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Día 1
[19 de octubre]
[19 de octubre]
8:30 - 9:00
Bienvenida
Bienvenida
9:00 - 10:00
Conferencia inaugural: Sumas de cuadrados
Conferencia inaugural: Sumas de cuadrados
Ricardo Baeza
Resumen: En esta charla estudiaremos cuando un producto de dos sumas de n cuadrados en un anillo conmutativo con 1 es también una suma de n cuadrados. También mencionaremos una invariante de un tal anillo llamada el nivel del anillo A, definido como el entero r mas pequeño tal que -1 es suma de r cuadrados.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Cursillo funciones super simétricas
Cursillo funciones super simétricas
Manuel Concha
Clase 1. Funciones simétricas básicas: Introducción a la teoría de las funciones simétricas. Funciones monomiales, potencias, homogéneas y de Schur. Reglas de Pieri. Tableaux de Young
Clase 1. Funciones simétricas básicas: Introducción a la teoría de las funciones simétricas. Funciones monomiales, potencias, homogéneas y de Schur. Reglas de Pieri. Tableaux de Young
Día 2
[20 de octubre]
[20 de octubre]
8:30 -10:00
Cursillo funciones super simétricas
Cursillo funciones super simétricas
Manuel Concha
Clase 2. Polinomios de Macdonald, álgebras de Hecke y operadores de Cherednik: Propiedades elementales de los polinomios de Macdonald. Acción del grupo simétrico sobre polinomios. Acción del álgebra de Hecke sobre polinomios. Operadores de Cherednik y polinomios de Macdonald no-simétricos.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Charla divulgativa
Charla divulgativa
Lucas Delage
El álgebra de Hopf de Connes y Kreimer y su aplicación a la Teoría Cuántica de Campos.
Resumen: El objetivo de la charla es introducir a los estudiantes a objetos abstractos tales como las álgebras de Hopf y de diagramas. Además, se propone ilustrar como como estos objetos abstractos pueden aplicarse concretamente en una teoría física.
Día 3
[21 de octubre]
[21 de octubre]
8:30 -10:00
Cursillo funciones super simétricas
Cursillo funciones super simétricas
Manuel Concha
Clase 3. Anillo de polinomios y representaciones del grupo simétrico: Anillo de polinomios como módulo del grupo simétrico. Fórmula de los garfios. Positividad de los polinomios de Hall-Littlewood. Interpretación combinatorial a través de la carga de un tableau.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Charla divulgativa
Charla divulgativa
Camilo González
Combinatoria de los polinomios simétricos y supersimétricos.
Resumen: Los polinomios simétricos han sido objetos de gran interés debido a sus conexiones con diversas áreas de la matemática. Hace algunos años se introdujo una clase especial de polinomios simétricos que involucran, además de las variables usuales, variables anticonmutantes, estos son llamados polinomios supersimétricos. Varias de las propiedades combinatorias de los polinomios simétricos han podido ser extendidas a los polinomios supersimétricos, aunque hay otras que aún son conjeturas. Durante esta charla veremos algunos ejemplos de estos resultados.
Día 4
[22 de octubre]
[22 de octubre]
8:30 -10:00
Cursillo funciones super simétricas
Cursillo funciones super simétricas
Manuel Concha
Clase 4. Funciones simétricas en el superespacio: Variables de Grassmann. Extensión al superespacio de ciertos conceptos introducidos en las Clases 1 y 2.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Charla divulgativa
Charla divulgativa
Katherine Ormeño
Introducción al Álgebra de Temperley Lieb
Resumen: En esta charla vamos a estudiar el Álgebra de Temperley-Lieb como un álgebra isomorfa a un álgebra de diagramas. Veremos algunas propiedades elementales y su relación con el álgebra de Hecke. En el álgebra de Hecke existen algunos objetos conocidos como elementos de Jucys-Murphy que tienen ciertas propiedades muy interesantes. Construiremos una representación para el álgebra de Temperley-Lieb que nos ayude a estudiar a los elementos de Jucys-Murphy vistos en esta álgebra.
Día 5
[23 de octubre]
[23 de octubre]
8:30 -10:00
Charla divulgativa
Charla divulgativa
Yamil Sagurie
Una interpretación combinatoria para los polinomios de Fibonacci.
Resumen: Los números de Fibonacci conforman una de las sucesiones numéricas más estudiadas a lo largo de la historia de las matemáticas. La simplicidad de su definición y la enorme cantidad de aplicaciones hacen de esta sucesión y sus generalizaciones un objeto interesante de investigación.
En esta instancia consideraremos una generalización de los números de Fibonacci: los polinomios de Fibonacci. Presentaremos una interpretación combinatoria de estos basada en ciertos grafos dirigidos. Esto nos permitirá abordar el estudio de los polinomios de Fibonacci mediante un punto de vista más geométrico, pudiendo así tener un nuevo abanico de herramientas para el análisis de sus propiedades.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Conferencia plenaria
Conferencia plenaria
Polinomios de Macdonald y positividad.
Luc Lapointe
Resumen: Presentaré un problema abierto relacionado con una propiedad de positividad de los polinomios de Macdonald que me fascina desde hace 25 años. Explicaré como la física supersimétrica da un acercamiento que tal vez permitirá resolver este problema abierto.
Día 6
[26 de octubre]
[26 de octubre]
8:30 - 10:00
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Leonardo Montoya
Clase 1. Simetrías de sólidos rígidos: Motivación de la definición de grupo desde el punto de vista de las simetrías de un objeto geométrico, el grupo diédrico y simetrías de sólidos rígidos en dos dimensiones.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Carlos Ajila
Clase 1. Representaciones de grupos finitos: Definiciones básicas y ejemplos, subrepresentaciones, módulos sobre el álgebra de grupo, representaciones irreducibles e indescomponibles, teorema de Maschke, lema de Schur.
Día 7
[27 de octubre]
[27 de octubre]
8:30 - 10:00
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Leonardo Montoya
Clase 2. Los sólidos platónicos y la característica de Euler: Definiciones de grafos, grafos planares, la característica de Euler, los sólidos Platónicos y su relación con la característica de Euler, prueba de que existen solo 5 sólidos platónicos.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Carlos Ajila
Clase 2. Teoría de caracteres: Caracteres complejos de grupos finitos, el grupo de Grothendieck, caracteres y representaciones virtuales, relaciones de ortogonalidad de caracteres, el teorema fundamental de la teoría de caracteres.
Día 8
[28 de octubre]
[28 de octubre]
8:30 - 10:00
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Leonardo Montoya
Clase 3. Grupos de automorfismos de sólidos: Las simetrías en 3 dimensiones, simetrías de sólidos rígidos en 3 dimensiones, cálculo de los automorfismos de los sólidos platónicos, dualidad de los sólidos platónicos y su relación con el grupo de automorfismos.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Carlos Ajila
Clase 3. Inducción y restricción de representaciones: Restricción de representaciones, inducción de representaciones y caracteres, reciprocidad de Frobenius, teorema de Wedderburn-Artin para el álgebra de grupo.
Día 9
[29 de octubre]
[29 de octubre]
8:30 - 10:00
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Cursillo: Grupos de simetría de objetos geométricos
Leonardo Montoya
Clase 4. Introducción a los automorfismos de Variedades Algebraicas: Variedad algebraica, morfismos regulares de variedades algebraicas, morfismos racionales y biracionales, los automorfismos biracionales de la recta afín, variedad tórica y ejemplos de variedades tóricas.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Cursillo: Representaciones y caracteres de grupos finitos
Carlos Ajila
Clase 4. Ejemplos y tablas de caracteres, teorema de Frobenius: Tablas de caracteres, grupos abelianos, grupos cíclicos, grupos dihedros, A4 y S4 , teorema del núcleo de Frobenius
Día 10
[30 de octubre]
[30 de octubre]
8:30 - 10:00
Conferencia plenaria
Conferencia plenaria
Caracterización de variedades tóricas por su grupo simetrías
Álvaro Liendo
Resumen: Una antigua pregunta que emana del programa de Erlangen de Klein puede ser fraseada en términos modernos de la siguiente forma: ¿Se puede caracterizar un objeto geométrico por su grupo de simetrías? La primera parte de esta charla consiste en una introducción al problema para una audiencia general con algunos ejemplos seleccionados de fuera del área de geometría algebraica.
En la segunda parte de la charla entramos al caso de la geometría algebraica donde demostramos que, en general, la respuesta a la pregunta anterior es negativa. Sin embargo, después de restringir fuertemente la clase de variedades estudiadas logramos una respuesta afirmativa. En efecto, demostramos que las superficies tóricas affines están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos regulares en la categoría de de las variedades normales. Esto requiere aplicar resultados recientes sobre el grupo de Cremona en dos variables.
Descanso 10:00 - 10:20
10:20 - 11:50
Conferencia plenaria
Conferencia plenaria
Caracteres complejos de los grupos simétricos vía el anillo de funciones simétricas
Stephen Griffeth
Resumen: En esta charla expositiva, describiré como relacionar los caracteres complejos del grupo simétrico Sn con las funciones simétricas. Vía esta correspondencia, el producto interno usual en el anillo de funciones simétricas corresponde al producto interno de caracteres, el producto de funciones simétricas corresponde al producto de inducción de caracteres, las funciones de sumas de potencias corresponden a las funciones delta sobre las clases de conjugación y las funciones de Schur corresponden a los caracteres irreducibles.
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