Título cursillo: Interconexiones entre la Teoría de Nudos y la Teoría Cuántica de Campos. 

Resumen: Este cursillo tiene como objetivo resumir algunas profundas conexiones entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos, dos áreas aparentemente dispares que han demostrado ser sorprendentemente interrelacionadas. Revisaremos cómo la teoría de Chern-Simons en tres dimensiones es capaz de reconstruir invariantes topológicos de curvas en el espacio y algunos resultados más recientes.

Título cursillo: The explicit formula a short course in analytic number theory.

Resumen: As a function of a complex variable, what is special about the Riemann zeta function? Riemann combined Euler's product and his own functional equation into a peculiar equality called the Explicit Formula. On one side there is a distribution evaluated on functions of prime numbers, on the other there is a distribution evaluated on the zeroes of the Riemann zeta function. My aim is to explain this formula, give a good idea of its proof so that it loses its mysterious initial appearance, and explain some applications when we have some knowledge of the zeroes. No knowledge of number theory will be assumed.

Título cursillo: Fourier Series and Applications.

Resumen: The main goal of this course is to introduce the basic theory of Fourier Series in the one dimensional case. We will discuss the convergence of these series.

We will briefly talk about the Fourier transform on the line and then make the connection with the Fourier Series via the Poisson Summation Formula. As applications we will present Jacobi’s Identity for the Theta Function and Weyl’s Theorem on Equidistribution of Arithmetic Sequences.

Referencias

1. A.J. Corcho and M.P. de A. Cavalcante, Introdução à Análise Harmônica e Aplicações. 27° Colóquio Brasileiro de Matemática, Publicações

Matemáticas, IMPA, Rio de Janeiro, 2009.

2. E. Carneiro, Notes on Fourier Series.

3. F. Linares, Equações Dispersivas No Lineales. Caso Periódico. XX Escuela Venezolana de Matemáticas, Ediciones IVIC, Caracas, 2007.

4. E.M. Stein and R. Shakarchi, Fourier analysis: An Introduction; Princeton University Press, Princeton Lectures in Analysis I, NJ, 2003, xvi+311 pp.

5.  G. Vedana, Notes on Poisson Summation Formula.

Título cursillo: Introducción a las funciones L de Artin.

Resumen: Las funciones L, son funciones meromorfas y están asociadas a algún objeto tal como caracteres de grupo, variedades algebraicas o cuerpos de números. Sus propiedades analíticas entregan información sobre estos objetos. En particular, las funciones L de Artin, están asociadas a representaciones del grupo de Galois de extensiones finitas de cuerpos de números L / K. Casos particulares de funciones L de Artin son la función zeta de Riemann, función zeta de Dedekind y función L de Dirichlet. En este minicurso, estudiaremos algunos conceptos previos para poder definirlas, junto a las propiedades analíticas que éstas poseen. Finalmente, revisaremos algunas conjeturas abiertas sobre sus polos.

Título: Secuencia de paridad en la aplicación de Collatz

Resumen: En esta charla exploraremos lo que definimos como "Secuencia de paridad" de la k-ésima iteración de Collatz. Veremos como dicha secuencia se relaciona con la fórmula general de Collatz para la obtención de la iteración (k+1) y las simetrías que está produce en bloques de los primeros 2^k números, en cada k-ésima iteración. Por último, veremos una interesante conexión con lo que denominamos "fórmula de la energía de Collatz"

Título: Ecuaciones Diferenciales (con retardo y con adelanto) en la Teoría de Números.

Resumen: En el intento de encontrar una prueba más intuitiva del Teorema de los Números Primos, el físico británico Lord Cherwell derivó, a través de argumentos heurísticos, la ecuación:

f'(x)=-(f(x) f(\sqrt{x}))/(2 x)

donde f(x) representa la "densidad de primos en x". A través de un simple cambio de variables, la ecuación de Lord Cherwell puede ser reescrita como la siguiente ecuación diferencial con retardo:

h'(u)=-(\ln (2))(h(u)+1) h(u-1)

la cual corresponde a la primera aparición de este tipo de ecuaciones en la teoría de números.

En esta charla mostramos otras familias de ecuaciones diferenciales, tanto con retardo como con adelanto, vinculadas a diversos problemas de la teoría de números. En relación con estas ecuaciones, exploraremos algunos resultados conocidos y destacaremos la importancia del estudio del comportamiento asintótico de sus soluciones. Con esto en mente, proporcionaremos cotas globales para las soluciones a través de la teoría de funciones de variación regular.

Título: Distribuciones y coeficientes de Taylor de funciones zeta

Resumen: En esta charla mostraremos una aplicación a la teoría de números de las distribuciones, objetos introducidos originalmente para la resolución de ecuaciones diferenciales. Más precisamente, discutiremos cómo estas inducen una descripción de los coeficientes de Taylor de las funciones zeta de Barnes (en s = 0) en términos de la cohomología del grupo modular. Si el tiempo lo permite, veremos también una aplicación de dicha descripción a la aritmética de cuerpos cuadráticos reales. 

Título: Propiedades de decaimiento para la ecuación de Schrödinger supercrítica

Resumen: En esta charla, nuestro enfoque se centrará en las propiedades de decaimiento para la ecuación de Schrödinger semilineal supercrítical en una dimensión con diferentes no linealidades. 

El principal desafío al tratar con propiedades de decaimiento es comprender las soluciones que no decaen, con el fin de evitarlas en los resultados de decaimiento. Estos modelos no solo presentan ondas solitarias, breathers y multi-solitones, sino que el hecho de que estamos considerando casos de dispersión supercríticos podría sugerir dinámicas más complejas. Cuando ocurren colisiones en sistemas dispersivos, que no son ni disipativos ni completamente integrables, podría haber un intercambio de energía y momentum, las ondas solitarias colisionantes pueden sufrir pérdida de radiación y podrían formarse estados ligados inestables y de corta duración. Esto podría ser el caso de la ecuación de Schrödinger de dispersión supercrítica (o subcrítica).

Título: The Cauchy Problem for Nonlinear Dispersive Models of Long Internal Waves in the Presence of the Coriolis Force.

Resumen: We are conducting a detailed examination of two models concerning long internal waves, with particular attention to the influence of the Earth's rotation. Mathematically, the rotational effects are incorporated into the Benjamin-Ono and Intermediate Long Wave equations as an additional nonlocal term, representing the Coriolis force. This force introduces a deviation in the fluid's trajectory, a phenomenon that becomes especially significant in studies of atmospheric and oceanic processes, where the Earth's rotational effects play a critical role. The objective of this investigation is to establish the global well-posedness of these models within the energy space and to prove the unconditional uniqueness of the solution in appropriate Sobolev-type spaces. By employing the method of space-frequency-localized energy estimates, we aim to recover the "Energy spaces" in which we can demonstrate key results, such as the propagation of regularity, asymptotic stability, decay, and other properties where energy-based methods are essential.

Título: Poisson Summation, Spectroscopy, and the Riemann Hypothesis: A Journey Down the Rabbit Hole

Resumen: Embark on a journey down the rabbit hole, where Poisson summation, physical diffraction patterns, and the Riemann Hypothesis intertwine in a mathematical tapestry. In this talk we shall explore the connections between these domains, revealing how modern mathematical machinery and insights from physics can shed new light on the elusive Riemann Hypothesis.

Título: Reflexiones y geometría

Resumen: Grupos finitos lineales generados por reflexiones aparecieron en la antigüedad como grupos de simetría de los sólidos platónicos, y reaparecieron en los últimos siglos en la clasificación de grupos de Lie compactos. En la geometría algebraica, los grupos generados por reflexiones se caracterizan por tener variedad cociente suave. Resumimos esta historia y daremos una vista hacia la investigación actual, donde grupos de reflexiones cuaterniónicos juegan el papel clave

Título: Dinámica de mapeos tipo Collatz.

Resumen: En esta charla presentaremos la conjetura de Collatz, a partir de la cual definiremos una familia de mapeos sobre los números naturales y estudiaremos la dinámica que estos generan.  Daremos una noción de derivada discreta para estos mapeos e introduciremos una noción de ‘energía’ asociada a esta dinámica. Finalmente, mostraremos cómo dichas nociones nos permiten estimar el crecimiento de las órbitas para distintos valores iniciales.

Título: The PDZ Models.

Resumen:  In this talk, we will first introduce holomorphic flows, principally the case of the Riemann Zeta function. We will study the concepts of equilibria, poles, and separatrices.

Then, we will discuss our work with the heat equation and KdV, focusing on cases where the nonlinearities are given by the Zeta function and/or the L-Dirichlet. We will also analyze the obtained results regarding existence, blow-up, and asymptotic behavior.

Título: An Introduction to Gravitational Solitons: Belinski-Zakharov Spacetimes.

Resumen: In this talk we introduce the particular class of spacetimes that admit two space-like Killing vector fields, these spacetimes correspond to the also called gravisolitons or gravitational solitons. More specifically, we will focus on the Einstein vacuum model Rµν(g̃) = 0, where g̃ is the metric tensor and Rµν is the Ricci tensor, in the setting of the Belinski-Zakharov formalism. This ansatz is compatible with the well-known Gowdy symmetry. The aim is to describe rigorously the conditions for the global existence of small solutions, and their decay in the light cone, as well as the stability of a first set of solitonic solutions (gravisolitons), for the so-called reduced Einstein equation, seen as an identification of the Principal Chiral Field (PCF) model.