Tropische Geometrie (Ss 2022)

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Voraussetzungen

Ich versuche, die Voraussetzungen so minimal wie möglich zu halten, empfehle aber Vorkenntnisse in der Kommutativen Algebra (kann auch parallel besucht werden).

Beschreibung

Möchte man in einem gerichteten metrischen Graphen den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten bestimmen, so braucht man dafür nur zwei Operationen: das Minimum und die Addition. Fasst man diese beiden Operationen als Addition und Multiplikation in einer algebraischen Struktur auf, so erhält man den sogenannten tropischen Halbkörper T und das Kürzeste-Wege-Problem lässt sich elegant durch Matrix-Multiplikation über T lösen. Betrachtet man den tropischen Halbkörper aus einer algebischen Perspektive, stellen sich schnell die Fragen, was es bedeutet eine Nullstelle eines Polynoms über T zu sein und ob im Tropischen die Analogie des Fundamentalsatzes der Algebra gilt.

Eine große Hilfe beim Finden von Analogien zwischen der tropischen und der klassischen (also über den komplexen Zahlen definierten) Welt sind Bewertungen. Mit ihnen lässt sich die klassische Welt tropikalisieren, wodurch insbesondere Fragen der Schnitttheorie und der enumerativen Geometrie von algebraischen in diskrete, kombinatorische Fragen umgewandel werden. Ziel der Vorlesung ist es diesen Tropikalisierungsprozess zu präzisieren und die dadurch entstehenden kombinatorischen Probleme zu lösen.

Vorlesungsunterlagen

Ich habe vor nach jeder Vorlesung meine Unterlagen zu digitalisieren und im OLAT hochzuladen. Je nachdem wie viel ich gerade zu tun habe behalte ich mir allerdings vor dafür manchmal etwas länger zu brauchen oder die Unterlagen ggf. etwas knapper zu halten.

Literatur

Artikel:
Richter-Gebert, Sturmfels, Theobald: First steps in tropical geometry
Gathmann: Tropical algebraic geometry

Bücher:
Maclagan, Sturmfels: Introduction to Tropical Geometry
Mikhalkin, Rau: Tropical Geometry (Buchentwurf)