La Teoría Cuántica de Campos es el marco matemático que describe la física de partículas e interacciones fundamentales. En esta charla abordaremos la aparición de sumas de Euler, zeta de Riemann y varias generalizaciones en las observables físicas que se suelen calcular en este contexto, a través de teoría de perturbaciones.

Suponiendo conocimiento solamente de un mínimo de variable compleja, haré una introducción (con algunas demostraciones completas) a las propiedades básicas de ζ(s). Pienso incluir su producto de Euler, continuación analítica y ecuación funcional. También veremos la definición y continuación analítica de las funciones L de Dirichelt y zeta de Hurwitz.

Mi principal meta es preparar el terreno para las charlas de Vicente Salinas en lo que toca a la teoría de números.

Las funciones zeta múltiples y polilogaritmos que aparecen ubicuamente en Teoría Cuántica de Campos obedecen álgebras, que ayudan a identificar identidades entre ellos. Además, se pueden clasificar según su ¨grado de transcendentalidad¨. Exploraremos una Teoría de Campo muy especial, Yang-Mills máximamente supersimétrica, que exhibe una propiedad matemática misteriosa y fascinante: observables con series perturbativas de transcendentalidad uniforme. 

En esta charla de dos partes, comenzaré por recordar qué es la constante de De-Bruijin y su asociación con la ecuación de calor compleja mal puesta. A posteriori, describiremos el resultado reciente de Rodgers y Tao donde usan técnicas de EDP para mostrar que la constante debe ser esencialmente 0 para que la conjetura de Riemann sea válida. Si el tiempo lo permite, hablaremos de generalizaciones de este resultado a funciones zeta más complejas.

Estas charlas comenzarán con la exposición de resultados previos para flujos de calor con funciones complejas como términos de fuente, tomando como referencia los trabajos de Jong-Shenq Guo. A partir de esto, se presentará el 'Flujo de Calor Zeta de Riemann', el cual inspiró el trabajo a presentar. Luego, se estudiará su generalización (fuente L-Dirichlet) seguida de los resultados obtenidos, destacando especialmente la existencia de una única solución para un intervalo de tiempo finito.

Por último, se abordarán posibles extensiones y nuevos resultados.

 El propósito de esta presentación es mostrar algunas ideas sobre la naturaleza de la función zeta de Riemann a través de un estudio de su flujo holomorfo. Para esto introduciremos el concepto de flujo para funciones meromorfas.

En esta charla presentaremos una introducción a la conocida "conjetura de Collatz", este es un problema que ha interesado a grandes matemáticos desde su "aparición" durante la primera mitad del siglo pasado hasta la fecha, siendo famoso por la simplesa de su planteo y la, hasta ahora, imposibilidad de demostración. 

En esta charla mostraremos algunos resultados (recientes y no tan recientes) sobre la conjetura de Collatz. Por ejemplo, hablaremos de un paper reciente de T. Tao en el cual muestra que casi todo número satisface la conjetura de Collatz. Además describiremos una aproximación desde una perspectiva de Álgebra Lineal que implicaría la falsedad de la conjetura.

En esta charla hablaremos sobre los primeros avances sobre el estudio del "flujo de Collatz", hablaremos sobre lo que definimos cómo el "operador de Collatz" y el buen planteo de la PDE que describe este flujo, además describiremos algunos ejemplos que nos conducen a la necesidad de utilizar series para el estudio de ciclos en la iteración de dicho operador.

En esta presentación mostraremos la construcción de soluciones para el flujo del operador de Collatz. En esta novedosa representación mostraremos como  las soluciones se relacionan con las en las raíces ciclotómicas de la unidad y  las orbitas del árbol de  Collatz. 

El teorema de Ikehara establece que si la transformada de Laplace de una función satisface ciertas condiciones, entonces uno puede conocer el comportamiento asintótico de la función. Mostraremos cómo usar este teorema para dar una demostración del teorema de los números primos. En la parte final de la charla discutiremos acerca de su posible uso en un problema asociado a la Conjetura de Collatz.