сдали менее 25 задач, но у вас есть особые обстоятельства, сообщите о них Анне Горденко через личный чат в дискорде. Она примет решение о возможности досдать задачи с истекшим сроком.

Занятия проводятся по средам с 17:30, начиная с 8 сентября, дистанционно.

Лекции: прямая трансляция в YouTube на этом канале (вопросы задавать в чате). Начало в 17:30.

Прием задач: на платформе discord (ссылка: https://discord. gg слэш g9zkGzGDyf). Начало в 19:00.

Цель курса – помочь индивидуальному освоению фундаментальных принципов современного математического анализа. Стержень курса составляет набор листочков с задачами для самостоятельного продумывания. В связи с относительно малым количеством лекционных часов, лекции не содержат замкнутого и полного изложения. Напротив, в лекциях будут использованы результаты задач. Можно считать, что лекции – вспомогательный инструмент, позволяющий сориентировать участников, сделать их самостоятельную работу более эффективной, оказать консультационную поддержку в интерактивном режиме.

Первый семестр включает следующие основные темы:

• Аксиома Архимеда и принцип вложенных отрезков, топологические следствия из этих аксиом.

• Пределы последовательностей действительных чисел, точные верхние и нижние грани.

• Метрические пространства, сходимость относительно метрики.

• Фундаментальные последовательности, полнота. Принцип сжимающих отображений.

• Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства. Индуцированная метрика.

• Связные метрические пространства.

• Компактные метрические пространства. Критерии компактности. Метрика Хаусдорфа.

• Непрерывные отображения, гомеоморфизмы.

• Равномерная сходимость. Канторово множество, кривая Пеано.

• Задачи интерполяции и аппроксимации. Интерполяционная формула Лагранжа с остаточным членом.

• Дифференцирование функций от одной переменной. Интерполяция с кратными узлами.

• Формула Тейлора как частный случай формулы Лагранжа с кратными узлами.

• Аппроксимация непрерывных функций, теорема Вейерштрасса-Стоуна. Определенный интеграл от непрерывной функции.

• Формула Ньютона--Лейбница для функций одной переменной.

• Ряды Фурье, полнота системы тригонометрических функций.

• Замены переменных при дифференцировании и интегрировании. Одномерная теорема об обратной функции. Интегрирование 1-форм на прямой.

• Формула Эйлера-Маклорена и ее применения.