Johan Cortés: Finitud y cofinitud en módulos y anillos.
Exploramos las propiedades de cerradura en sucesiones exactas cortas satisfechas por módulos finitamente n-presentados, y su relación con los anillos n-coherentes, e introducimos los conceptos duales, módulos finitamente n-copresentados (como generalizaciones de módulos finitamente cogenerados) y anillos n-coherentes. Exploramos las propiedades homológicas de esta clase de módulos y estudiamos las conexiones entre estas dos nociones duales.
Tabaré Roland: Álgebras de operadores y sistemas dinámicos.
Una buena forma de conseguir ejemplos de álgebras de operadores es a través de grupos que actúan por homeomorfismos en un espacio topológico. Dado un grupo G que actúa sobre un espacio topológico X, se puede construir un álgebra conocida como producto cruzado, que es un álgebra cuyas operaciones codifican la acción de G en X, y algo interesante de esta construcción es que distintas propiedades algebraicas se ven reflejadas como propiedades dinámicas de la acción, y viceversa. Esto último permite construir un "diccionario" entre propiedades algebraicas y dinámicas. La idea de esta charla es introducir el producto cruzado y describir varias propiedades que aparecen en este diccionario.
Melina Colombo: Superficies cúbicas del espacio proyectivo.
Una propiedad interesante de las superficies cúbicas lisas del espacio proyectivo es que contienen exactamente 27 rectas, además estas se encuentran en una configuración dada. En esta charla veremos la existencia de estas 27 rectas y su configuración.
Francisco Carballal: Lógica matemática: qué es y qué se investiga actualmente.
Es muy común (me incluyo) que antes de hacer un curso de lógica, se tenga una idea equivocada de lo que es exactamente y de cómo se vincula con el resto de la matemática. Mi primer objetivo es, por lo tanto, dar una idea conceptual de qué de la lógica como área de la matemática. Mi segundo objetivo es presentar algunos de los avances modernos en lógica y algunas de las áreas actuales de investigación. Voy a hablar sobre lo que hice en mi maestría y sobre otros temas de lógica en los que se trabaja aquí. Si da el tiempo, podría mencionar sobre lo que aspiro hacer para mi doctorado. Si bien pueden haber detalles técnicos dirigidos a los estudiantes que hayan cursado Fundamentos de la Matemática, voy a intentar que todos puedan entender las ideas.
Manuel Hernández: Té con leche y simetrías: ¿primero la leche y después el té?¿O al revés?
Parece que en el Reino Unido no se ponen de acuerdo en cuál sería la forma correcta de preparar su folclórica bebida. Según dice la historia, una señora aseguraba que era capaz de distinguir cuándo el orden había sido té-leche y cuándo leche-té.
Ronald Fisher, en 1935, hizo un experimento en el que la puso a prueba, verificando si lo que decía era cierto o si era una impostora, y como quien no quiere la cosa, dio un buen empujón a formalizar las pruebas de hipótesis y los diseños de experimentos.
En esta charla voy a contar un problema que estoy trabajando en el doctorado, que tiene que ver con todo esto.
Podríamos decir que en este caso tenemos una señora que asegura tener unos datos que “provienen” de una medida de probabilidad con cierta simetría (esto es una propiedad valiosa, por distintas razones). Entonces precisamos construir un mecanismo para distinguir si lo que dice la señora es cierto o si es una impostora, y sus datos no son simétricos.
Joaquin Lejtreger: Estructuras de banderas en 3-variedad.
En esta charla vamos a estudiar estructuras geométricas del tangente unitario de una superficie hiperbólica, que surgen al estudiar representaciones de Anosov de grupos de superficies en SL_3(\mathbb{R}). Vamos a definir las banderas de \mathbb{R}^3 y hablar un poco de la acción de SL_3(\mathbb{R}) en dicho espacio.
Joaquín Lema: Mi 3-variedad hiperbólica favorita.
El objetivo de la charla es presentarles a la mejor tres variedad hiperbólica: el complemento del nudo con forma de 8 (https://images.app.goo.gl/Mw5MmswmGEY8PX6H8). Esta 3 variedad hiperbólica es interesante porque:
- Fibra sobre el círculo.
- Su grupo fundamental se mete como un reticulado aritmético en PGL_2(C).
- Es la tres variedad hiperbólica no compacta de volumen más chico.
Voy a tratar de mover las manos y mostrar esas tres cosas. Si da el tiempo discutiremos resultados análogos y preguntas abiertas (muy difíciles) en dimensión superior.
Alejandro Bellati: La conjetura de Milnor sobre el grupo fundamental de variedades con curvatura de Ricci mayor o igual a cero.
En 1968, Milnor prueba que toda variedad con curvatura de Ricci mayor o igual a cero y grupo fundamental finitamente generado, el grupo fundamental crece polinomialmente. La conjetura de Milnor es que toda variedad con curvatura de Ricci mayor o igual a cero tiene grupo fundamental finitamente generado. La conjetura es trivialmente cierta en dimensión 2. En 2013, un resultado de Liu prueba que la conjetura es cierta en dimensión 3. En 2023, Brué, Naber y Semola construyen una variedad Riemanniana de dimensión 7 con curvatura de Ricci mayor o igual a cero, y con grupo fundamental igual a Q/Z, probando que la conjetura es falsa en dimensión mayor o igual a 7. Parte de su trabajo consiste en entender como el Mapping Class Group de S^3 x S^3 actúa en la métrica standard de S^3 \times S^3. Contaré la prueba del teorema de Milnor, algunos resultados y, al menos, la construcción topológica del contraejemplo de dimensión 7.
Matías Valdés: Configuraciones críticas del problema de Fekete.
El problema de Fekete consiste en colocar n puntos en la esfera unidad S^2, de forma que se maximice el producto de la distancia entre pares de puntos. Esto se puede interpretar como buscar una configuración donde los puntos estén bien separados. Las soluciones de este problema son conocidas solamente para el caso de n=3, 4, 5, 6 y 12 puntos. Más aún, incluso para estos casos, no hay estudios sobre cómo son las configuraciones críticas del problema. En esta charla voy a contar cómo utilizar algunas técnicas de geometría algebraica para caracterizar el conjunto de puntos críticos del problema.
Luciana Sastre: Teoría de Juegos y EDP: Tug-of-War con ruido.
En mi trabajo monográfico vi que, a través del juego Tug-of-War con ruido, podemos encontrar una solución (del tipo viscosa) al problema de Dirichlet para el p-Laplaciano. El objetivo de la charla es introducir los conceptos mencionados. En particular, nos vamos a enfocar en entender el juego y sus componentes.
Marcos Barrios: ¿El grupo de transformaciones de intercambio de intervalos contiene a F_2?
Las transformaciones de intercambio de intervalos (IET) son las biyecciones del intervalo [0,1) que consisten en dar una partición finita de [0,1) en subintervalos de la forma [a,b) y reordenarlos (otra manera de interpretarlo es como traslaciones a trozos). F_2 es el grupo libre no abeliano a dos generadores (grupo con un generador con dos elementos, sin relaciones más allá de las triviales). La pregunta del título es conocida como Pregunta de Katok. En esta charla mostraré que "genéricamente" el grupo generado por un par de elementos f, g de IET no es isomorfo F_2. Además, mostraré como construir relaciones que sean persistentes a pequeños cambios de los largos de los intervalos de f y g.
Camilo Gallardo: Representaciones de Galois de Curvas Elípticas - El programa de Mazur
En los años setenta Mazur determinó completamente los grupos de torsión racional de curvas elípticas en lo que se conoce como el Teorema de Mazur. Su trabajo usaba fuertemente una correspondencia entre la estructura de la torsión y las representaciones de Galois, así como las llamadas curvas modulares. En esta charla exploramos estas ideas de manera amigable (espero) así como posibles generalizaciones para responder a una pregunta más amplia: dado un subgrupo H de GL_2(Z/NZ), ¿Qué curvas elípticas admiten una representación de Galois con imagen (contenida en) H?
Camilo Rueda: Una Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Dispersivas
Desde mediados del siglo XIX, matemáticos y físicos han mostrado un creciente interés en estudiar las soluciones más simples para modelos dispersivos, conocidas como ondas viajeras. Estas soluciones emergen del equilibrio entre efectos dispersivos y no lineales en un sistema. Las ondas viajan con velocidad constante y mantienen su forma y tamaño inalterados cuando el marco de referencia se mueve con la misma velocidad. La charla tiene como objetivo ofrecer una breve introducción a las ecuaciones diferenciales dispersivas, clarificando su definición, mostrando algunas de sus posibles aplicaciones y enseñando una estrategia usual para encontrar soluciones exactas.