Resumo:

Nesse minicurso, vou tentar descrever um fenômeno que se repete muitas vezes pelo mundo da combinatória infinita. Chamamos de ‘o fenômeno da compacidade’, onde, em algum sentido, uma estrutura infinita pode ser construída colando coerentemente estruturas finitas. Existem muitas formulações equivalentes, e em diferentes níveis de força. Vou dar aqui as minhas favoritas, com tentativas de construir intuição sobre como elas funcionam, e me esforçando para minimizar pré-requisitos. Noções gerais de topologia, lógica e conjuntos provavelmente vão ser o suficiente para acompanhar. As notas do curso expandem e detalham a maior parte da discussão, junto com bastante referência para quem quiser se aprofundar. Um roteiro para quem conhece os nomes: começamos com Lema de König, aplicamos provando o teorema de Bruijn-Erdös localmente finito, definimos lógica de primeira ordem e sua semântica, provamos o Teorema da Compacidade via ultraprodutos e teorema de Łoś, aplicamos para construir modelos não-standard para aritmética e análise, e também provamos de Bruijn-Erdös geral, depois disso seguimos para versões topológicas destes resultados, através de limites de sistemas inversos topológicos e teorema de Tychonoff.