Contacto:
· Email: gmantillas@unal.edu.co
· Oficina: 43-224.
· Horas de oficina: acordadas individualmente vía email.
Lugar y hora de clase:
· Martes: 12:00 PM - 2:00 PM. Salón 43-307.
· Jueves: 12:00 PM - 2:00 PM. Salón 43-307.
Parcial 1. Para entregar vía email el sábado 2 de mayo
Bibliografía: Aunque no seguiré un texto guía fijo la referencia estándar para la clase es J. Silverman . Otras referencias útiles para la clase son:
· R. Hartshorne, Algebraic geometry. (Este y el siguiente son referencias para el inicio de la clase en geometría algebraica)
· W. Fulton, Algebraic curves.
· J. Silverman, J.Tate, Rational points on elliptic curves.
· N. Koblitz, Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
Criterio de evaluación:
· La nota final será calculada con base en dos exámenes (33% c/u) y la nota de tareas (34%).
Instrucciones tareas:
· Bajo ninguna circunstancia se aceptan tareas tarde.
· Las tareas, y fechas de entrega, se anunciaran en clase y serán subidas acá. Es responsabilidad de los estudiantes estar al tanto de estas.
. IMPORTANTE: Las soluciones deben ser escritas en latex.
Tarea 1. Para entregar vía email el jueves 26 de febrero.
Tarea 2. Para entregar vía email el martes 21 de abril.
1 Introducción al curso, motivación del estudio de curvas(cónicas y lineas; método de parametrización)
2 Introducción a la geometría algebraica.(Un repáso rápido de la topología de Zariski, variedades afines, dimensión).
3 Definición de singularidad en curvas afines , anillos de valuación discreta, y equivalencia con la versión clásica de singularidad.
4 Variedades proyectivas. Definción de singularidad en variedades proyectivas. Criterio derivadas vs criterio de anillo de valuación en curvas.
5 Definición de multipicidad de intersección. Espacio vectorial de cónicas y cúbicas. Teorema de Bezout
6 Teorema de Cayley-Bacharach. Definición de operación de grupo en cúbicas suaves--primera definición de curva elíptica.
7 Divisores, divisores efectivos, grado, divisores principales. Grupo de Picard y grupo de Picard cero. Repaso de cuerpo de funciones racionales de variedades proyectivas.
8 Espacios lineales asociados a divisores y prueba de su finitud dimensional.
9 Teorema de Riemann-Roch. Definición de género de una curva proyectiva suave. Definición general de curva elíptica.
10 Función de Abel-Jacobi(prueba de biyección para curvas elípticas).
11 Modelos de Weierstrass curvas elípticas y biyección. Isomorfismo entre las dos operaciones de grupos definidas(via Picard vs via geometría proyectiva en modelos de Weierstrass).
12 Modelos de Weierstrass en char \neq 2,3. Definiciones de invariantes de modelos de Weierstrass. El j-invariante de una curva elíptica y su independencia del modelo de Weierstrass.
13 Revisión defnición de género--existencia del divisor canónico. Módulo de diferenciales de Kähler 1-formas sobre curvas.
14 Morfimos entre curvas proyectivas. Grado de un morfismo y grado de ramificación(igualdad fundamental). Pull back y push forward de un morfismo entre curvas elípticas.
15 Isogenas e isogena dual. La n-torsión de una curva elíptica. El emparejamiento de Weil.
16 Curvas elípticas sobre los complejos. Motivación vía funciones trigonométricas.
17 Retículos en C y funciones doblemente periódicas(funciones elípticas). Las series de Eisenstein de un retículo.
18 La función \mathcal{P} de Weierstrass, su derivada y su relación algebraica.
19 Teorema de Uniformización. Curvas elípticas complejas y retículos.
20 La n-torsión de curvas elípticas en caracteriztica cero. Segunda presentación del emparejamiento de Weil.
21 Clasificación de curvas elípticas complejas;
22 Las funciones \Delta y j. Series de Eisenstein. Formas modulares para SL_2(Z).
23 Curvas elípticas sobre Q. Teorema de Nagell-Lutz.
24 Enunciado del teorema de Mordell-Weil--definción del rango.
25 El teorema débil de Mordell-Weil. Cohomología de grupos(grado 0,1) y Cohomología de Galois.
26 Alturas en cúrvas elípticas. Prueba de Mordell-Weil.
27 L-función de una curva elíptica racional. Rango analítico. Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer.
28 ¿De qué se trata la prueba de Wiles del último teorema de Fermat?