📘 Number System (संख्या पद्धति)

🔢 1. Natural Numbers (प्राकृतिक संख्याएँ)

• वे संख्याएँ जो 1 से शुरू होती हैं:
  1, 2, 3, 4, ...

• इन्हें N से दर्शाते हैं।
  N = {1, 2, 3, 4, ...}

🔢 2. Whole Numbers (पूर्ण संख्याएँ)

• Natural numbers + 0
  0, 1, 2, 3, 4, ...

• इन्हें W से दर्शाते हैं।
  W = {0, 1, 2, 3, ...}

🔢 3. Integers (पूर्णांक)

• Whole numbers + Negative numbers
  ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

• इन्हें Z या I से दर्शाते हैं।

🔢 4. Rational Numbers (परिमेय संख्याएँ)

• ऐसी संख्याएँ जिन्हें  p/q  के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ  q≠0

• Examples: 2/3, −5/7, −4/1, 0, 6, 1.5

• हर integer एक rational number होता है।

🔢 5. Irrational Numbers (अपरिमेय संख्याएँ)

• जिन्हें  p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

• Non-terminating, non-repeating decimals

• Examples: √2, √3, π, e

🔢 6. Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ)

• Rational + Irrational numbers

• सभी संख्या जो number line पर मौजूद होती हैं।

📏 Important Points & Formulas

✅ Even Numbers (सम संख्याएँ)

जो 2  से विभाज्य हों (divisible by 2)
Examples: 2, 4, 6, 8, ...

✅ Odd Numbers (विषम संख्याएँ)

जो 2  से विभाज्य न हों
Examples: 1, 3, 5, 7, ...

✅ Prime Number (मूल संख्या)

जिसके केवल दो गुणनखंड हों – 1 और स्वयं
Examples: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

✅ Composite Number (संपूर्ण संख्या)

जो 1 और खुद के अलावा किसी और से भी विभाजित हो
Examples: 4, 6, 8, 9, 10, ...

✅Co-prime Numbers (सह अभाज्य संख्याएँ)

• जिनका HCF = 1

• Example: (4, 9), (5, 8)

✅Perfect Numbers

• जिनके सारे proper divisors का योग = संख्या

• Example: 6 (1 + 2 + 3 = 6), 28

✅Perfect Square / Cube

• Square: 1, 4, 9, 16, 25

• Cube: 1, 8, 27, 64, 125

📌 Important Identities (महत्वपूर्ण सूत्र)

Identity 1:
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Identity 2:
(a - b)² = a² - 2ab + b²

Identity 3:
(a + b)(a - b) = a² - b²

📌 LCM और HCF

LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालने का तरीका:
LCM = (दो या अधिक संख्याओं का गुणनफल) ÷ HCF

HCF (महत्तम समापवर्त्य):
दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा कॉमन factor

🧮 Decimal Number Conversion

🔁 Decimal to Fraction:
0.75 = 75/100 = 3/4

🔁 Fraction to Decimal:
1/4 = 0.25

🎯 Terminating और Non-Terminating Decimal

• Terminating: समाप्त हो जाती है
  Example: 0.25, 0.75

• Non-Terminating Repeating: कभी खत्म नहीं होती लेकिन दोहराती है
  Example: 0.333..., 0.666...

• Non-Terminating Non-Repeating (Irrational): न खत्म होती है, न दोहराती है
  Example: π=3.141592...   , √2

📐 2. Properties of Numbers (संख्याओं के गुण)

2.1 Closure Property (समापन गुण)

• किसी set में दो संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने पर उत्तर उसी set में हो

• Natural: Closed under +, ×

• Integers: Closed under +, −, ×

2.2 Commutative Property (स्थानांतरण गुण)

• a + b = b + a

• a × b = b × a

• Natural, Integers, Rational – all are commutative under +, ×

2.3 Associative Property (सांघातिक गुण)

• (a + b) + c = a + (b + c)

• (a × b) × c = a × (b × c)

2.4 Distributive Property (वितरण गुण)

• a × (b + c) = a × b + a × c

2.5 Identity Elements (पहचान तत्व)

• Additive Identity: 0 (a + 0 = a)

• Multiplicative Identity: 1 (a × 1 = a)

2.6 Inverse Elements (विलोम तत्व)

• Additive Inverse: a + (−a) = 0

• Multiplicative Inverse: a × (1/a) = 1 (a ≠ 0
  
  

📘 Closure Property (समापन गुणधर्म)

परिभाषा: अगर किसी संख्या समूह (जैसे Natural, Whole, Integer, Rational) की दो संख्याओं पर कोई गणितीय क्रिया (जैसे जोड़, घटाव, गुणा, भाग) करने पर परिणाम भी उसी समूह का हो — तो हम कहते हैं कि वह समूह उस क्रिया के लिए closure property को follow करता है।

🔁 सरल शब्दों में:

"अगर दो संख्याएँ जोड़ने/घटाने/गुणा/भाग करने पर भी उसी तरह की संख्या दें, तो वह क्रिया उस संख्या समूह के लिए closed होती है।"

🧮 उदाहरण:

• Natural Numbers (1, 2, 3, ...)

  • 2 + 3 = 5 ✅ → Natural → Closure under addition

  • 2 − 5 = -3 ❌ → Not Natural → Not closed under subtraction

• Integers (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...)

  • -3 + 2 = -1 ✅ → Integer → Closure under addition

🧊 Extra Info

Terminating Decimal: जैसे 0.25, 0.75
Non-Terminating Repeating Decimal: जैसे 0.333..., 0.142857...
Non-Terminating Non-Repeating Decimal: जैसे √2, π

🧮 Fraction (भिन्न)

🔹 1. What is a Fraction? (भिन्न क्या होता है?)

• Fraction वो संख्या होती है जो दो संख्याओं के भाग के रूप में लिखी जाती है:
  👉 p/q, जहाँ p = numerator (अंश), q = denominator (हर) और q ≠ 0

Examples:1/2, 3/4, -5/6, 7/1

🔹 2. Types of Fractions (भिन्नों के प्रकार)

2.1 Proper Fraction (सही भिन्न)

• जहाँ numerator < denominator

• Example: 2/3, 5/8, 7/10

2.2 Improper Fraction (असही भिन्न)

• जहाँ numerator ≥ denominator

• Example: 5/4, 9/7, 12/12

2.3 Mixed Fraction (मिश्र भिन्न)

• जिसमें एक पूर्ण संख्या + एक proper fraction होता है

• Example: 2 1/3 = (7/3), 5 2/5 = (27/5)

2.4 Like Fractions (समान हर वाले भिन्न)

• जिनका denominator समान हो

• Example: 2/7, 5/7, 6/7

2.5 Unlike Fractions (विभिन्न हर वाले भिन्न)

• जिनके denominator अलग हों

• Example: 1/2, 3/4, 5/6

2.6 Equivalent Fractions (समतुल्य भिन्न)

• जो दिखने में अलग हों, लेकिन मान (value) समान हो

• Example: 1/2 = 2/4 = 4/8

🔹 3. Operations on Fractions (भिन्नों पर क्रियाएँ)

➕ Addition:

• Like Fractions: सीधे अंश जोड़ दो

  • 2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 1

• Unlike Fractions: पहले LCM लो, फिर समान हर बनाओ

  • 1/3 + 1/4 = (4 + 3)/12 = 7/12

➖ Subtraction:

• वही तरीका, जैसे addition में किया

✖ Multiplication:

• Simply multiply numerator × numerator, and denominator × denominator

  • 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

➗ Division:

• Second fraction को उलट दो (reciprocal), फिर multiply करो

  • (2/3) ÷ (4/5) = (2/3) × (5/4) = 10/12 = 5/6

🔹 4. Conversion

✅ Mixed to Improper:

• 2 1/3 = (2×3 + 1)/3 = 7/3

✅ Improper to Mixed:

• 7/3 = 2 1/3

✅ Decimal to Fraction:

• 0.75 = 75/100 = 3/4

• 0.2 = 2/10 = 1/5

🔹 5. Important Tips

• कोई भी पूर्णांक n को fraction के रूप में: n/1 लिखा जा सकता है

• Fraction को lowest terms में simplify करना जरूरी होता है

  • 12/16 = 3/4 (divide by 4)

-----x-----------x-----------Number System--------------x---------------x--------

🔷 1. What is a Cube? (घन क्या होता है?)

जब किसी संख्या को तीन बार अपने आप से गुणा करते हैं:

👉 a × a × a = a³

Examples:

• 2³ = 8
  
  

• 3³ = 27
  
  

• 4³ = 64
  
  

• 5³ = 125
  
  

🔶 2. Perfect Cube (पूर्ण घन)

वे संख्याएँ जो किसी whole number का cube हों:

Examples:
1 = 1³
8 = 2³
27 = 3³
64 = 4³
125 = 5³
216 = 6³

✔ Perfect cube में हर prime factor तीन-तीन की group में मिलता है।

🔥 3. Important Cubes to Remember (बहुत जरूरी)

Number

Cube

1

1

2

8

3

27

4

64

5

125

6

216

7

343

8

512

9

729

10

1000

🟦 4. Cube Identities (घन सूत्र)

💠 (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

💠 (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)

💠 a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

💠 a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

💡 5. Trick: Last Digit से Cube पहचानना

अगर cube का last digit:

• 1 → 1 का cube
  
  

• 8 → 2 का cube
  
  

• 7 → 3 का cube
  
  

• 4 → 4 का cube
  
  

• 5 → 5 का cube
  
  

• 6 → 6 का cube
  
  

• 9 → 9 का cube
  
  

✔ इससे Cube root जल्दी पहचाना जाता है (Magic Trick!)

🔢 6. What is a Cube Root? (घनमूल)

जो संख्या तीन बार गुणा होकर दिया हुआ number बनाए:

👉 ∛(a³) = a

Examples:
∛27 = 3
∛125 = 5
∛216 = 6

🟥 7. Method: Cube Root by Prime Factorization

Step:

1. Prime factors निकालो
   
   

2. तीन-तीन के groups बनाओ
   
   

3. एक-एक group का एक member लो
   
   

4. Multiply करो → Cube Root
   
   

Example:

216
= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Groups → (2×2×2)(3×3×3)
Cube Root = 2 × 3 = 6

🟧 8. Shortcut: Last Digit Trick for Cube Root (Very Powerful)

Example: 17576

Last digit = 6 → unit digit = 6

Left part = 1757 → इसके आसपास का largest cube
12³ = 1728 → Very Close
→ So cube root = 26

✔ Answer = 26

🟪 9. Perfect Cube Test

कोई संख्या perfect cube तभी होगी जब:

👉 इसके prime factors तीन-तीन की equal groups में मिलें।

Example:
54 = 2 × 3 × 3 × 3
Groups संभव नहीं → ❌ Perfect cube नहीं

🟫 10. Properties (घन की विशेषताएँ)

✔ Negative number का cube → negative
✔ Odd number का cube → odd
✔ Even number का cube → even
✔ Cube का last digit predictable होता है

🧮 11. Examples (बहुत जरूरी)

✔ Example 1

Find cube: (10 + 2)³
= 10³ + 2³ + 3×10×2×(10+2)
= 1000 + 8 + 720
= 1728

✔ Example 2

Find cube root: ∛343
343 = 7³
→ 7

✔ Example 3

Cube root of 13824
13824 = (2×2×2)(3×3×3)(4×4×4)
→ 2 × 3 × 4
→ 24

✔ Example 4

Is 512 a perfect cube?
512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Groups: (2×2×2) × (2×2×2) × (2×2×2)
✔ Yes
Cube root = 8

🔢 1. What is an Algebraic Expression? (बीजीय व्यंजक क्या होता है?)

जब संख्या + अक्षर + गणितीय संक्रियाएँ मिलकर एक व्यंजक बनाते हैं:

👉 2x + 3
👉 5y – 7
👉 3a² + 2a + 4

इसमें

• Numbers = constants (ध्रुव)
  
  

• Letters (x, y) = variables (चर)
  
  

• Operators → +, –, ×, ÷
  
  

🎯 2. Term (पद)

एक algebraic expression का प्रत्येक हिस्सा term कहलाता है।

Examples:

• 5x + 7 → दो terms
  
  

• 3a² – 2a + 4 → तीन terms
  
  

🔷 3. Coefficient (गुणांक)

Variable के आगे की संख्या → Coefficient

Examples:

• 5x → coefficient = 5
  
  

• –3y → coefficient = –3
  
  

• 7a² → coefficient = 7
  
  

🔶 4. Types of Terms (पदों के प्रकार)

✔ Like Terms (समान पद)

जिनके variables और उनकी power समान हों।
👉 3x, 5x
👉 2a², 7a²

✔ Unlike Terms (असमान पद)

Variable या power अलग हो।
👉 3x, 4y
👉 2a², 5a

🧮 5. Addition & Subtraction of Expressions

केवल like terms जोड़ते हैं।

✔ Example

(3x + 5) + (2x + 9)
= (3x + 2x) + (5 + 9)
= 5x + 14

✔ Example

(7a – 3b) – (2a + b)
= 7a – 2a – 3b – b
= 5a – 4b

🟧 6. Multiplication of Algebraic Expressions

✔ (a)(b) = ab

✔ (ax)(by) = abxy

Example:

(3x)(2x) = 6x²

Example:

(5a)(3a²) = 15a³

🟦 7. Identities (बहुत जरूरी सूत्र)

⭐ Identity 1:

📌 (a + b)² = a² + 2ab + b²

⭐ Identity 2:

📌 (a – b)² = a² – 2ab + b²

⭐ Identity 3:

📌 (a + b)(a – b) = a² – b²

⭐ Identity 4:

📌 (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

🧠 8. Using Identities (Identity से सवाल कैसे हल करें)

✔ Example

Find (12)²
→ 12 = 10 + 2
(10 + 2)² = 100 + 40 + 4 = 144

✔ Example

Find (49 – 1) using a² – b²
→ 49 – 1 = 7² – 1²
= (7 + 1)(7 – 1)
= 8×6 = 48

✔ Example

(3x + 2)(3x – 2)
= (3x)² – 2²
= 9x² – 4

🟩 9. Standard Form of Expression

Terms को power के decreasing order में लिखना:

Example:
3 + 2x² – 4x
→ 2x² – 4x + 3

🟪 10. Polynomial (बहुपद)

Algebraic expression जिसमें कई terms हों।

Degree = Highest power of variable

Examples:

• 3x + 1 → degree 1 → Linear
  
  

• 2x² – 5x + 7 → degree 2 → Quadratic
  
  

• 4x³ + x → degree 3 → Cubic
  
  

🔥 11. Special Patterns

👉 (x + 1)(x – 1) = x² – 1
👉 (x + 2)(x – 2) = x² – 4
👉 (x + 3)(x – 3) = x² – 9

(Exams में बहुत आते हैं)

🧮 12. Important Examples

✔ Example 1

Simplify: (3x + 4) – (2x – 5)
= 3x + 4 – 2x + 5
= x + 9

✔ Example 2

(5x)(3x²)
= 15x³

✔ Example 3

(2a + 3)²
= 4a² + 12a + 9

✔ Example 4

a² – b² को factor करो
= (a + b)(a – b)

🟦 1. Perimeter (परिमाप)

किसी आकृति की बाहर की कुल लंबाई।

✔ Square → perimeter = 4a

✔ Rectangle → perimeter = 2(l + b)

✔ Triangle → perimeter = a + b + c

✔ Circle → circumference = 2πr

🟩 2. Area (क्षेत्रफल)

आकृति द्वारा घेरा गया पूरा भाग।

🔷 A. Area of Square (वर्ग का क्षेत्रफल)

📌 Area = a²

📌 Perimeter = 4a

Example:
Side = 5 cm
→ Area = 25 cm²

🔶 B. Area of Rectangle (आयत का क्षेत्रफल)

📌 Area = l × b

📌 Perimeter = 2(l + b)

Example:
l = 8, b = 3
→ Area = 24 cm²

🟥 C. Area of Triangle (त्रिभुज का क्षेत्रफल)

📌 Area = (1/2) × base × height

Example:
Base = 10, Height = 7
→ Area = 35 cm²

🟧 D. Area of Parallelogram (समांतर चतुर्भुज)

📌 Area = base × height

🟪 E. Area of Trapezium (समलंब)

📌 Area = (1/2) × (a + b) × h

a = top side
b = bottom side
h = height

🟫 F. Area of Circle (वृत्त)

📌 Area = πr²

📌 Circumference = 2πr

🔵 3. Solid Shapes (ठोस आकृतियाँ)

अब Volume (घनफल) और Surface Area (पृष्ठ क्षेत्रफल)

🧊 A. Cube (घन)

Side = a

📌 Volume = a³

📌 Total Surface Area (TSA) = 6a²

📌 Lateral Surface Area (LSA) = 4a²

Example:
a = 4
→ Volume = 64 cm³

🎁 B. Cuboid (आयताकार घनाभ)

Dimensions → l, b, h

📌 Volume = l × b × h

📌 TSA = 2(lb + bh + hl)

📌 LSA = 2h(l + b)

🔺 C. Cylinder (बेलन)

Radius = r, Height = h

📌 Volume = πr²h

📌 Curved Surface Area (CSA) = 2πrh

📌 Total Surface Area (TSA) = 2πr(h + r)

🧿 D. Sphere (गोला)

📌 Volume = (4/3)πr³

📌 Surface Area = 4πr²

🟢 E. Hemisphere (अर्धगोल)

📌 Volume = (2/3)πr³

📌 CSA = 2πr²

📌 TSA = 3πr²

🚀 4. Conversion Units (इकाई परिवर्तन)

💠 1 m = 100 cm

💠 1 m² = 10000 cm²

💠 1 cm³ = 1 mL

💠 1 m³ = 1000 L

🧮 5. Important Examples

✔ Example 1: Area of Rectangle

l = 12 cm, b = 5 cm
Area = 60 cm²

✔ Example 2: Volume of Cuboid

l = 4, b = 3, h = 2
Volume = 24 cm³

✔ Example 3: Find radius

Area of circle = 154
πr² = 154
22/7 r² = 154
r² = 49
r = 7 cm

✔ Example 4: Square Field

Area = 625 m²
Side = √625 = 25 m

✔ Example 5: Cylinder

r = 3, h = 7
Volume = π × 9 × 7
= 198π

🌟 6. Important Formulas List (Quick Revision)

➤ Square → a²

➤ Rectangle → l×b

➤ Triangle → ½ bh

➤ Parallelogram → bh

➤ Trapezium → ½(a+b)h

➤ Circle → πr²

➤ Circumference → 2πr

➤ Cube volume → a³

➤ Cuboid → lbh

➤ Cylinder volume → πr²h

➤ Sphere → (4/3)πr³

➤ Hemisphere → (2/3)πr³