A.A. 2023 / 2024

Nicola Ottolini - Università di Roma "Tor Vergata" - 26/03

Some problems of unlikely intersections

Abstract: Starting from Mordell, many conjectures have been put forward (and proved) about how geometry influences the behaviour of diophantine problems. It turns out that many of them can be put in a common framework about varieties that for dimensional reasons we do not expect to intersect. Whenever they do we say that this intersection is "unlikely". After some examples of problem of this type we will look at a common proof strategy due to Pila and Zannier.

Luca Casarin - Università di Roma "La Sapienza" - 12/03

From derived categories to infinity categories

Abstract: The goal of the talk will be to justify the use of infinity categories in modern mathematics and to see some pros and cons when working with such objects. The theory has been around for some time and it was fully developed in Jacob Lurie's works "Higher Topos Theory" and "Higher Algebra". It is notably technical and therefore we will only provide an intuitive exposition. 

We will start with the more familiar theory of derived/triangulated categories and see some of the undesired behaviours that it inherently has. We will provide the definition of infinity category, stable infinity category and see how these kind of objects resolve some of the issues of derived categories. Time permitting we will discuss the following problem: given a differential graded commutative/associative algebra A (i.e. an algebra object in the category of chain complexes) and a quasi-isomorphic complex B is it possible to give to B some structure of a commutative/associative algebra? This will lead to the notion of a monoidal infinity category and algebra objects in it.

Ismaele Vanni - Università di Roma "La Sapienza" - 27/02/24

Un introduzione ai vettori di Witt

Abstract: Introdotti da Witt per generalizzare la teoria di Artin-Schreier, gli anelli di vettori di Witt p-tipici giocano ora un ruolo fondamentale in geometria aritmetica e in teoria dei numeri. Nella prima parte del seminario si presenterà la definizione classica, assai poco intuitiva, motivandola attraverso la sua applicazione alla costruzione di anelli a valutazione discreta completi assolutamente non ramificati; tempo permettendo si accennerà al ruolo dei vettori di Witt nella classificazione di schemi in gruppi unipotenti commutativi (teoria di Dieudonné) e/o allo studio di estensioni cicliche di campi di caratteristica positiva. Lo scopo della seconda parte sarà la descrizione della proprietà universale dei vettori di Witt, formulata da Joyal; questa richiederà l'introduzione della categoria dei delta-anelli, che, in un certo senso, migliora quella degli anelli con sollevamento del Frobenius. 

Tiziano Gaibisso - Imperial College London - 12/12/23

An introduction to Nakajima Quiver varieties

Abstract: Nakajima quiver varieties, originally defined in ’94, form an interesting class of alge- braic varieties with many applications in algebraic geometry. For instance, they provide natural resolutions of symplectic singularities. In this talk, I will briefly introduce (mainly through drawing nice pictures or diagrams) quiver representations, Geometric Invariant Theory (GIT), and Hamiltonian reductions in GIT. I will try to highlight how these techniques allow us to produce, in a natural way, Poisson algebraic varieties and, in some cases, resolutions of symplectic singularities. This will enable us to give an algebro-geometric description of Nakajima quiver varieties and to provide interesting examples.

Giulia Iezzi - RWTH Aachen University - 21/11/23

An introduction to Quiver Grassmannians

Abstract: We will introduce quiver representations and quiver Grassmannians, focusing on the fact that "quiver Grassmannians can be anything" - that is, every projective variety is a quiver Grassmannian, a ten-year-old result by Reineke. The goal of this seminar is to discuss a few existing applications and examples of the study of quiver Grassmannians, highlighting how these projective varieties are related to the underlying representation theory.

Elena Pascucci - Università di Roma "La Sapienza" - 07/11/23

A journey through algebras with trace

Abstract: Given an associative algebra A with a trace function, a trace identity for A is a trace polynomial (i.e. a polynomial in non-commutative variables and in a formal trace) which vanishes under all the evaluations in A. A significant result obtained in this area is due to Procesi and Razmyslov who showed independently that the trace identities of a full matrix algebra are consequences of the Cayley–Hamilton polynomial. During the talk, we shall see how to investigate the T-ideals of trace identities through some growth functions that can be attached to them, as well as look at several examples.

Luca Francone - Institute Camille Jordan, Lyon - 24/10/23

Algebre di cluster in teoria di Lie

Abstract: Lo scopo di questo seminario è di spiegare, in una maniera accessibile, alcuni dei profondi legami fra le algebre di cluster e la teoria di Lie. Aiutandoci con una fornita schiera di esempi osserveremo alcuni fenomeni tipici delle algebre di cluster, che evidenzieranno pregi e criticità di questa teoria, con lo scopo di capire l'apporto che quest'oggetto matematico ha dato alla teoria di Lie. 

A.A. 2022 / 2023

Marco Trevisiol - Università di Roma "La Sapienza - 18/04/23

Sul cono nilpotente 

Abstract: Scopo di questo seminario è presentare, dal punto di vista della teoria classica degli invarianti, alcuni degli aspetti e fenomeni principali caratterizzanti la sottovarietà degli elementi nilpotenti di un'algebra di Lie riduttiva. Per primo si daranno varie caratterizzazioni equivalenti (e alcune proprietà geometriche) del cono nilpotente. Successivamente si mostrerà la finitezza delle classi coniugate nilpotenti in svariati modi. Infine si discuterà brevemente della relazione di ordine parziale fra classi nilpotenti data dalle inclusioni fra chiusure. 

Margherita Paolini - 02/05/23

Forme intere di algebre di Lie e loro generalizzazioni 

Abstract: Sia g un'algebra di Lie e sia U(g) la sua algebra inviluppante universale. La Z-sottoalgebra generata dalle potenze divise dei generatori Chevalley di g è stata introdotta e studiata da Kostant. L'analoga struttura è stata successivamente introdotta da diversi autori in alcune generalizzazioni di U(g): il caso in cui g è di tipo affine e  il quantum group Uq(g). Lo scopo di questo seminario è spiegare le motivazioni che hanno portato all'introduzione di questa struttura ed i problemi ad essa connessa. 

Luca Casarin - Università di Roma "La Sapienza" - 16/05/23

Una prima introduzione alle algebre di vertice

Abstract: Le algebre di vertice furono introdotte da Borcherds nel 1986 e da allora si sono rivelate uno strumento fondamentale per lo studio di certe classi di algebre di Lie infinito dimensionali. Scopo del seminario è quello di introdurre il concetto di algebra di vertice a partire dallo studio delle rappresentazioni continue di alcune algebre di Kac-Moody. Si cercherà di gettare luce sulle lunghe formule che compaiono nei libri di testo dedicati alle algebre di vertice, mettendo mano su dei casi concreti: mostreremo per esempio la costruzione degli operatori di Sugawara, di importanza centrale nello studio delle rappresentazioni delle algebre affini.

Giacomo H. Ferraro - Università di Roma "La Sapienza" - 13/06/23  

The quest for a functional equation of L-functions in Drinfeld theory

Abstract: The theory of Drinfeld modules, pioneered by Anderson and Thakur in th 90's, was conceived as a possible analogue to the theory of complex elliptic curves in finite characteristic, where the role of the ring of integers Z is assumed by the ring of regular functions of some curve X over F_q. We will introduce the analogues of the real and complex numbers, of the period lattices, and of the exponential map in this context. Two novel objects - special functions and Pellarin L-functions - arise in this theory, which have no parallel in characteristic zero, and can be conceived as interpolations of Gauss sums and Dirichlet L-functions, respectively; we will present some results about their relation, and compare them to the classical functional equation for Dirichlet L-functions.

Viola Siconolfi - Politecnico di Bari - 23/06/23

La funzione cromatica simmetrica e la congettura di Stanley Stembridge

Abstract: La funzione cromatica associata ad un grafo è una funzione simmetrica definita nel '95 da Stanley ed è tutt'ora un oggetto molto studiato in combinatoria algebrica. In questo seminario inizierò dalla sua definizione soffermandomi su qualche primo esempio e proprietà. In seguito parlerò della congettura di Stanley Stembridge e della famiglia di grafi 'natural order interval unit'. In conclusione presenterò una generalizzazione della congettura (Stanley-Stembridge graduata) presentata da Shareshian e Wachs.