Barisan & Deret
Barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu. Bilangan pertama dinamakan suku pertama, bilangan kedua dinamakan suku kedua, bilangan ketiga dinamakan suku ketiga dan seterusnya sampai bilangan ke-n dinamakan suku ke-n atau Un. Penjumlahan dari bilangan-bilangan tersebut sampai n suku dinamakan deret.
A. Barisan Aritmatika
Pernahkah kamu memperhatikan pola-pola menarik di sekitarmu? Misalnya, ketika kamu menonton pertunjukan di stadion, apakah kamu menyadari bahwa jumlah kursi pada setiap baris seringkali bertambah secara teratur? Atau, ketika kamu menabung setiap bulan dengan jumlah yang tetap, sebenarnya kamu telah membuat suatu barisan bilangan khusus. Pola-pola seperti inilah yang kita sebut sebagai barisan aritmatika. Dalam matematika, barisan aritmatika adalah suatu urutan bilangan yang memiliki selisih atau beda yang tetap antara dua suku yang berurutan.
Bayangkan sebuah tangga. Setiap anak tangga memiliki tinggi yang sama. Jika kita ukur tinggi setiap anak tangga dari permukaan tanah, kita akan mendapatkan barisan bilangan yang selisihnya selalu sama. Inilah contoh sederhana dari barisan aritmatika dalam kehidupan nyata.
Setelah kita memahami konsep dasar barisan aritmatika dan melihat berbagai contohnya dalam kehidupan sehari-hari, saatnya kita menyelami lebih dalam ke dalam dunia matematika. Salah satu hal yang paling penting dalam mempelajari barisan aritmatika adalah rumus. Dengan rumus, kita dapat dengan mudah mencari suku-suku tertentu dalam suatu barisan tanpa harus menuliskan seluruh suku satu per satu.
Apa itu Rumus Suku ke-n?
Rumus suku ke-n adalah suatu persamaan yang digunakan untuk mencari nilai suku pada urutan tertentu dalam sebuah barisan aritmatika. Dengan kata lain, jika kita ingin mengetahui suku ke-10, ke-100, atau bahkan ke-1000, kita tidak perlu menuliskan seluruh suku sebelumnya. Cukup dengan memasukkan nilai n (nomor suku) ke dalam rumus, kita akan langsung mendapatkan hasilnya
Rumus umum untuk mencari suku ke-n dari suatu barisan aritmatika adalah:
di mana setiap anggota berikutnya diperoleh dengan menambahkan suatu konstanta b ke anggota sebelumnya. Dalam notasi umum, barisan aritmatika dapat ditulis sebagai:
Seperti yang telah diuraikan di atas, untuk mencari beda dapat dilakukan dengan cara mengurangkan dua suku yang berurutan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
Contoh Soal 1 : Tabungan Bulanan
Setiap bulan, Andi menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung Rp100.000, bulan kedua Rp120.000, dan seterusnya, selalu bertambah Rp20.000 setiap bulannya. Berapa total tabungan Andi setelah 1 tahun?
Penyelesaian :
Menetapkan konsep:
Barisan ini adalah barisan aritmatika karena memiliki beda yang tetap (Rp20.000).
Kita akan mencari jumlah n suku pertama
Menentukan nilai-nilai yang diketahui:
Suku pertama (a) = Rp100.000
Beda (b) = Rp20.000
Jumlah bulan (n) = 12 bulan
Menerapkan rumus:
Jawaban: Total tabungan Andi setelah 1 tahun adalah Rp2.520.000.
Contoh Soal 2 : Susunan Kursi di Aula
Suatu aula memiliki kursi yang disusun dengan baris pertama 20 kursi, baris kedua 23 kursi, baris ketiga 26 kursi, dan seterusnya. Jika aula tersebut memiliki 15 baris kursi, berapa banyak total kursi di aula tersebut?
Penyelesaian:
Menetapkan konsep: Barisan jumlah kursi pada setiap baris membentuk barisan aritmatika.
Menentukan nilai-nilai yang diketahui:
Suku pertama (a) = 20
Beda (b) = 3
Jumlah baris (n) = 15
Menerapkan rumus:
4. Hitung jumlah total kursi
Jadi, total kursi di aula tersebut adalah 615 kursi.
Contoh Soal 3 : Pertumbuhan Tanaman
Tinggi sebuah tanaman pada minggu pertama adalah 5 cm. Setiap minggu, tinggi tanaman bertambah 2 cm. Berapa tinggi tanaman pada minggu ke-10?
Penyelesaian:
Menetapkan konsep: Pertumbuhan tinggi tanaman setiap minggunya membentuk barisan aritmatika.
Menentukan nilai-nilai yang diketahui:
Suku pertama (a) = 5 cm
Beda (b) = 2 cm
Minggu yang ditanyakan (n) = 10
Menerapkan rumus:
4. Hitung tinggi tanaman pada minggu ke-10
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................