My research

PROJET DE THESE

SOH VOUTSA Arnold Cedrick

La théorie du choix social a pour objet la transformation des préférences individuelles sur différents objets (candidats politiques, taux de taxe, paniers de biens...) en une préférence collective sur ces mêmes objets. Depuis la parution du résultat fondateur de cette théorie en 1951 et 1963 par K. Arrow, de très nombreux articles et/ou ouvrages examinent ce problème d’un point de vue économique, mathématique, voire philosophique et même, depuis quelques temps, de la physique. De nos jours, les bornes de la théorie du choix social deviennent difficiles à déterminer puisqu’on peut y intégrer la théorie du vote, une partie de la théorie des jeux coopératifs, la théorie des indices de pouvoir, la théorie de la justice et même celle des inégalités. Mon projet de thèse s’inscrit dans une vision moderne de la théorie du choix social et l’objectif est de développer deux thèmes principaux avec mes directeurs, Marcus Pivato et Mathieu Martin, tous deux Professeurs des Universités à l’université de Cergy-Pontoise et membres du laboratoire THEMA, UMR CNRS 8184 et faisant partie du projet Labex MME-DII.

Tout d’abord, je souhaiterais développer un nouveau système de « démocratie représentative » initié par le Professeur Pivato. L’objectif est de combiner les meilleurs caractéristiques de la « représentation régionale » et de la « représentation proportionnelle », bien connues en théorie du vote. Le cadre général serait le suivant : supposons qu’un ensemble de candidats cherche à se faire élire. Chaque électeur vote pour un candidat et celui-ci, à partir du moment où il reçoit un nombre plancher de votes, reçoit une part de « l’Assemblée Législative ». Cette assemblée a ensuite pour objet de voter des lois et, l’idée est de comparer ce vote par l’assemblée et le résultat qui aurait été obtenu à l’aide d’un vote direct par les citoyens.

Ce système serait étudié dans un modèle mathématique précis et c’est aussi la spécificité de mon approche. Je souhaite travailler dans un espace métrique, appelons le , où chaque point de décrit une forme d’idéologie politique : tel point pourrait mettre en avant une sensibilité écologique, tel autre une sensibilité à l’éducation... Cela signifie que les électeurs, comme les candidats, seraient identifiés par un point de l’espace et, bien sûr, chaque électeur votera pour le candidat le plus proche de lui (en distance euclidienne par exemple) dans l’espace. On peut alors remarquer que les candidats vont induire une partition de , appelée partition de Voronoi. En supposant qu’il y a de nombreux électeurs et en admettant une mesure μ de , alors le poids obtenu dans notre assemblée par chaque candidat dépendra directement de la μ-mesure de la cellule dans la partition de Voronoi.

La question que je me pose alors est la suivante : comme dit précédemment, le but de « l’Assemblée Législative » est de voter pour des lois et, dans un monde idéal, le vote de l’assemblée devrait ressembler le plus possible aux préférences des électeurs. Il va de soi que ce n’est pas toujours le cas. L’objectif est alors de compléter le modèle afin de se rapprocher le plus possible de la situation que je qualifierais d’idéale.

A cette fin, je compte introduire la notion de signal envoyé par chaque électeur aux candidats et évidemment les signaux reçus par les candidats dépendent des cellules de Voronoi. Ces signaux seront représentés par des probabilités. J’obtiendrai alors un résultat si le choix (la loi) est fait par l’assemblée et éventuellement un autre si le choix est fait par un vote direct des citoyens. Quelles sont alors les conditions que je dois imposer au modèle afin que les résultats soient identiques ? Intuitivement, il semble évident que les conditions porteront par exemple sur la géométrie de , sur la mesure μ ou sur la localisation des candidats et ce ne sont que des exemples.

Cette première approche est évidemment très théorique mais elle comporte plusieurs avantages. Tout d’abord, malgré l’étendue de ce domaine, la théorie du choix social traite assez peu de « démocratie représentative » alors que dans la vie réelle, la plupart des démocraties fonctionnent par représentation. Mais il y a un autre avantage et non des moindres. Le système décrit plus haut évite la plupart des pathologies bien connues des règles de répartitions de sièges souvent utilisées (par exemple pour attribuer le nombre de Représentants au Congrès des Etats-Unis) et qui posent des soucis depuis des décennies. Cependant, j’ai bien conscience que ce problème est très loin d’être trivial et les difficultés mathématiques semblent multiples.

Ensuite, dans un cadre géométrique similaire, le Professeur Mathieu Martin s’intéresse à des questions du domaine de l’économie spatiale qui me passionnent énormément. Cette théorie est fondée sur la modélisation de certaines réalités de l’économie politique dans l´espace.

Pour l’aspect idéologique, Mathieu s’intéresse à la mesure du pouvoir de décision et aux implications que cela peut avoir en choix social. Pour mieux comprendre les problèmes traités, considérons une assemblée législative telle que le Parlement européen dont la structure doit prendre en compte la représentativité des différents Etats membres. Dans le cas occurrent, le critère de représentativité est la taille de la population. La tendance consiste à appliquer une règle de proportionnalité dégressive dans la répartition du nombre de sièges ou du nombre de votes[1]. D’après ce principe, on peut retenir en gros que : si un Etat est plus peuplé qu’un autre Etat alors le nombre de représentants de l’Etat ne peut dépasser celui de l’Etat . Cette importante question se pose dans divers autres contextes de prise de décision notamment dans le fonctionnement des intercommunalités. Pourtant, même si on se limite à l’ensemble des options qui respectent le principe de proportionnalité dégressive, il est clair qu’il existe un très grand nombre de choix possibles. C’est ce qui constitue le point d’ancrage de la théorie de mesure du pouvoir dont le but est d’analyser les implications du nombre de votes accordés à chaque intervenant. Pour dire les choses plus simplement, le pouvoir d’un joueur est un nombre réel généralement positif qui représente un mérite ou une capacité d’action dans un cadre définit par la règle du jeu. La règle du jeu intègre tous les critères de décision qu’on se donne au-delà de la manière de distribuer les sièges ou votes aux intervenants. Cela représente un pan tout aussi intéressant de l’étude. Pour preuve, la règle de décision au sein du Conseil des ministres de l’union européenne a évolué sans cesse dans le temps, notamment avec la règle de majorité qualifiée (traité de Nice) ou la règle de la double majorité entrée en vigueur depuis le 1er novembre 2014 (traité de Lisbonne).

Historiquement, Owen (1971) est l’un des premiers à s’intéresser à la question de mesure du pouvoir de décision dans un jeu de vote spatial. L’espace idéologique d’Owen est une hypersphère c’est-à-dire un cercle en 2-dimensions ou une sphère en 3-dimensions. Dans cet espace, il suppose que chaque intervenant possède un point idéologique de référence encore appelé point idéal. Ce point permet au joueur de juger toute proposition qui se présente sachant que celle-ci correspond également à un point de l’espace. L’outil de comparaison est la distance euclidienne. En d’autres termes, étant donné deux points représentants des propositions distinctes, un joueur préfère celui qui est plus proche de son point idéal. Ainsi, chaque point X de l’espace induit sur l’ensemble des joueurs, un ordre donné par les distances croissantes qui séparent X des différents points idéaux. Le pivot pour un ordre est le tout premier joueur qui constitue une coalition décisive[2] avec ses prédécesseurs. Selon Owen, le pouvoir spatial d’un joueur est la fréquence avec laquelle il est pivot lorsqu’on parcourt l’ensemble des points du domaine. L’indice d’Owen est souvent critiqué pour la rigidité des contraintes sur le domaine qui doit être une hypersphère, mais aussi pour des complications calculatoires qui en découlent, Ono(1996). Une approche alternative est proposée par Shapley (1977). Dans Martin et al. (2017), Mathieu et ses co-auteurs créent un lien plutôt inattendu entre ces deux approches spatiales basées sur des considérations géométriques très différentes. En effet, en représentant les propositions à l’aide des points de l’espace comme chez Owen et en utilisant les distances pour construire les ordres, ils montrent que tout n’est qu’une question de domaine. Un domaine sphérique conduit naturellement à l’indice spatial d’Owen, lorsque le domaine est l’ensemble des points de l’espace, on obtient asymptotiquement l’indice spatial de Shapley. Ce résultat ouvre la voie sur l’exploitation de domaines quelconques (ce que les auteurs ont appelé indice généralisé d’Owen), ce qui nous parait bien pratique pour modéliser des problèmes socio-économiques réels.

Une axiomatisation de l’indice spatial de Shapley existe, Peters and Zarzuelo (2016). Avec Mathieu, nous pouvons nous en inspirer pour proposer une axiomatisation de la version généralisée de l’indice d’Owen. Les axiomes de l’indice de Shapley mettent en évidence certaines de ses faiblesses bien connues. Il s’agit notamment de l’hyper-concentration du pouvoir et de sa grande sensibilité par rapport au choix de localisation. Nous pensons que l’utilisation de la distance, sans nécessairement annuler ces effets peut en atténuer significativement l’intensité. C’est ce que nous comptons prouver formellement. Pour terminer, le lien entre le pouvoir et la question du choix social est très peu étudié dans la littérature. A notre connaissance, Owen et Shapley (1989) est l’un des rares papiers qui portent sur cette question. En effet, les auteurs montrent que le barycentre des points idéaux pondéré par les pouvoirs (centre du pouvoir) coïncide avec l’un des plus importants concepts de solution au problème de choix social : le point fort ou vainqueur de Copeland, Owen et Shapley (1989). Ce résultat ne fonctionne malheureusement qu’en dimension 2 et pour les cas particulier des jeux de simple majorité. Toutes ces questions méritent d’être approfondies.

Pour l’aspect géographique, on sait que l’organisation spatiale des activités économiques a des répercussions sur les choix de politiques publiques qui impactent à leur tour le bien-être collectif. Pour mieux présenter le problème, considérons l’exemple d’une commune qui souhaite construire un parc d’attraction qui doit être exploité par des élèves de deux écoles maternelles voisines et séparées d´une distance . Supposons que le parc peut être construit partout entre les deux écoles qui ont par ailleurs pour effectifs respectifs et . La question consiste à trouver la meilleure localisation possible. La réponse à cette question détermine l’utilité que les consommateurs pourront tirer de l’exploitation de ce bien. La recherche opérationnelle propose des solutions mathématiques comme par exemple le point de Fermat : il s’agit du point qui minimise la somme des distances au mieux. Pour notre exemple, si , alors le point de Fermat est le milieu du trajet . Autrement, le point de Fermat coïncide avec l’école qui contient le plus grand effectif et ce, même en cas de différence minime comme par exemple et . Cette solution traduit une analyse utilitariste pour laquelle l’optimisation du bien-être collectif doit primer sur toute autre chose. A cette thèse, on peut opposer l’égalitarisme mais aussi la théorie de la justice de John Rawls. D’après cette dernière théorie, il faut limiter les inégalités entre les individus. Ainsi, la solution serait plutôt de placer le parc à mi-chemin entre les deux écoles, c’est la position médiane dans le sens de Black (1958). Il est clair que nous ne pouvons pas porter de façon objective un jugement tranché sur ces différents concepts de solution. En effet, selon les circonstances, on peut toujours trouver des avantages et des inconvénients pour l’un comme pour l’autre. Par exemple, si la distance est beaucoup trop importante, on peut imaginer que le choix de la localisation médiane pourrait rendre le bien finalement inexploitable pour les élèves des deux écoles. La solution qui s’impose consisterait à sacrifier l’une des deux écoles au profit de l’autre qui bénéficiera du projet. Si au contraire la distance est raisonnable, nous pouvons imaginer une localisation intermédiaire avec éventuellement une prise en compte de l’effectif des deux écoles (barycentre pondéré par des effectifs). Cette dernière proposition est une solution de compromis entre l’utilitarisme et l’égalitarisme. Comme nous pouvons le constater, le choix de localisation géographique peut être complexe et exiger des connaissances solides en recherche opérationnelle mais aussi en théorie du choix social. Il faut pouvoir concilier les critères d’optimalité, de justice, d’équité et bien d’autres qui concourent au bien-être de la société.

Dans mon parcours académique, j’ai suivi des cours de mathématiques théoriques mais aussi ceux de mathématiques appliquées notamment de la théorie des jeux. Ainsi, je suis suffisamment outillé pour pouvoir mener cette étude. Travailler avec le Professeur Martin est un atout sérieux car ses récentes publications scientifiques portent justement sur ces questions. En parcourant l’article Martin et al. (2016) portant sur l’unicité du Yolk, je me suis posé de multiples questions qui méritent d’être approfondies. En effet, le Yolk est un concept de solution spatial qui se distingue de par ses propriétés. Pour mieux le comprendre, considérons un jeu de vote spatial dont la règle de décision est la majorité simple. On sait que le médian n’existe qu’en dimension 1. En dimension 2 ou plus, le Yolk remplace dans une certaine mesure le médian, c’est l’hypersphère qui touche toutes les médianes[3]. Le centre du Yolk a longtemps été considéré comme étant unique. Dans le travail en question, les auteurs montrent que l’unicité du Yolk n’est acquise qu’en dimensions 2. Ce résultat ouvre le débat autour des autres concepts de solution comme par exemple le Point Fort ou le Finagle Point, Wuffle et al (1989). La question est de savoir si ces autres concepts qui sont des points de l’espace sont uniques ou pas. Dans notre thèse, nous comptons en apporter une clarification. La question d’unicité du Yolk comporte une coïncidence curieuse avec le résultat qui établit le lien entre le Point Fort et le centre du pouvoir : tout fonctionne bien en dimension 2 mais pas au-delà. Nous nous demandons si cela ne peut pas aider à mieux comprendre le comportement du centre du pouvoir en dimension supérieure.

Bibliographie

Owen (1971): G. Owen. A comparison of power indices and a non symmetric generalization. Naval Research Logistics Quarterly, 18:345.355, 1971.

Ono (1996): R. Ono. Analysis of parties’ power in the house of councilors with nonsymmetric Shapley-Owen index: using the quantification method III. Research Institute for Mathematical Sciences, 947:121-132, 1996.

Shapley (1977): L.S. Shapley. A comparison of power indices and a non symmetric generalization. Rand Collection, page 5872, 1977.

Martin et al. (2017): M. Martin, Z. Nganmeni, and B. Tchantcho. The Owen and the Shapley spatial power indices: A comparison and a generalization. Mathematical Social Sciences, 2017.

Peters and Zarzuelo (2016): H. Peters and J. M. Zarzuelo. An axiomatic characterization of the Owen-Shapley spatial power index. International Journal of Game Theory, pages 1-21, 2016.

Owen and Shapley (1989): G. Owen and L. Shapley. Optimal location of candidates in ideological space. International Journal of Game Theory, 18:339-356, 1989.

Black (1958): D. Black. The Theory of Committees and Elections. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1958.

Martin et al. (2016): M. Martin, Z. Nganmeni, and C. A. Tovey. On the uniqueness of the yolk. Social Choice and Welfare, 47(3): 511.518, 2016.

Wuffleet al. (1989): A.Wuffle, Scott L. Feld, Guillermo Owen, and Bernard Grofman. Finagle’s law and the finagle point: A new solution concept for two-candidate competition in spatial voting games without a core. American Journal of Political Science, 33:348-375, 1989.

[1] Lorsque les votes des individus sont équivalents (cas du Parlement européen), seul le nombre de siège compte. Néanmoins, il peut arriver que certain votes comptent mieux que d’autres (cas du Conseil des ministres de l’union européenne), on parle alors de nombre de votes.

[2] La notion de coalition décisive renvoie à un sous-groupe représentatif de la collectivité. Par exemple lorsque la décision est prise selon la règle majoritaire, la représentativité consiste à mobiliser au moins la moitié de l’effectif total.

[3] En 2-dimension, une médiane est toute droite (D) qui divise les points idéaux en deux sous-ensembles qui sont tels que pour avoir au moins la moitié des points d’un côté, il faut compter au moins un élément situé sur (D). En 3-dimension, on parle de plan médian et en dimension supérieure, on parle d’hyperplan médian.