Cronograma y charlas

Múltiples problemas de ingeniería involucran decisiones binarias del tipo on/off, que inducen problemas de optimización con variables enteras o binarias, como los Mixed Integer Linear Programs (MILP). Estos problemas aparecen naturalmente en robótica, planificación de trayectorias y asignación de tareas, pero su resolución se vuelve computacionalmente costosa a medida que aumenta el tamaño del sistema.

En esta charla presentamos un enfoque para reformular una familia de MILP que aparecen en problemas de planificación de movimiento de múltiples agentes. En particular, mostramos cómo estos problemas pueden transformarse mediante una descomposición tipo Benders en una formulación bilineal que luego se expresa como un Quadratic Unconstrained Binary Optimization (QUBO). Esta formulación permite abordar el problema mediante algoritmos de optimización cuántica, como el Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) y el Quantum Annealing (QA).

Ilustraremos estas ideas con aplicaciones a planificación segura de trayectorias para múltiples robots. Finalmente, discutiremos cómo otros problemas combinatorios clásicos, como el Traveling Salesman Problem (TSP) —frecuentemente utilizado para modelar tareas de planificación y secuenciación en robótica— pueden tratarse dentro del mismo marco de optimización binaria y algoritmos cuánticos.

El objetivo de la charla es mostrar cómo problemas de optimización combinatoria que aparecen en ingeniería pueden reformularse de manera compatible con algoritmos cuánticos actuales.

Cuando se habla de categorías, suelen venir a la mente los ejemplos clásicos, como los espacios vectoriales con transformaciones lineales o los grupos con morfismos de grupos.  En esta charla veremos una categoría de naturaleza diferente: la categoría de cobordismo, donde la geometría y la topología juegan el papel principal. Este ejemplo servirá de motivación para introducir las categorías monoidales y los funtores monoidales, para luego definir las TQFT (Topological Quantum Field Theory). Para terminar, mostraremos cómo las TQFT de dimensión 2 están fuertemente relacionadas con las álgebras de Frobenius.

En el clásico film de ciencia ficción Terminator, se representa un mundo donde la inteligencia artificial somete a la humanidad. En esta charla introduciremos uno de los pilares de esta tecnología: las redes neuronales y cómo se utilizan para aproximar ecuaciones en derivadas parciales.

El conjunto de rotación de un homeomorfismo del toro es la generalización natural del número de rotación de un homeomorfismo del círculo. Éste dice, a grandes rasgos, las distintas formas en las que las órbitas pueden ir rotando alrededor del toro. Estudiar el conjunto de rotación sirve para extraer bastante información sobre la dinámica en la superficie; por ejemplo, permite determinar la clase del homeomorfismo según la clasificación de Nielsen-Thurston.

En ésta charla definiremos el conjunto de rotación, enunciaremos los teoremas centrales desarrollados en los años 90, repasaremos los avances más recientes y comentaremos algunas cuestiones que siguen abiertas.

Actualmente estoy estudiando las órbitas finitas que aparecen en la dinámica inducida por la acción de grupos convexos compactos de isometrías sobre variedades hiperbólicas compactas. Esto me llevó a la necesidad de entender los grupos aritméticos como una fuente natural de ejemplos con infinitas órbitas finitas.

En ese camino apareció inevitablemente el teorema de superrigidez de Margulis y Mostow. Lo estudié a partir de las notas de Benoist, y lo que me gustaría contar hoy no es tanto la demostración del resultado, sino una idea que aparece en esas notas: cómo reducir el teorema a otro problema equivalente que, al menos en principio, parece más sencillo de abordar.

El objetivo de la charla es presentar esta reformulación y mostrar cómo permite concentrar las dificultades esenciales del problema en un contexto más manejable, conservando toda la información necesaria para recuperar el resultado original.

Muchas estructuras que aparecen en álgebra y en teoría de categorías satisfacen sus propiedades a menos de isomorfismo en lugar de hacerlo estrictamente. Esto nos lleva a considerar morfismos débiles, llamados pseudomorfismos, que suelen ser más útiles que los morfismos estrictos pero más difíciles de manejar. Una pregunta natural que surge es si es posible describir los pseudomorfismos en términos de morfismos estrictos.

En esta charla veremos que, para una amplia clase de estructuras descritas mediante 2-mónadas, es posible traducir el estudio de los pseudomorfismos al de los morfismos estrictos mediante un objeto universal llamado clasificador de pseudomorfismos. En particular, veremos que este objeto puede construirse como un 2-colímite especial llamado objeto de codescenso.

La intuición matemática nos advierte que interpolar exactamente datos ruidosos suele causar un caos de oscilaciones. Sin embargo, el fenómeno de Double Descent desafía este paradigma, demostrando que la capacidad de generalización mejora drásticamente al cruzar el "umbral de interpolación" hacia un régimen fuertemente sobredeterminado (p >>n‬‭‬). En esta charla, exploraremos esta transición mediante una demostración intuitiva con regresión polinómica y repasaremos los resultados empíricos que justifican el éxito de las redes neuronales en este escenario.

Finalmente, analizaremos cómo la selección de soluciones de norma mínima funciona como un regularizador implícito en altas dimensiones. Concluiremos discutiendo si este comportamiento nos obliga a reescribir los libros de estadística tradicional (spoiler: no).

En esta charla voy a presentar el problema de construir embeddings de datos en espacios hiperbólicos (por ejemplo, el disco de Poincaré). Un embedding consiste en asignar a cada dato un punto de un espacio geométrico, buscando preservar las relaciones relevantes entre los datos. La motivación principal es entender qué tipos de estructuras de datos pueden representarse de mejor manera en geometría hiperbólica que en espacios euclídeos.

Una de las características distintivas de la geometría hiperbólica es el crecimiento exponencial del volumen de las bolas con el radio R, en contraste con el crecimiento polinomial en el caso euclídeo. Esta propiedad la convierte en un candidato natural para representar datos con estructura jerárquica o de tipo árbol, y sugiere la posibilidad de obtener representaciones de menor dimensión preservando mejor las relaciones entre los datos.

Voy a discutir algunos algoritmos para construir embeddings en el disco de Poincaré y analizar qué propiedades de los datos busca preservar cada uno de ellos, así como sus ventajas y limitaciones.

En esta charla voy a partir de esa pregunta para presentar el modelo SIR clásico de epidemiología, y luego contar un trabajo propio en el que incorporo el comportamiento humano (cómo la gente reacciona a la información sobre una epidemia) como parte del modelo, así como medidas de control apelando a la difusión de la información. Esto genera resultados no triviales, como cambios abruptos en el tamaño final de una epidemia según ciertos parámetros así como la existencia de tiempos óptimos para impulsar medidas de difusión. Voy a cerrar con un repaso de otros trabajos terminados y en curso, sobre epidemias en redes así como coexistencia de especies en metapoblaciones, para mostrar la variedad de problemas que se pueden abordar con estas herramientas relativamente simples.

Determinar qué enteros son representables como sumas de dos cuadrados es un problema clásico en teoría de números. Comenzaremos estudiando este problema y veremos que la caracterización de estos enteros se reduce a probar que: "si p es un primo de la forma 4k+1, entonces es representable como suma de dos cuadrados". A efectos de probar la afirmación introduciremos la función theta asociada al problema, veremos que es una forma modular y cómo esto nos permite concluir. 

Una vez resuelto el problema clásico cambiaremos de perspectiva. La misma construcción nos permite asociar una función theta a cualquier forma cuadrática definida positiva, cuya modularidad es un teorema de Hecke y Schoeneberg. Esta generalización ya sugiere que podríamos intentar estudiar estas funciones en un marco más amplio.

Para empezar, quiero contar un poco la historia de los métodos variacionales, para luego centrarme en particular en una cantidad llamada acción. Esta cantidad es relevante para la mecánica, ya que los puntos críticos del funcional de acción se corresponden con trayectorias del sistema. Por ejemplo, si tiramos una pelota del punto A al punto B, la trayectoria que seguirá es aquella que minimiza la acción (bajo ciertas hipótesis razonables).

En otras palabras, transformamos un problema de mecánica en uno de análisis/geometría. El objetivo de esta charla es dar un método para justificar la existencia de esos puntos críticos, y lo haremos a través de un resultado de tipo minimax.

Esta presentación es la defensa de mi tesis de doctorado.

Un breve marco: Esta tesis se compone de tres trabajos independientes. Sin embargo, todos ellos están relacionados con el estudio del crecimiento económico en los países. Dos de ellos se centran en el uso de la teoría de grafos para contribuir a la medición de la convergencia entre países (véase el capítulo 3) y a la medición de la complejidad de los servicios en la economía estadounidense (véase el capítulo 4). El tercer artículo contribuye a comprender las razones teóricas del crecimiento en economías como la de Uruguay, en particular la dependencia de los auges de las materias primas para la expansión económica y el efecto contrario durante los períodos de recesión (véase el capítulo 2) mediante el uso de ecuaciones diferenciales.

El objetivo de esta charla es introducir la teoría espectral del operador Laplaciano. En particular, se estudiará el problema de valores propios, respondiendo preguntas tales como: ¿Existen valores propios?, ¿Cómo pueden caracterizarse? y ¿Qué propiedades satisfacen las funciones propias asociadas? A continuación, se introducirá el p-Laplaciano y se mostrará cómo extender  el problema de valores propios a este contexto no lineal, mostrando qué resultados del caso clásico continúan siendo válidos y cuáles dejan de cumplirse.