Ementas e Referências

Resumo:  

Geometria diferencial é a linguagem matemática subjacente a algumas das estruturas mais fundamentais da física teórica, desde o formalismo simplético da mecânica analítica até Problemas do Milênio, como o gap de massa em teorias de Yang-Mills, e.g. a Cromodinâmica Quântica. O objetivo deste minicurso é desenvolver tal linguagem de forma autocontida e orientada a aplicações em física teórica. Começaremos do básico, desde a definição de variedades e vetores tangentes, e iremos até o teorema de Stokes generalizado em termos de formas diferenciais. Então, utilizaremos esse ferramental para construir a ideia de conexão e curvatura usando a Eletrodinâmica como exemplo básico e derivando a versão em formas diferenciais das equações de Maxwell. Por fim, faremos o paralelo esquemático com a conexão na Relatividade Geral e a construção da ação de Einstein-Hilbert.

Pré-requisitos:

Cálculo em R^n, álgebra linear, relatividade especial, formulação Lagrangiana do electromagnetismo clássico.

Referência principal:

• J. Baez, J. Muniain, Gauge Fields, Knots and Gravity, World Scientific, 1994.

Complemento avançado de Teorias de Calibre:

• M.J.D. Hamilton, Mathematical Gauge Theory: With Applications to the Standard Model of Particle Physics, Springer, 2017.

Extra - Relatividade Geral:

• S.M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Cambridge University Press, 2019

Complementos de Geometria Diferencial para Físicos:

• (Básico) P. Szekeres, A Course in Modern Mathematical Physics, Cambridge University Press, 2004.

• (Intermediário) C.J. Isham, Modern Differential Geometry for Physicists, 2ª ed., World Scientific, 1999.

• (Avançado) M. Nakahara, Geometry, Topology and Physics, 2ª ed., Institute of Physics Publishing, 2003.

Resumo:  

Neste minicurso discutiremos uma abordagem via sistemas dinâmicos de uma série de problemas. Em particular, discutiremos fluxos na dinâmica unidimensional, pontos fixos e estabilidade, teoria de bifurcações, fluxos bidimensionais lineares, diagrama de fase e ciclos limite. Ao final do minicurso falaremos sobre as equações de Lorenz, mapas unidimensionais e expoentes de Lyapunov. Se o tempo permitir, iremos discutir brevemente ideias sobre fractais e atratores estranhos.

Pré-requisitos: 

Cálculos 1 e 2 (derivada e integral 1D, derivadas parciais e expansão em série de Taylor) e álgebra linear 2 (diagonalização de matrizes, autovalores e autovetores)

Referências: 

• Nonlinear dynamics and chaos, S. H. Strogatz 2ed.

•  Chaos in dynamical systems, E. Ott

Resumo:  

A existência de uma energia de ponto zero associada ao campo eletromagnético é um resultado interessante da eletrodinâmica quântica. Os efeitos físicos relacionados podem ser encontrados em diversas áreas, como astrofísica, física atômica e biologia. Neste minicurso, estudaremos o vácuo como um estado quântico do campo eletromagnético e sua interação com a matéria. Em particular, discutiremos em detalhe a emissão espontânea de radiação por átomos no vácuo e o efeito Casimir, que consiste na força de interação entre objetos neutros no vácuo

Pré-requisitos:

Cursos de mecânica quântica e eletromagnetismo a nível de graduação.

Referências:

• Cohen-Tannoudji, Claude, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Photons and atoms: introduction to quantum electrodynamics. John Wiley & Sons, 1997.

• Milonni, Peter W. An introduction to quantum optics and quantum fluctuations. Oxford University Press, 2019.

• Casimir, Hendrick BG. "On the attraction between two perfectly conducting plates." Proc. Kon. Ned. Akad. Wet.. Vol. 51. 1948.

• Intravaia, Francesco, Carsten Henkel, and Mauro Antezza. "Fluctuation-induced forces between atoms and surfaces: The Casimir–Polder interaction." Casimir Physics. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2011. 345-391.

• Kubo, Rep. "The fluctuation-dissipation theorem." Reports on progress in physics 29.1 (1966): 255-284.

Resumo:  

O formalismo das integrais de caminho é amplamente conhecido por considerar todas as trajetórias possíveis que um sistema dinâmico pode percorrer. Desde processos estocásticos até sistemas quânticos, essa ferramenta é capaz de capturar as flutuações inerentes a esses sistemas. Neste minicurso, exploraremos as integrais de caminho sob a ótica estocástica, investigando seus pontos em comum com a mecânica quântica. Discutiremos sua formulação matemática a partir de processos estocásticos, apresentaremos métodos para resolver diferentes casos e veremos aplicações práticas em termodinâmica estocástica e sistemas quânticos abertos.

Pré-requisitos:

Mecânica clássica 1 e 2.

Bibliografia:

• Path Integrals for Stochastic Processes: An Introduction - Horacio S. Wio

• Path integrals in physics: Volume I stochastic processes and quantum mechanics. - CHAICHIAN, Masud; DEMICHEV, Andrei.

• SUASSUNA, Bruno; MELO, Bruno; GUERREIRO, Thiago. Path integrals and nonlinear optical tweezers. Physical Review A, v. 103, n. 1, p. 013110, 2021.