23 settembre: teoria degli insiemi: insiemi e loro definizioni, operazioni insiemistiche fondamentali e loro proprietà, formule di De Morgan, prodotto cartesiano. Insiemi numerici, proprietà algebriche di Q. Insiemi ordinati, insiemi densi. Appunti

25 settembre: densità di Q. Radice di 2 non appartiene a Q (con dimostrazione), ordinamenti decimali, definizione di numeri reali e loro proprietà algebriche, densità di R. Intervalli, valore assoluto e sua relazione con intervalli. Maggioranti, minoranti,massimo e minimo di un insieme. Unicità del massimo (con dimostrazione) e del minimo. Estremo superiore ed inferiore. Assioma di completezza ed esistenza di sup ed inf per insiemi reali. Appunti

27 settembre: caratterizzazione di estremo superiore, estremo inferiore, insiemi illimitati superiormente ed inferiormente. Funzioni. Dominio, codominio, immagine e grafico. Dominio naturale. Successioni. Identità e restrizioni. Funzioni crescenti, decrescenti, monotone. Appunti

30 settembre: funzioni crescenti: funzioni costanti a tratti, parte intera inferiore. Funzioni pari, dispari, periodiche, esempi: potenze, mantissa. Funzioni limitate, estremi di una funzione, massimi e minimi, punti di massimo e di minimo, caratterizzazione di sup, inf, funzioni illimitate. Esempi. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Composizione di funzioni, esempi. Appunti

2 ottobre: monotonia di funzioni composte (con dimostrazione). Esempi. Funzione inversa: definizione, dominio naturale, grafico. La composizione di una funzione invertibile con la sua inversa (e viceversa) è l'identità. Condizione sufficiente di invertibilità (con dimostrazione). L'invertibilità non implica la monotonia stretta: un controesempio. Funzione distanza, distanza euclidea. La distanza euclidea è una distanza (con dimostrazione, in particolare della diseguaglianza triangolare). Definizione di intorno sferico. Appunti

3 ottobre: Introduzione alle funzioni elementari con esempi. Esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche. Esempi di relazione (anche grafica) di funzioni di base con la loro inversa. Dalle funzioni elementari alle funzioni più complesse, tramite somma, sottrazione, combinazione lineare in generale, prodotto, quoziente, composizione di funzioni, con esempi. Valore assoluto, parte positiva e negativa di una funzione. Polinomi e funzioni razionali. Cenni alle operazioni su grafici. Esempi di studio del dominio naturale.

4 ottobre: Principio di induzione. Dimostrazione della disuguaglianza di Bernoulli. Introduzione alle sommatorie. Dimostrazione della generalizzazione della disuguaglianza triangolare. Proprietà di densità dell'insieme dei numeri razionali. Introduzione su base combinatoriale al fattoriale e ai coefficienti binomiali. Proprietà dei coefficienti binomiali e triangolo di Tartaglia. Insieme delle parti e sua cardinalità (con dimostrazione).

7 ottobre: proprietà degl intorni. Retta estesa, intorni in R*. Punti di accumulazione e punti isolati. Esempi. Il sup di un insieme, se non è anche un massimo, è un punto di accumulazione (con dimostrazione). Se un insieme ha un punto di accumulazione allora ha cardinalità infinita. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Punti interni, esterni, di frontiera. Parte interiore, frontiera e chiusura di un insieme. Insiemi aperti e chiusi. Esempi. Appunti

8 ottobre: Un insieme chiuso e limitato ammette max e min. Proprietà che valgono definitivamente. Esempi: funzioni definitivamente positive, limitate. Definizione di limite di funzione di variabile reale. Esempi. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione). Teorema della permanenza del segno (con dimostrazione). Punti di accumulazione destri e sinistri. Limiti destri e sinistri. Condizione necessaria e sufficiente di esistenza del limite. Esempi. Appunti

9 ottobre: Funzione potenza. Funzione esponenziale e logaritmica in base diversa da quella naturale. Operazioni sui grafici: riscalamento e inversione. Definizione di successioni attraverso la relazione di ricorrenza, con generalizzazione. Definizione di funzione iterata. Dimostrazione della densità dei numeri razionali con il principio di induzione. Algebra del limiti, con applicazione alla dimostrazione della continuità delle funzioni polinomiali e razionali.

10 ottobre: Teorema del confronto, con dimostrazione ed esempi. Teorema dell'esistenza del limite per funzioni monotone. Sua applicazione alle funzioni potenza, esponenziale e logaritmica, nonché alle funzioni trigonometriche di base. Algebra dei limiti finiti e teorema sull'esistenza del limite per funzioni composte.

11 ottobre: Limite per x tendente a infinito delle funzioni razionali. Teorema sull'esistenza del limite per funzioni composte e sua applicazione nel cambio di variabile nel limite. Limiti notevoli delle funzioni trigonometriche di base. Il numero di Nepero come limite notevole con applicazioni nel calcolo dei limiti. Definizione di discontinuità eliminabile e funzione prolungabile analiticamente per continuità. Relazione di equivalenza. Infinitesimi e infiniti. Gerarchia degli infiniti tra le funzioni elementari. Esempi.

14 ottobre: Successioni a valori reali convergenti, divergenti, irregolari. Proprietà dei limiti di successioni: teorema della permanenza del segno, limitatezza di successione convergente (con dimostrazione), regolarità di successioni monotone, teorema dei carabinieri. Esempi. Gerarchia degli infiniti per successioni. Esempi. Funzioni definite per ricorrenza: cenni su esistenza e calcolo dei limiti. Appunti

16 ottobre: Serie numeriche: definizione e successioni delle somme parziali. Serie convergente, divergente, irregolare. Esempi. Condizione necessaria di convergenza per serie numeriche (con dimostrazione) e un controesempio. Somma di una serie e sua linearità. Coda di una serie numerica, somma e carattere di una coda di serie. Serie geometrica e studio del suo carattere al variare della ragione. Esempi. Appunti

17 ottobre: Esempi di riepilogo sui teoremi sui limiti. Estensioni dell'algebra dei limiti sui limiti all'infinito, con esempi. Le forme indeterminate e i vari metodi per trattarle, con esempi. Dettagli sulla gerarchia degli infiniti e sui limiti notevoli, con esempi. Introduzione allo studio del grafico di una funzione, con esempio.

18 ottobre: Introduzione allo studio del grafico di una funzione, con esempio (seconda parte). Asintoti orizzontali, obliqui, verticali. Crescita sub- e sopra-lineare. Funzioni iperboliche. Il settore seno iperbolico. Relazione di equivalenza ed esempi di riepilogo sui limiti notevoli. Esercizi.

21 ottobre: Serie di Mengoli. Serie a termini positivi e sua regolarità (con dimostrazione). Serie armonica (e dimostrazione della sua divergenza). Criterio del confronto. Serie armonica generalizzata e relativo studio (con dimostrazione). Esempi. Criteri del confronto asintotico. Esempi. Appunti

22 ottobre: Ancora sul criterio del confronto asintotico: generalizzazione a confronto tra infinitesimi. Esempi. Criterio del rapporto e criterio della radice. Esempi. Appunti

23 ottobre: Criterio di condensazione e sua applicazione alla dimostrazione della convergenza della serie armonica generalizzata. Esempi. Serie a termini generali: convergenza semplice e assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice, il viceversa non è vero (dimostrato tramite un controesempio). Esempi. Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz per la loro convergenza. Mathematica nb Appunti

24 ottobre: Richiami al teorema sul limite di funzioni composte con contro-esempio. Teorema "ponte" e sua applicazione nelle dimostrazioni della non esistenza di un limite. Dimostrazione della non esistenza del limite di sen(x) per x tendente a infinito, e più in generale di funzioni periodiche non costanti. Definizione di insieme compatto persuccessioni. Un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Esempi. Esercizi.

25 ottobre: Cenni alla differenza tra definizione topologica e successionale di limite. Dimostrazione della non compattezza dell'insieme dei numeri razionali e di quello dei numeri interi. Esempi di riepilogo, sui limiti, sui comportamenti asintotici, sull'ordine di infinito ed infinitesimo prendendo in particolare come funzione campione x, sullo studio di funzione, in particolare con valore assoluto, sugli studi in dipendenza da un parametro. Studio di una serie parametrica (prima parte).

28 ottobre: Esempio di studio di serie numerica. Definizione di funzione continua, esempi. Caratterizzazione della continuità in un punto tramite definizione di limite e limiti destri e sinistri. Funzioni continue da destra e da sinistra. Esempi. Punti di discontinuità. Appunti

30 ottobre: Continuità del valore assoluto. Teorema dell'esistenza degli zeri e sua dimostrazione con metodo di bisezione. Stime di errore del metodo di bisezione. Funzioni Lipschitziane, esempi. Esistenza delle soluzioni di equazioni a termini continui (con dimostrazione). Appunti

31 ottobre: Teorema dei valori intermedi. Teorema di continuità della funzione inversa. Illustrazione del loro significato ed in particolare al legame tra il teorema dei valori intermedi e quello degli zeri attraverso esempi grafici. Studio di una serie parametrica (seconda parte). Studio dellacontinuità di una funzione, con valore assoluto.

11 novembre: Approssimazioni lineari, migliori approssimazioni lineari, definizione di derivata, interpretazioni geometrica e fisica. Derivabilità implica continuità (con dimostrazione). Esempi di funzioni continue non derivabili. Funzione derivata. Derivata della potenza n-ma. Appunti

12 novembre: Calcolo differenziale: derivate elementari, linearità dell'operatore di derivazione, regola del prodotto, del rapporto e della catena. Derivata di una funzione inversa. Chiusura della derivabilità rispetto alle principali operazioni funzionali. Derivata destra, sinistra. Punti di non derivabilità. Esercizi sullo studio della derivabilità di una funzione definita a tratti. Appunti

13 novembre: Relazione tra il segno della derivata e la monotonia della funzione in un intorno del punto, con dimostrazione. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Definizione di punto stazionario. Teorema del valor medio o di Lagrange, Teoremi di Rolle e di Cauchy, con dimostrazione. Relazione tra il segno della derivata e la monotonia della funzione in un intervallo. Esempi.

14 novembre: Teorema di De L'Hospital con esempi. Esercizio sul calcolo di un limite applicando il teorema. Concavità e convessità: relazione con il segno della derivata seconda. Definizione di punto di flesso. Studio del grafico di una funzione basato anche sullo studio delle sue derivate prime e seconde (prima parte).

15 novembre: Studio del grafico di una funzione basato anche sullo studio delle sue derivate prime e seconde (seconda parte). Esercizi in particolare con funzioni contenenti punti angolosi e punti di discontinuità a salto. Introduzione all'integrale di Riemann a partire dal calcolo approssimato di un'area.

18 novembre: Polinomio di Taylor: definizione, coefficienti. Polinomio di Taylor di funzioni elementari, esempi. Simboli di Landau: ordini di infinitesimi e simbolo "o piccolo". Resto di Peano. Appunti Mathematica nb

19 novembre: Applicazioni del polinomio di Taylor con resto di Peano al calcolo dei limiti. Algebra degli "o piccolo". Appunti

20 novembre: Calcolo dei limiti con il polinomio di Taylor: funzioni composte. Resto di Lagrange. Serie di Taylor, funzioni analitiche, analiticità delle funzioni elementari (caso esponenziale, seno e coseno con dimostrazione). Appunti

21 novembre: Definizione di integrale di Riemann, partendo dalla definizione di suddivisione nonché di somma superiore e inferiore, con esempi. Integrali per funzioni a valori sia positivi che negativi. La non integrabilità secondo Riemann della funzione di Dirichlet. Teorema sull'integrabilità secondo Riemann di una generica funzione limitata. Integrabilità secondo Riemann delle funzioni continue, monotone e con un numero finito di punti di discontinuità. Teorema della media e sua relazione con il teorema di Lagrange.

22 novembre: Definizione di funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale con esempio. Definizione di funzione primitiva e sua differenza rispetto alla funzione integrale. Due primitive di una stessa funzione differiscono al più per una costante arbitraria, con dimostrazione e conseguente formula per il calcolo di un integrale definito partendo dalla primitiva della funzione, con dimostrazione. Le primitive di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione, con esempi. La primitiva della funzione logaritmo. Basi dell'integrazione di funzioni razionali. Cenni agli integrali ricorsivi.

25 novembre: Modelli di crescita e preda-predatore: modello malthusiano, equazione logistica, equazioni di Lotka-Volterra. Equazioni differenziali ordinarie (ODE) e loro classificazione: ordine, linearità, omogeneità, forma normale. Soluzione di ODE. Soluzioni di equazioni lineari omogenee al primo ordine e relativo problema di Cauchy. Equazioni lineari al primo ordine non omogenee: caratterizzazione delle soluzione metodo della variazione della costante. Appunti Nota: la parte di modellistica non è presente sul libro di testo, verranno forniti riferimenti bibliografici alterativi nei prossimi giorni.

27 novembre: Metodi ad hoc per ODE lineari al primo ordine a coefficienti costanti. ODE a variabili separabili. Esempi. Appunti

28 novembre: Esempi di integrali definiti ed indefiniti. Area del cerchio. Alcune sostituzioni utili. Definizione di integrale improprio. Vari casi possibili in cui si conoscono le primitive. Criterio del confronto e del confronto asintotico. Assoluta integrabilità e conseguente integrabilità (in senso improprio). Cenni alla distribuzione Gaussiana. La funzione errore come esempio di integrale improprio convergente di cui non si conosce la primitiva.

29 novembre: Introduzione ai numeri complessi. Definizione di parte reale ed immaginaria. L'insieme dei numeri complessi come campo commutativo non ordinato. L'unità immaginaria. Rappresentazione algebrica dei numeri complessi. Definizione di modulo e di complesso coniugato. Rappresentazione esponenziale delle funzioni trigonometriche elementari. Rappresentazione trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Formula di De Moivre. Teorema sulle radici complesse con dimostrazione. Teorema fondamentale dell'algebra e sua applicazione al caso di un polinomio a coefficienti reali. Legame con le basi dell'integrazione delle funzioni razionali. Esempi.

2 dicembre: Esistenza e unicità di soluzioni per problemi di Cauchy a variabili separabili. Richiami sulle funzioni localmente Lipschitziane. Una funzione Lipschitziana è continua (con dimostrazione). Una funzione di classe C1 è localmente Lipschitziana (con dimostrazione). Esistenza globale di soluzioni di problemi di Cauchy a variabili separabili. Esempi. ODE al secondo ordine lineari a coefficienti costanti ed una loro interpretazione fisica. Soluzioni di ODE al secondo ordine lineari a coefficienti costanti omogenee. Appunti. Un esempio svolto di ODE lineare a variabili separabili al primo ordine.

4 dicembre. Esistenza e unicità di ODE lineari al secondo ordine: funzioni linearmente indipendenti, determinante wronskiano, soluzioni generale del caso omogeneo, soluzione generale del caso non omogeneo (con richiami generali sulla nozione di spazio vettoriale, combinazione lineare, lineare indipendenza e applicazione al caso di spazi funzionali). Esempi. Soluzioni di ODE lineari a coefficienti costanti al secondo ordine non omogenee: metodo della variazione delle costanti. Esempio. Appunti

5 dicembre: Introduzione alle funzioni in più variabili a valori scalari e vettoriali. Definizione di norma e distanza Euclidee nello spazio reale n-dimensionale. Elementi di topologia nello spazio reale n-dimensionale. L'infinito. Funzioni in due variabili a valori scalari. Determinazione del loro dominio, con esempi. Definizione di limite, e di continuità.

6 dicembre: Definizione di insieme compatto in 2 dimensioni. Estensione dei teoremi della permanenza del segno e del confronto a funzioni in 2 variabili a valori scalari, e dei teoremi di Weierstass e di Heine-Cantor a funzioni in 2 variabili a valori scalari su un compatto. Estensione dell'algebra dei limiti e del teorema sul limite di funzione composta. Una funzione di 2 variabili continua è continua in entrambe le variabili ma non è vero il viceversa. Teorema delle restrizioni e passaggio in coordinate polari per il calcolo del limite. Esempi.

9 dicembre: ODE lineari non omogenee al secondo ordine a coefficienti costanti: metodi ad hoc per la ricerca di una soluzione particolare. Calcolo differenziale per funzioni di due variabili: derivate parziali, derivate direzionali. Appunti

11 dicembre: La derivabilità non implica la continuità: un controesempio. Definizione di funzione differenziabile e di piano tangente. La differenziabilità implica la continuità (con dimostrazione), la derivabilità e l'esistenza di tutte le derivate direzionali. Esempi. Teorema del differenziale totale. Appunti

12 dicembre: Teorema di Lagrange per le restrizioni ad un segmento delle funzioni di due variabili reali. Derivate direzionali al secondo ordine, derivate parziali al secondo ordine, matrice Hessiana. Funzioni k volte derivabili, k volte differenziabili, di classe C^k e relative relazioni di inclusione. Teorema di Schwarz. Esempi. Appunti

16 dicembre: Introduzione agli insiemi convessi e alle funzioni convesse / concave. Proprietà di una funzione convessa (concava) su insieme convesso. Legame tra convessità / concavità e proprietà della matrice Hessiana. Matrici (semi)-definite positive o negative. Punti critici in 2 dimensioni, definizioni, punti di estremo e di flesso, relazione con il gradiente e con la matrice Hessiana. Esempi.

17 dicembre- prima parte: Polinomio di Taylor di secondo grado per funzioni di due variabili, resto di Peano. Esempi. Appunti

17 dicembre- seconda parte: Teoremi di Weierstass e di Fermat in 2 dimensioni. Ricerca dei minimi e massimi assoluti di una funzione su un compatto in particolare in base all'ortogonalità del gradiente alle curve di livello. Parametrizzazione della frontiera del compatto / funzione ristretta alla frontiera del compatto. Esempi.

18 dicembre Esempi di riepilogo su massimi e minimi (relativi, forti e deboli, assoluti) nonché flessi. Introduzione agli integrali bidimensionali. Definizione di suddivisione generalizzata e corrispondente approssimazione per eccesso e difetto. Definizione di integrale di Riemann in 2 dimensioni. Esempi. Criterio di integrabilità e proprietà dell'integrale. Esempi.

19 dicembre Esempi di integrali con domini rettangolari. Definizione di funzione caratteristica e di dominio misurabile secondo Peano-Jordan. Integrabilità di una funzione con un insieme di punti di discontinuità di misura nulla. Additività rispetto al dominio di integrazione. Definizioni di domini semplici rispetto all'asse x e y. Scomposizione di domini in domini semplici. Esempi di calcolo di aree di domini. Trasformazioni di coordinate e matrice Jacobiana. Il significato del valore assoluto del determinante dello Jacobiano. Coordinate polari. Calcolo dell'area del cerchio. Altri esempi.

20 dicembre Esercizi di riepilogo: numeri complessi; equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili e del secondo ordine lineare non omogenea; studio della differenziabilità in coordinate polari eventualmente decentralizzate; calcolo di integrale bidimensionale in coordinate iperboliche. Il fattore di normalizzazione della Gaussiana dal calcolo di un integrale improprio bidimensionale (non in programma).