文系進学コースに所属している高校生

いわゆる「文系進学コース」で、数学Ⅰ・数学Aしか学ばない人、数学Ⅱ・数学Bまでしか学ばない人も多いようです。他方、「文系学部であっても数学は必須」ということもよく聞きます。本書はこのギャップを埋めるためのものです。

中堅大学の文系学部で教えていて、「少なくともこの範囲は文系であっても大学入学前に理解しておくべき」と感じたことを、厳選してまとめています。難しく感じるところは高校の数学の先生に聞いてみてください。色々教えてもらえるはずです。数学を学んだ思い出を作り、本書の内容を理解した上で大学に入学しましょう。大学の授業は、本書の内容はわかっている前提で進むと思います。

推薦入学を目指す高校生

高校で日々真面目に取り組んだ成果として推薦枠を獲得するのは悪いことではありません。地道な努力の成果です。ただ、ともすると、内定をとった後の「最後の半年」にサボりがちになります。一般受験の人たちは年明け2月、3月まで必死に学んでいます。推薦内定後も、本書を活用し、一般受験の人と同じ気持ちで頑張りましょう。大学の授業は、一般受験の入学者に難度をあわせています。準備を怠った人がついてゆけるものではありません。

商業系、総合系に通っている高校生

商業高校や総合高校から大学に進学する人も増えています。これは素晴らしいことです。ただ、これらの高校に通っている人は得意と不得意の差がとても大きいようです。簿記やプログラミングには自信があっても、数学は苦手かもしれません。「大学の学びについてゆけるかな……」という心配もあると思います。

大学でよく見聞きする数学の見方や考え方をコンパクトにまとめた本書をお読みいただき、自信を持って大学に入学してもらいたいです。本当に重要で不可欠なことをさっと身につけられます。

数学が苦手な大学生

「数学が苦手だから文系に入ったのに、数学だらけで大変だ」という声をよく聞きます。お気持ちも大事ですが、大学、そして社会で求められるのは「あなたのお気持ちにどれだけの客観性がありますか」ということです。数学は客観性を担保する有力なツールです。これを身につけられるかどうかで、その後の人生が大きく変わります。苦手から逃げるのではなく、立ち向かうことで力と自信をつけてもらいたいです。本書はそうした前向きな学生の背中をそっと押すものです。

保護者の方

「学校でどんなことを学んでいるのか知りたい」「大学に進学する際に最低限身につけておくべき数学の知識を知りたい」という保護者の方に本書をおすすめします。本書が示す数の風景を感じ取れるかどうかで、大学に進学させるべきか否かをお考えいただければ幸いです。文系学部でも数学は必須です。

大学への進学を希望する中学生以下のご家庭は、数学Ⅲ、数学Cまできちんと教える高校をぜひともお選びください。これからの時代、数学なしに切り抜けることはできないと思います。

中高一貫校に合格した小学6年生や数学好きの中学生は、本書を十分読み通せると思います。高校までの数の風景をふわっと知ることができ、「修学旅行前の予備学習」のような楽しさがあると思います。「数学は計算だけじゃないよ、風景だよ、街並みだよ、文化だよ」ということを感じていただければ幸いです。

教育に関わる方々

高校や大学の先生で、「通常業務が忙しすぎて生徒の面倒を見切れない」「基礎的な事項をサブゼミ等で教える時間がとれない」という悩みを抱えている人は少なくないと思います。本書は「とりあえずこれ読んでおいて」とわたせる副読本です。「これ読んでわからなかったら聞いてね」という形で、学びの下限を設定することができますので、教育がスムーズになると思います。偏差値が高めの大学であれば、本書を使ってゼミの先輩が後輩を指導することもできそうです。

※ 本書は、数学が本格的に難しくなる手前で終えています。苦手意識を持つ人も最後まで読み通せると思います。少しずつ学んでゆきましょう。数の世界は案外楽しいものです。

1    数のフィールド

数の種類には自然数、整数、有理数、実数などがあります。自然数から実数へ数のフィールドが広がると、できる演算（＋, −, ×, ÷）が増えます。まずはこの辺りからはじめましょう！

参考ブログ：数のひろがり

https://easy-suugaku.blogspot.com/2020/04/blog-post_2.html

R言語で視覚化

四則演算で閉じている？

R言語とRStudioのインストールは、こちらからお願いします。

https://cran.r-project.org/

https://posit.co/download/rstudio-desktop/ 

2    数直線上の演算

ベクトルと聞くとほとんどの人が「数学Cの単元」として身構えてしまいます。ただ、私たちがこの段階で学ぶベクトルはとてもやさしく、単なる矢印（→）です。この矢印は演算（＋, −, ×, ÷）を見える化する便利なものです。少しずつ慣れてゆきましょう。

参考ブログ：数直線で考える線型代数

https://easy-suugaku.blogspot.com/2025/01/blog-post.html

R言語で視覚化

ベクトルの足し算、引き算、スカラー倍

3    三角比

サインとコサインは、多くの人が挫折した単元だと思います。しかし、本書ではとてもやさしく学べます。コサインとサインは影です。「えっ？」と驚いた人はぜひ本書をお読みください。目からウロコです！

R言語で視覚化

影としてのコサインとサイン

サインとコサインの関数
https://www.desmos.com/calculator/q4jvabufmm 

4    複素数平面

1を2乗すれば1、−1を2乗しても1ですので、2乗して−1になる数なんてあるはずがないと思います。でも、2乗して-1になる虚数単位（i）があるととても便利です。

マイナスの掛け算はベクトル（矢印）が反時計回りに反転する作用です。(−i)^2=−1ですので、この作用は i を使って表せます。i を2回掛けて反転（反時計回りに180°）するなら、i を1回掛けたときにはどうなるでしょうか？  ここを突破すると、数学の風景が全く違ってみえてきます。

R言語で視覚化

複素数平面上の掛け算（回転）

5    実数平面

複素数平面より実数平面（座標平面）のほうになじみがあると思います。ただ、複素数平面と同じことを実数平面で表現するには、ひと手間必要です。この「ひと手間」を体験してみると、虚数単位（i）のありがたみがしみじみわかります。

ただ、実数平面も面白いです。ベクトル（矢印）がぴょこぴょこ位置を変えたり、伸びたり縮んだりするのをみると、この作用（関数、写像）ってなんだろう？  という深遠な問いが浮かび上がります。この問いを発することができる人は、数学の深奥に足を踏み入れています。

実数平面のことをユークリッド平面といいます。ユークリッド平面の公理については齋藤正彦『線型代数入門』の付録Ⅱをご覧ください。

R言語で視覚化

実数平面上の行列の掛け算（回転）

教材のエクセルシート

6    関数

食券を買う方式のラーメン屋さんを思い浮かべてください。食券機の味噌ラーメンのボタンを押すと味噌ラーメンの食券が出てきます。実は、これが関数なんです。難しいことは何もありません。スマホのアイコンをポンと押すと天気予報や時刻表が見られるのも、関数です。私たちの生活は関数でできています！

Desmosで視覚化（1次関数）

https://www.desmos.com/calculator/flwakprnxn

Desmosで視覚化（2次関数の割線）

https://www.desmos.com/calculator/zn5aov89m6

7    方程式

方程式と関数はよく似ています。違いはどこにあるのでしょうか。まずはこの点を確認しましょう。そして、方程式の解を求める2つの方法について理解を深めましょう。章のおわりには、答えが（実数の世界に）ない場合についても考えます。答えはどこへ行ってしまったのでしょうか？　i が鍵を握っています。

Desmosで視覚化（1次方程式）

https://www.desmos.com/calculator/gvmvk8j1n6

Desmosで視覚化（2次方程式）

https://www.desmos.com/calculator/aqslm3oypp 

補論をR言語で視覚化

複素関数（複素数から実部へ、虚部へ）

8    微分

高校で文系進学コースに所属している人は、学ばない単元かもしれません。しかし、大学では微分がどんどん出てきます。大学では微分を必ず使うと思って間違いないです。ぜひとも知っておくべき微分について、できるだけわかりやすく、できるだけごまかさずに説明したつもりです。

Desmosで視覚化（割線の極限）

座標平面上で（1, 2)と（t, t^2-2x+3）の2点を通る直線はy=(t-1)x-t+3

https://www.desmos.com/calculator/nhax4xncwg

Desmosで視覚化（色々な点での接線：f(x)=x^2）

接線の方程式はy=2tx-t^2
https://www.desmos.com/calculator/bdhvgfbjxz?lang=ja

Desmosで視覚化（色々な点での接線：f(x)=x^3）

接線の方程式はy=3t^2-2t^3
https://www.desmos.com/calculator/hihe9hfmef

9    指数と対数の関数

SNSに「折り紙を何回折ると月まで届く？」というなぞなぞがあります。実際に電卓で計算して、答えを求めてみましょう。答えがわかったとしても、比較的少ない折る回数と月までの距離というとてつもなく長い距離が同じという感覚を持つのはとても難しいです。

これは私たちが文系だからではなく、人間の認知を根本的に超えた勢いで数が増えるためです。「私たちの想像をはるかに超える増えかたをする何かかがある」という相場観をぜひ身につけていただきたいです。

R言語で視覚化

折り紙を何回折ると月まで届く？

階乗の勢い（指数関数、多項式関数との比較）

10    ネイピア数

円周率（π）は知っていても、ネイピア数（e）を知っている人は少数派かもしれません。ネイピアという人が何十年もかけて追い求めたネイピア数は天才オイラー、そしてヒルベルトによって磨き上げられた、解析の扉を開けるマスターキーです。この鍵を持った人は、π, i, e が溶けあう数学の深淵まで分け入ることができます。

参考図書：吉田武『オイラーの贈物 新装版：人類の至宝e^{iπ}＝−1を学ぶ』東海大学

Desmosで視覚化
https://www.desmos.com/calculator/tlgfse7xyt 

11    データ分析

50人のクラスで2科目の試験が実施されると、点数は2科目×50人＝100個も出てきます。これだけ多くの数を漫然と眺めていても、わかることは増えません。多くの情報をまとめてわかりやすくするためのツールが統計学です。

統計学の基礎として平均、標準偏差、相関係数を知っておくと、大学の学びをスムーズにスタートできます。できるだけ多くのデータに触れて、データのクセを掴んでおきましょう。分析の助けになります。

R言語による視覚化

2科目50名の成績表からヒストグラムを作成する

2科目50名の成績表から散布図を作成する

2科目50名の成績表を主成分分析する

大変恐縮ではございますが、2科目50名のcsvデータは、書籍の図表から各自作成をお願いします。
1行目には（1列目に「生徒番号」、2列目に「数学の成績」、3列目に「国語の成績」を入力いただき、2行目から51行目まで（生徒番号、数学の点数、国語の点数）を半角英数の数字だけで入力をいただければと思います。結果51行3列の表（1行目は凡例）になります。このcsvファイルを読み込ませると、またたく間にグラフや分析結果を表示します。

12    確率的な現象

高校で学ぶ確率論は場合の数の延長線上にある単元です。大学ではこれを超えて本格的な学びになります。ただ、コイントスとサイコロ振りというなじみのある出来事を題材にしますので身構える必要はありません。「大学ではここまで丁寧に議論を積み重ねてゆくのか…」という相場観を持っていただければ幸いです。

参考ブログ：確率とは

https://easy-suugaku.blogspot.com/2024/05/probability-theory.html

13    繰り返し試行と情報量

漫画やアニメの中で、ニヒルなキャラクターが「世の中って複雑よね。フッ」と呟くことがあります。では、世の中はどれほど複雑なのでしょうか。本書の締めくくりにこの深遠な問いについて考えます。世の中の複雑さを数に表してみると、驚愕して声も出なくなります。とてつもなく複雑な世の中のごく一部でも知ることができるのか、身のすくむ思いがします。

勉強を頑張ると、「自分は何かを知っている」という錯覚に襲われがちです。そういう人には我が身を振り返るよい学びになると思います。本当に学問をした人は決して威張りません。むしろ、知らないことばかりで震えてしまいます。学問がもし役に立つのであれば、それは遍く照らす太陽としてではなく、漆黒の闇の中で足元を心細く照らす懐中電灯や提灯としてです。この感覚が腹落ちする人は真の学者といえるでしょう。

参考ブログ：有限加法性、完全加法性、完備化

https://easy-suugaku.blogspot.com/2024/05/probability-theory_27.html

本書読了後、さらに深めたい人に、次の本をお勧めします。

吉田武『オイラーの贈物 新装版：人類の至宝e^{iπ}＝−1を学ぶ』東海教育研究所

本書で取り上げたオイラーの等式を、とても詳しく解説した本です。名著として知られており、多くの先生が勧めています。意外かもしれませんが、難易度は本書の次くらいですので無理なく読み始められると思います。むしろ、本書はこの名著への私なりのガイド、あるいはオマージュなのかもしれません。

大学数学の分野別に、次のような本をお勧めします。これらは全て本格派です。はじめから最後まで読み通せなくても、折に触れ気になるところを読むだけでも素晴らしい経験になると思います。

集合論

柴田敏男『復刊 数学序論 ―集合と実数―』共立出版

サブタイトルにあるように、実数の構成を意識した集合論です。比較的少ないページ数に、本当に必要なことだけを濃縮して収録しています。行論によどみやよじれがないのでとても読みやすいです。素潜りのように、一直線に数学の深みに没入してゆきます。

初学者にはハードルが高い位相が収録されていないのもお勧めポイントです。柴田先生には『集合と位相空間』共立出版がありますので、上級者は2冊組で読むこともできます。残念ながら位相の本は未だ復刊されていないので、図書館で借りるか古本屋で探すしかないです…　こちらも復刊していただけると大変ありがたいです。

線型代数

齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会

「初学者にこれを勧めるな」ともいわれる本ですが、学びを進めると結局ここに戻ってくるように思います。価格も破格ですので、買って損することは決してありません。数学に取り組みたい人は、とりあえず買って本棚に飾ってみましょう。本棚の格がぐっと上がります。この1冊を手元に置いて、図書館で5冊10冊と読み比べることをお勧めします。

線型代数はとてつもなく広大な領域ですので、研究者でもなければ要領よくつまみ食いするしかありません。ただ、必要に応じてこの分野のごく一部を学んでいると、自分がどこにいるのか、何をしているのか、わからなくなってしまいます。コンパスとして本書を手元に置いておけば、たとえ数学の森の深奥に分け入ったとしても迷子になりにくいと思います。

複素解析

山本直樹『複素関数論の基礎』裳華房

1を2乗すると1、-1を2乗しても1です。「2乗して-1になる数なんてあるはずない」と思いますが、「あると便利な数」という逆転の発想で数の中心に据えられているのが虚数単位 i です。

細かいことはさておき、まずはこの不思議な世界に触れてみたいという人に本書をお勧めします。はじめて学ぶ人を意識した構成ですので、ワンランク上の教養を身につけたい人に最適だと思います。

解析学

高木貞治『定本 解析概論』岩波書店

田島一郎 『解析入門』岩波全書 325, 岩波書店

関数解析

竹内慎吾『数学のとびら 関数解析：基本と考え方』裳華房

測度論
原啓介『測度の考え方 ～測り測られることの数学⁠～』技術評論社

ごあいさつ（ちょっと堅めです…）

文部科学省は、2040年に向けて高校の文理比率をおおよそ同じにする目標を掲げています。高等教育が正しい方向へ動き出したように思います。

もはや数学が苦手な人が消去法的に文系大学に入学する時代ではなくなりました。本書は、文系であっても「大学に入る前にこれくらいの数学の用語や概念くらいは身につけておくべき」というある種の下限を提案するものです。高校生が自らの進路を選ぶとき、高校生の保護者が進路について子どもから相談を受けるとき、高校の先生が進路指導をするときなどにご活用いただければ幸いです。言い訳のできない時代に、「大学に入学する準備としてこれくらいはお願いしたい」という現場からの報告と受け取っていただければ幸いです。

本書は、数の世界にこういう形で触れておくと、大学の学びがスムーズになるというスタンスでまとめられています。街の家々が孤立していないように、数学の用語や概念も孤立しておらず、相互に密接に結びついています。1つ1つの用語のつながりがみえてくると学びが楽しくなってきます。

私は数学者ではなく、経済学者です。ただ、本書は経済数学の本ではなく、数学の本です。経済学も数学もそれぞれ独自の複雑な構造を持っていますので、2つの構造が混ざってしまわないように気をつけました。本書を書く中で、数学それ自身に深みや広がりがあると感じました。細かいことはさておき、ぜひおおらかで清々しい気持ちで、小高い丘から数学の街を見晴らしてみてください。今まで気づかなかった数学の街の息遣いが聞こえてくるかもしれません。

文部科学省, 高校教育改革に関する基本方針（グランドデザイン）
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/kaikaku/1358056_00005.htm