Abstract
3 月 24 日 (月)
10:30 ~ 11:30
内海 凌 (大阪大学)
正標数における2次元空間の3本の直線からなる多重配置の指数
2次元空間の3本の直線からなる多重配置について，標数0での指数および対数的ベクトル場のなす加群の基底は，Wakamiko によって明示的に構成されている．
他方，Abe-Numata は，2次元多重配置における multiplicity lattice の概念を導入し，対数的ベクトル場のなす加群の基底に関する判定法や構成の方法を与えている．
本講演では，multiplicity lattice の理論をもとに，正標数における指数および対数的ベクトル場のなす加群の基底の構成について紹介する．
なお，本研究は北海道教育大学の辻栄周平氏との共同研究である．
13:30 ~ 14:30
根上 春 (千葉大学)
Multiplicative middle convolution of KZ-type equation and generic Hecke algebra
The Hecke algebra is a central concept that connects group theory, representation theory, number theory, combinatorics, and physics, making it an important subject of research. For example, Jones provided an invariant of knots by constructing a Hecke algebra representation of braid groups [3]. Since then, the study of representations of the Hecke algebra of braid groups has become an active area of research. Here we focus on the generic Hecke algebra defined by [4].
In this talk, we first introduce the method to construct infinite sequences of the braid groups, the Katz-Long-Moody construction [2], and show the correspondence between the method and the multiplicative middle convolution of KZ-type equations, an integral transformation to reproduce KZ-type equations. Then we extend the method to generic Hecke algebra.
[1] Haraoka, Y. (2020). Multiplicative middle convolution for KZ equations. Mathematische Zeitschrift, 294(3), 1787--1839.
[2] Hiroe, K. and Negami, H. (2023). Long-Moody construction of braid representations and Katz middle convolution. arXiv preprint arXiv:2303.05770.
[3] Jones, V. F. R. (1997). A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras, in Fields Medallists' Lectures, World Scientific, pp. 448--458.
[4] Rouquier, R. Malle, G., and Broué, M. (1998). Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Berlin, Germany.
14:45 ~ 15:45
菅原 朔見 (北海道大学)
Milnor fiber boundary of arrangements in $\mathbb{C}^3$
超平面配置のトポロジーにおける中心的な問題意識として，「種々の位相不変量が組合せ的に決まるか？」というものがある．例えば補集合の Betti 数，コホモロジー環の構造は組合せ的に記述される一方で，Milnor fiber をはじめとする，補集合の被覆空間については，1次の Betti 数すら組合せ的に記述できるか未解決である．本講演では，$\mathbb{C}^3$ 内の Milnor fiber（と十分大きい球体の交叉）の境界である，Milnor fiber boundary に注目する．Milnor fiber boundary は非孤立曲面特異点における特異点リンクの対応物であり，Nemethi—Szilard により詳細な研究がされた．彼らの手法を超平面配置へ応用することで，Suciu により予想された，超平面が一般の位置にある場合の Milnor fiber boundary の1次ホモロジー群の組合せ的な記述が得られたので，それについて紹介したい．
16:00 ~ 17:00
後藤 良彰 (小樽商科大学)
超幾何関数と elliptic arrangement
超幾何関数の Euler 型積分表示から自然に射影空間上の局所系が定まり，そのホモロジーやコホモロジー (twisted (co)homology) を考えることで，超幾何関数の性質を調べられる．特に積分表示が1次式のべき積で与えられるときは，超平面配置の言葉で色々と記述できる．この枠組みを楕円曲線の直積版である elliptic arrangement に拡張することで，別のタイプの超幾何関数を考えることができる．
本講演では，超平面配置に付随する超幾何関数について簡単に復習したのち，楕円曲線版に関するいくつかの試みを紹介したい．
3 月 25 日 (火)
9:30 ~ 10:30
小脇 修和 (大阪大学)
幾何的情報からの組み合わせ論的変異によるグラスマン多様体のトーリック退化の構成
グラスマン多様体のトーリック退化は盛んに研究されている分野の一つである。
マッチングフィールドはプリュッカー代数に単項式順序を導入する。
本講演では、マッチングフィールドに対応するトロピカル超平面配置の情報から、そのマッチングフィールドがトーリック退化を誘導するかを判定する十分条件を発見したので紹介する。
10:45 ~ 11:45
川ノ上 帆 (中部大学)
On the extended Catalan arrangement of type B_\ell
昨年の本研究会では extended Catalan arrangement of type B_2 の coning のログベクトル場の生成元の公式について報告したが，一般次元の場合（つまり B_ℓ 型）への拡張が示せたので紹介する．参考文献は arXiv:2411.05654 である．
13:30 ~ 14:30
辻栄 周平 (北海道教育大学)
代数体の整数環上の超平面配置のコバウンダリー準多項式及び剰余環上の誤り訂正符号
整数環上の超平面配置の重要な不変量である特性多項式には，コバウンダリー多項式と特性準多項式という異なる方向性の一般化がある．
コバウンダリー多項式とは，超平面配置の各交叉への制限の特性多項式の母関数であり，Tutte 多項式と同等な不変量である．
さらに，十分大きな素数に対しては，超平面配置から定まる有限体上の線形符号の重み多項式とも同等な不変量である．
特性準多項式とは，各剰余環上における超平面配置の補空間の元の個数の数え上げ関数であり，格子凸多面体のエルハート理論とも関わりが深い．
また，特性準多項式は代数体の整数環上の超平面配置に対して一般化できることが知られている．
本講演では，代数体の整数環上の超平面配置に対して，コバウンダリー多項式と特性準多項式の共通の一般化であるコバウンダリー準多項式を導入し，その性質について紹介する．
さらに，環上のマトロイドとしての双対と，各剰余環における線形符号の双対について，現在までに分かっていることを紹介する．
本講演は日本文理大学の黒田匡迪氏と名古屋工業大学の中島規博氏との共同研究に基づく．
14:45 ~ 15:45
中島 規博 (名古屋工業大学)
Shi 配置を１つの超平面に制限した配置の特性準多項式
特性準多項式は，正の整数を法として超平面配置の補集合内の要素の個数を数える関数である．本講演では，B 型と C 型の Shi 配置をある1つの超平面に制限した配置の特性準多項式の計算方法を紹介し，Shi 配置の削除に対する特性準多項式において周期崩壊が生じるかどうかを判定する．また，本講演の内容には大阪大学東谷氏との共同研究と，名古屋工業大学の小野氏との共同研究を含む．
16:00 ~ 17:00
沼田 泰英 (北海道大学)
Matroid Intersection から決まる Artin Gorenstein Algebra の Lefschetz 性について
Matroid Intersection の基底母関数を Macaulay generatorとする可換代数を考える.
いくつかの例に関して, この代数が strong Lefschetz property を持つことを紹介する.
3 月 26 日 (水)
9:30 ~ 10:30
阿部 拓郎 (立教大学)
tame 配置の基礎理論
tame 配置は Orlik と寺尾によりミルナーファイバーの研究のために（名前なしで）導入された。tame 配置に対しては、様々なホモロジカル消滅定理が成り立つため使い勝手がよく、自由性判定法をはじめ、master function と critical 多様体、Bernstein-Sato 多項式、Solomon-寺尾代数、Likelihood geometry など様々な研究に登場する、近年重要な研究対象となっている。
他方、tame 配置の定義は非常にテクニカルであり、一般には generic 配置や自由配置が tame であることがわかっている程度である。つまり与えられた配置が tame かどうかを判定することは困難かつ、そもそも tame 配置それ自体の研究は、2001年の Mustata と Schenck の論文以外ほぼ存在していない。本講演では tame 配置それ自体の基礎理論を、加除定理や Ziegler、吉永の判定法などを体系化することで構築する。
10:45 ~ 11:45
Luigi Caputi (University of Bologna)
Bridging between überhomology and double homology
Überhomology is a recently defined triply-graded homology theory of simplicial complexes, which yields both topological and combinatorial information. When restricted to (simple) graphs, a certain specialization of überhomology gives a categorification of the connected domination polynomial at -1; which shows that it is related to combinatorial quantities. On the topological side, überhomology detects the fundamental class of homology manifolds, showing that this invariant is a mixture of both. From a more conceptual viewpoint, we will show that a specification of überhomology of simplicial complexes can be identified with the second page of the Mayer-Vietoris spectral sequence, with respect to the anti-star covers. As a corollary, this allows us to connect überhomology to the double homology of moment angle complexes as defined by Limonchenko-Panov-Song-Stanley. This is joint work with D. Celoria and C. Collari.