Lezione 1 - 24 settembre (LC)

Introduzione al corso. Numeri naturali (cenni sul principio di induzione), interi, razionali. Assiomi algebrici e di ordinamento. Irrazionalita' della radice di 2. L'assioma di completezza e i numeri reali.

Lezione 2 - 25 settembre (LC)

Cenni di teoria degli insiemi. Il concetto di funzione: dominio, codominio, immagine, grafico. Funzioni suriettive, iniettive, biiettive. Funzione inversa. Funzioni monotone.

Lezione 3 - 26 settembre (AG)

Funzioni pari/dispari. Potenze, esponenziali e logaritmi. Funzioni composte.

Lezione 4 - 29 settembre (AG)

Funzione modulo. Funzioni trigonometriche: seno, coseno tangente e funzioni inverse. Funzioni periodiche. 

Esercitazione 1 - 1 ottobre (FS)

Esercizio sulla composizione delle funzioni cos(x) e 1/x^2. Grafici delle funzioni di partenza e delle funzioni composte ottenute. Rapido ripasso sui concetti di funzione, iniettività, suriettività, biettività, invertibilità e funzione inversa. Esempio di grafico di funzione inversa.

Lezione 5 - 2 ottobre (LC) 

Massimo/minimo di un insieme. Estremo superiore/inferiore: esistenza e caratterizzazione.

Lezione 6 - 3 ottobre (LC) 

Proprieta' archimedea dei numeri naturali. Ancora sul principio di induzione: esempi. Successioni numeriche: definizione di limite.

Lezione 7 - 6 ottobre (AG) 

Definizione di successione convergente a un limite finito e divergente a infinito. Calcolo dei limiti di: 1/n, (-1)n/n2, (2n+1)/(3n-2), n2, usando la definizione di limite. Successioni limitate e illimitate. Teorema dell'unicità del limite. Teorema: ogni successione convergente è limitata. Esempi di successioni (limitate e illimitate) che non ammettono limite. Operazioni con i limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto di due successioni, nel caso in cui le due successioni ammettono limite finito. Esempio: calcolo del limite di (2n+1)/(3n-2) usando le operazioni coi limiti.

Esercitazione 2 - 8 ottobre (FS)

Correzione di alcuni esercizi delle schede settimanali, su funzioni inverse e loro grafici, estremo superiore/inferiore e massimo/minimo. Esercizi sul principio di induzione (somma dei primi N numeri naturali e dei primi N cubi di numeri naturali). Dimostrazione della disuguaglianza triangolare. Algebra dei limiti con successioni divergenti: dimostrazione del caso an/bn con an convergente e bn divergente. Esercizi su limiti di successioni e verifica del limite tramite la definizione.

Lezione 8 - 9 ottobre (LC)

Operazioni con i limiti nel caso di limiti infiniti. Teorema della permanenza del segno e sue conseguenze. Teorema dei carabinieri. Teorema del confronto con l'infinito. Esempi: sin(n)/n e a^n con a>1

Lezione 9 - 10 ottobre (LC)

Esempi di calcolo di limite tramite il teorema del confronto: a^n con a qualsiasi, a^{1/n}, sin(a_n) con a_n una successione che tende a zero, calcolo dell'area del cerchio come limite dei poligoni regolari inscritti. Successioni monotone. Dimostrazione che ogni successione monotona ammette limite, il numero e come limite di (1+1/n)^n.

Lezione 10 - 13 ottobre (AG)

Il criterio di convergenza del rapporto per serie positive. Gerarchia di infiniti: per ogni b>0 e ogni a>1,  ln(n) << nb << an << n! << nn. Sottosuccessioni estratte da una successione an. Teorema: ogni sottosuccessione di una successione convergente con limite l  è anch'essa convergente allo stesso limite l. Teorema (di Bolzano-Weierstrass): ogni successione limitata ammette infinite sottosuccessioni convergenti.

Esercitazione 3 - 15 ottobre (FS)

Correzione di alcuni esercizi delle schede settimanali, su: principio di induzione, limiti e caratterizzazione di successioni, risoluzione di forme indeterminate, successioni definite per ricorrenza. 

Lezione 11 - 16 ottobre (LC)

Successioni di Cauchy: una successione e' convergente se e solo se e' di Cauchy. Serie numeriche: serie convergenti, divergenti, indeterminate. Esempi. Se una serie converge allora il limite del termine n-esimo tende a zero. 

Lezione 12 - 17 ottobre (LC)

Criterio di Cauchy per serie. Il resto N-esimo di una serie convergente tende a zero. Serie a termini positivi: la serie geometrica e la serie armonica. La serie armonica generalizzata diverge se l'esponente e' minore o uguale di uno e converge se maggiore o uguale di uno (solo enunciato di quest ultimo fatto). Criterio del confronto e del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata. 

Lezione 13 - 20 ottobre (AG)

Rappresentazione frazionaria dei numeri decimali periodici. Dimostrazione della convergenza della serie armonica generalizzata con p>1. Criterio del rapporto per serie. Criterio della radice per serie. Esempi. Serie a segni alterni: criterio di converegnza per serie alternate. Serie assolutamente convergenti. Riordinamento di serie assolutamente convergenti. 

Esercitazione 4 - 22 ottobre (FS)

Rapido ripasso su: proprietà di potenze e logaritmi, limiti noti di successioni, gerarchia degli infiniti, criteri e tecniche per il calcolo di limiti di successioni. Esercizi sui limiti di successioni, con risoluzione di forme indeterminate. Esercizi sull'estrazione di sottosuccessioni da successioni contenenti termini a segno alterno. Impostazione di un esercizio sulla verifica del limite tramite la definizione.

Esercitazione 5 - 23 ottobre (FS)

Ripasso e schema dei criteri di convergenza per serie, serie geometrica e serie armonica generalizzata. Esercizi sulla determinazione del carattere di serie tramite criterio del rapporto, confronto asintotico, criterio per serie a segno alterno. Esercizio sulla determinazione del carattere di una serie al variare del valore di un parametro. Esempio di riordinamento di una serie assolutamente convergente e di una serie non assolutamente convergente (serie armonica a segni alterni: il riordinamento può comportare somma diversa). Impostazione della dimostrazione della convergenza della serie armonica a segni alterni a ln2, fino alla definizione della costante di Eulero-Mascheroni.

Lezione 14 - 24 ottobre (LC)

Dimostrazione della convergenza della serie armonica a segni alterni a ln2: conclusione. Punti di accumulazione, intervalli aperti/chiusi, estremi di un intervallo come punti di accumulazione. Limiti di funzioni: teorema ponte. Limite destro/sinistro. Esempi.

Lezione 15 - 27 ottobre (AG)

Operazioni con i limiti di funzioni e limiti di composizioni di funzioni. Il limite notevole di (1-cos x)/x^2 per x che tende a 0. Definizione di continuità. Funzione continua in un punto e in un intervallo (aperto o chiuso). Continuità della somma, prodotto, rapporto, esponenziale, composizione di funzioni continue. Dimostrazione del fatto che le funzioni elementari seno, coseno, potenza, esponenziale e logaritmo sono continue sui loro domini di definizione. I limiti notevoli di [ln(1+x)]/x e di (e^x-1)/x per x che tende a 0.

Lezione 16 - 29 ottobre (LC)

Classificazione delle discontinuita': eliminabile, di salto, essenziale. Teoremi sulle funzioni continue: permanenza del segno, esistenza degli zeri, Weierstrass, valori intermedi. Una funzione continua strettamente monotona e' invertibile. Esempi.

Esercitazione 6 - 30 ottobre (FS)

Serie telescopiche: definizione ed esempio. Esercizi sulla determinazione del carattere di serie tramite criterio della radice, confronto, criterio per serie a segno alterno. Esempio di un caso in cui la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta. Esercizi sulla verifica del limite di una funzione tramite la definizione. Esercizi su limiti di funzioni, calcolati tramite limiti notevoli e/o sostituzione. Domini di funzioni.

Lezione 17 - 31 ottobre (LC)

Esercizi sulle funzioni continue: uso del teorema degli zeri per dimostrare che esistono soluzioni di un'equazione, continuità della funzione modulo, discontinuità della funzione che vale 0 sui razionali e 1 sugli irrazionali, continuità solo nell'origine della funzione che vale 0 sui razionali e x sugli irrazionali, scelta di parametri in modo tale che una funzione sia continua.

Lezione 18 - 3 novembre (AG)

Simulazione d'esonero: testo

Esercitazione 7 - 5 novembre (FS)

Correzione della simulazione d'esonero del 3/11. Grafici tipici associati alle diverse specie di discontinuità.

Lezione 19 - 6 novembre (LC)

Esercizi di riepilogo sulla prima parte del corso

Lezione 20 - 10 novembre (AG)

Definizione meccanica di derivata nel caso della legge oraria di un punto materiale che si muove di moto rettilineo. Velocità istantanea e accelerazione istantanea: i casi del moto rettilineo uniforme, del moto accelerato uniforme e del moto armonico. Definizione generale come limite del rapporto incrementale. Derivate destra e sinistra. Derivabilità di una funzione in un intervallo aperto e chiuso. Derivate delle funzioni elementari: potenza, esponenziale e logaritmo.

Lezione 21 - 12 novembre (LC)

Interpretazione geometrica della derivata. Funzioni continue ma non derivabili: angoli, cuspidi e tangenti verticali. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Regole di derivazione ed esempi.

Esercitazione 8 - 13 novembre (FS)

Dimostrazione, tramite derivata della funzione composta, delle derivate delle funzioni arcsin(x), arccos(x), arctan(x) e della regola di derivazione per f(x)^g(x). Esercizi sulle regole di derivazione. Esercizio sulla determinazione dell’equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto.

Lezione 22 - 14 novembre (LC)

Derivata della funzione inversa. Massimi e minimi relativi: teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange. Esempi. Dimostrazione del fatto che una funzione con derivata identicamente nulla e' costante.

Lezione 23 - 17 novembre (AG)

Criterio di monotonia per funzioni derivabili: una funzione è crescente su un intervallo se e solo se la sua derivata è non-negativa. Corollari: una funzione è costante su un intervallo se e solo ha derivata nulla; una funzione è strettamente crescente su un intervallo se e solo se la sua derivata è non-negativa e non si annulla su nessun sottointervallo. Esempi. Caratterizzazione dei punti stazionari interni in termini del segno della derivata subito a destra e a sinistra: massimi e minimi relativi, punti di flesso orizzontale. Applicazione dello studio del segno della derivata allo studio del grafico di una funzione. Esempi: f(x)=x^3-2x^2-3x e f(x)=(x^2-1)/(2-x).

Esercitazione 9 - 19 novembre (FS)

Schema generale per studio di funzioni. Studio (senza ricerca degli asintoti obliqui né calcolo della derivata seconda ed analisi della concavità) delle seguenti funzioni:
- f(x)=[(2x-4)/(x-4)]^(1/2)+1;
- f(x)=[x^2(1-x)]^(1/3);
- f(x)=e^x/(x^2-4).

Lezione 24 - 20 novembre (LC)

Funzioni convesse/concave: criterio per determinare la convessita' di una funzione tramite derivata seconda (se esiste). Asintoti obliqui: definizione e calcolo. Esempio: studio completo della funzione  f(x)= (x^2-1)^(1/2).

Lezione 25 - 21 novembre (LC)

Formula di De l'Hôpital. Formula di Taylor. Prime proprietà del polinomio di Taylor. Polinomi di Taylor di grado n per le funzioni e^x, sin(x) e cos(x).

Lezione 26 - 24 novembre (LC)

Studio completo delle funzioni

- f(x)=xe^(1/x)

- f(x)=(e^x-2)/(1-e^x)

- f(x)=xln|x|

Esercitazione 10 - 26 novembre (FS)

Studio delle seguenti funzioni:
- f(x)=ln(2x-x^3);
- f(x)=(x^2-4x+5)/(3-|3-x|) (senza studio della derivata seconda).

Lezione 27 - 27 novembre (LC)

Calcolo di aree: il metodo di esaustione. Calcolo dell'area sotto il grafico di una funzione continua positiva approssimando con rettangoli. Aree con segno: l'integrale definito. Prime proprieta'. Il teorema della media.

Esercitazione 11 - 28 novembre (FS)

Conclusione dello studio della funzione f(x)=(x^2-4x+5)/(3-|3-x|). Polinomi di Taylor centrati in x=0 delle funzioni f(x)=ln(1+x), f(x)=(1+x)^1/2, f(x)=arctan(x), f(x)=1/(1-x). Calcolo di un limite tramite l'utilizzo dei polinomi di Taylor. Indicazioni, con esempio, per la risoluzione di limiti tramite l'utilizzo di polinomi di Taylor di funzioni composte.

Lezione 28 - 1 dicembre (AG)

Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione. Corollario del teorema fondamentale del calcolo integrale: l'integrale definito di f tra a e b è uguale a F(b)-F(a), dove F è una qualsiasi primitiva di f. Integrale indefinito: definizione ed esempi. 

Esercitazione 12 - 3 dicembre (FS)

Ripasso rapido delle definizioni di somme di Riemann, integrale definito, primitiva di una funzione, integrale indefinito. Proprietà dell'integrale definito: additività rispetto all'intervallo di integrazione, inversione degli estremi di integrazione, linearità. Linearità dell'integrale indefinito. Regole di integrazione (ottenute a partire dalle regole di derivazione note) per le funzioni x^p (p≠-1, con x≠0 se p<0), 1/x (con x≠0), a^x, sin(x), cos(x), 1/cos(x)^2 (con x≠π/2+kπ, con k intero), 1/(1+x^2), 1/(1-x^2)^(1/2) (con -1<x<1). Altri integrali indefiniti, con costante a≠0, ottenuti a partire da derivate: e^(ax), cos(ax), sin(ax), 1/cos(ax)^2 (con x≠π/(2a)+kπ/a, con k intero), 1/(1+(ax)^2), 1/(1-(ax)^2)^(1/2) (con -1/a<x<1/a). Esempi di integrali definiti, risolti con l'utilizzo delle regole di integrazione ricavate. Esempio di un caso con divisione tra polinomi. Esempi di errori nel calcolo di integrali definiti, considerando intervalli di integrazione contenenti punti in cui le regole di integrazione non sono valide: integrazione di 1/x tra -2 e 1 e di 1/cos(x)^2 tra 0 e π, con confronto del risultato (errato) ottenuto con l'area sottesa al grafico della funzione.

Lezione 29 - 4 dicembre (AG)

Metodo di integrazione per parti. Esempi: integrale di ln(x) e di x e^x. Metodo di integrazione per sostituzione. 

Lezione 30 - 5 dicembre (AG)

Metodo di integrazione per funzioni razionali P(x)/Q(x) con Q(x) di grado 1 o 2. Divisione tra polinomi e riduzione al caso in cui P(x) ha grado minore del grado di Q(x). Esempi e procedura generale per Q(x) di grado 1 e per Q(x) di grado 2, distinguendo i sottocasi in cui il discriminante di Q(x)=ax^2+bx+c è positivo, nullo o negativo.

Esercitazione 13 - 10 dicembre (FS)

Esempio e dimostrazione della formula generale per l'integrazione di funzioni razionali fratte con numeratore di primo grado e denominatore di secondo grado, nel caso in cui il discriminante del denominatore sia negativo. Ripasso rapido delle formule di duplicazione, di bisezione e parametriche di seno e coseno. Definizione e derivate di cosh(x) e sinh(x). Esempi vari di integrazione per parti e per sostituzione.

Lezione 31 - 11 dicembre (LC)

Aree di figure piane. Calcolo di volumi, in particolare volumi di solidi di rotazione.

Lezione 32 - 12 dicembre (LC)

Integrali impropri: definizione, esempi, criterio del confronto. Convergenza dell'integrale Gaussiano. Definizione della funzione logaritmo come integrale di 1/t. Relazione tra convergenza di serie e convergenza di integrali impropri. 

Lezione 33 - 15 dicembre (AG)

Integrali impropri: esempi. Calcolo dell'integrale Gaussiano. Formula di Taylor: definizione del polinomio di Taylor centrato in x_0 e del resto di Peano.

Esercitazione 14 - 17 dicembre (FS)

Esercizi sul calcolo di aree comprese tra i grafici di due funzioni e di volumi dei solidi ottenuti dalla rotazione completa del grafico di una funzione attorno all'asse x. Disuguaglianze utili per lo studio di convergenza o divergenza di integrali impropri e applicazione ad un esercizio.

Lezione 34 - 18 dicembre (LC)

Definizione di o-piccolo e algebra degli o-piccoli. Resto di Taylor in forma integrale e in forma di Lagrange. Calcolo delle prime 7 cifre decimali del nujmero di Nepero e.

Esercitazione 15 - 19 dicembre (FS)

Altre disuguaglianze elementari utili per lo studio di convergenza o divergenza di integrali impropri e applicazione ad esercizi. Esercizio su un integrale improprio con applicazione del risultato noto per l'integrale gaussiano. Limiti con funzioni composte, risolti tramite l'utilizzo dei polinomi di Taylor.

Lezione 35 - 22 dicembre (AG)

Calcolo delle prime 6 cifre significative di radice di 2 usando lo sviluppo di Taylor con resto in forma di Lagrange. Serie di Taylor: definizione. Sviluppabilità di una funzione in serie di Taylor: criterio necessario e sufficiente. Definizione di analiticità di una funzione di variabile reale. Dimostrazione che le funzioni esponenziale, seno e coseno sono analitiche su tutto l'asse reale. Unità immaginaria e formula di Eulero. Un esempio di una funzione derivabile infinite volte su tutto R, con serie di Taylor centrata nell'origine convergente su tutto R ma non sviluppabile in serie di Taylor con centro nell'origine in nessun intorno dell'origine. 

Esercitazione 16 - 7 gennaio (FS)

Simulazione del secondo esonero: testo.