Axels farfars farfar, var stamfadern Ingvall, född omkring 1650 och ägare till en gård i Brobyn, Värmland. Fadern hette Lars Ingvallsson (1767-1841), och var dräng i Brobyn. Han flyttade 1790 in till Kristinehamn där han 1796 tog sig namnet Broström, efter hembyn. Modern hette Maria, född Jansdotter († 1854).
Axel Broström gifte sig 1864 med Mathilda, född Olsdotter 10 januari 1843 i Ölme, Värmland. Mathildas far var Olof Olsson från Sandbacken.
De fick fyra barn:
Johan Ludvig, född 20 januari 1865.
Daniel "Dan", född 1 februari 1870.
Elin Mathilda, född 4 november 1871.
Maria Katarina, född 4 januari 1878.
Broströmskoncernens historik går tillbaka till 1865, då Axel Broström från Kristinehamn köpte galeasen Mathilda på 18 läster och 90 dödviktston. Den 25 juli 1890 bildade han Ångfartygsaktiebolaget Tirfing, vilket senare blev moderbolag i Broströmskoncernen.
Dan Broström blev delägare i Axel Broström & Son 1898 och var helägare från 1905 till sin död. Under hans tid utvecklades verk-samheten mycket kraftigt, bland annat genom inrättandet av Svenska Amerika Linien 1915. Förutom rederier ägde Broströms även varvsindustrierna Eriksbergs Mekaniska Verkstad och Götaverken samt verkstadsföretagen Esab och Gunnebo. Broströms passagerarfartyg Kungsholm och Gripsholm trafikerade Göteborg – New York.
Dan-Axel Broström var verkställande direktör för Broströmskoncernens moderbolag Ångfartygs AB Tirfing 1949–1969, då Kristian von Sydow tog över.
Broström var styrelseordförande i detta företag – liksom i tjugofem andra – tills ohälsa tvingade honom, att lämna alla uppdragen.
Broströms köpte den 13 december 1972 Svenska Lloyd.
Under sjöfarts- och varvskrisen på 1970-talet och 1980-talet minskade Broströms betydelse som rederikoncern. Moderbolag i koncernen blev 1976 Broströms Rederi AB, tidigare Ångfartygs AB Tirfing. Samma år bestod rederiflottan av 48 fartyg om cirka 1,9 miljoner ton dödvikt samt 31 inhyrda fartyg.
Ångfartygs AB Tirfing förvärvades 1992 av Shipinvest AB, som uppstått efter konkursen inom Johanssongruppen i Skärhamn. I syfte att ta vara på varumärket Broström ändrades firmanamnet Shipinvest AB till Broström AB, som idag är moderbolag i Broströmkoncernen. Koncernen driver verksamhet med närmare ett hundratal tankfartyg.
Danska A.P. Møller-Mærsk köpte upp Broström 2008
Dan-Axel Broström fick redan som mycket ung följa med sin far på inspektionsrundor och sjösättningar, och hans fostran baserades helt på arv och tradition. De extremt stora förväntningarna blev Broströms ständige följeslagare. Han växte upp i familjens storslagna hem vid Skyttegatan i Lorensbergs villastad. Broström tog studenten 1934 vid Hvitfeldtska gymnasiet, examen vid Göteborgs handelsinstitut 1935, genomförde studier i Tyskland, England, Frankrike och Finland 1935–1938 och anställdes därefter i Broströmskoncernen 1938. Han var verkställande direktör i Svenska Ostasiatiska Kompaniet 1942–1966, i Broströmskoncernens moderbolag Ångfartygs AB Tirfing 1949–1969, då Kristian von Sydow tog vid. Därefter var han styrelseordförande i samma företag – samt tjugofem andra – till 1973 då ohälsa tvingade honom att lämna alla poster.
Under Broströms ledning utvecklades koncernen kraftigt, och flottan bestod 1965 av 81 stora fartyg vilket var mer än 1/3 av Sveriges hela handelsflotta. Broström hade många förtroendeuppdrag inom sjöfartens olika organisationer.