Lorenzo Facciaroni - Diffusione normale e anomala

Approfondimento dei corsi di Probabilità e Processi Stocastici.

La descrizione matematica dei fenomeni naturali è da secoli al centro dell’interesse scientifico: costruire modelli significa spiegare perché osserviamo certi comportamenti e prevederne l’evoluzione. In questo incontro, introdurremo in modo euristico l’equazione di diffusione del calore, fondamentale in molte aree della matematica e della fisica, concentrandoci sulla sua origine probabilistica. Infine, discuteremo insieme alcune generalizzazioni. Tra queste, parleremo di diffusione anomala, indispensabile per comprendere fenomeni che non seguono le regole della diffusione classica.

Luca Carpanese - Valutare le decisioni statistiche: la funzione di rischio tra due paradigmi

Approfondimento dei corsi di Inferenza Statistica e Teoria Statistica delle Decisioni.

Nella teoria statistica delle decisioni, la performance di una regola decisionale è tradizionalmente valutata attraverso la sua funzione di rischio, che misura la perdita media in funzione del parametro del modello. In ottica bayesiana, tale funzione viene sintetizzata nel rischio di Bayes, ovvero nel valore atteso del rischio rispetto a una distribuzione a priori assegnata al parametro. Tuttavia, limitarsi a questo valore medio può nascondere importanti aspetti della variabilità e della struttura del rischio. Il minicorso si propone di approfondire il comportamento della funzion di rischio, analizzandone non solo il valore atteso ma l’intera distribuzione di probabilità indotta dalla legge a priori sul parametro. L’obiettivo è offrire una visione più ricca e consapevole della valutazione decisionale, in cui la complessità dell’incertezza venga incorporata in modo esplicito e sistematico.

Gian Mario Sangiovanni - Gaussian Process Regression

Approfondimento del corso di Bayesian Modeling 

I modelli di regressione classici si basano su relazioni parametriche tra variabili, ma spesso la realtà presenta andamenti non lineari e complessi. I Gaussian Process (GP)  offrono una soluzione elegante e completamente probabilistica a questo problema. In questo seminario introduttivo mostreremo come i GP permettano di modellare fenomeni incerti e non lineari, fornendo al tempo stesso una misura dell’incertezza delle predizioni. Affronteremo in ultima istanza il problema dell'inversione della matrice di varianza e covarianza con possibili soluzioni.

Andrea Fratini - Numerical Methods for Solving Stochastic Dynamical Systems

Aggiungere gradi di realismo ad un sistema dinamico per rappresentare la realtà viene ad un costo: la perdita di analiticità. In fisica come in economia assumere non-linearità nell'evoluzione congiunta di alcuni processi è pratica standard! Insieme osserveremo come diverse tecniche numeriche, ed in particolare l'Endogenous Grid Method ci consentono di risolvere, simulare e studiare i comportamenti delle variabili sottostanti quando queste ultime seguono processi non standard.

Lucia Gallucci - Introduzione ai processi non parametrici 

Approfondimento dei corsi di Inferenza Statistica e Bayesian Modeling

Cosa hanno in comune un ristorante immaginario e un modello statistico? Più di quanto sembri. Alcuni modelli ci permettono di descrivere dati complessi senza dover stabilire a priori il numero di parametri: saranno i dati stessi a suggerire la struttura più adatta. In questo seminario introdurremo il processo di Dirichlet e la sua affascinante metafora del processo del ristorante cinese, per scoprire come la casualità possa generare ordine e rivelare schemi nascosti nei dati.

Gabriele D'Andrea - Hierarchical Means Clustering: Hybrid clustering

La cluster analysis è una delle tecniche statistiche più utilizzate per identificare strutture latenti nei dati, ma le due grandi famiglie, metodi gerarchici e non gerarchici, presentano caratteristiche e limiti diversi. I secondi, come il k-means, sono basati su modelli e ottimizzazione di funzioni obiettivo; i primi, invece, costruiscono gerarchie tramite procedure agglomerative o scissorie, spesso senza un vero modello sottostante. In questo seminario presenterò un approccio recente, Hierarchical Means Clustering (HMC), che unisce i vantaggi delle due tradizioni: una gerarchia di partizioni nidificate stimata tramite la minimizzazione dei residui quadratici totali. In altre parole, HMC produce le soluzioni ottimali, dai 2 cluster fino a n, attraverso la devianza totale minima. L’obiettivo è offrire una prospettiva nuova per chi utilizza la cluster analysis, aprendo la discussione su come integrare rigore modellistico e interpretabilità gerarchica.

Lorenzo Marinucci - Gaussian Markov Random Fields
I Gaussian Markov Random Fields (GMRF) forniscono un quadro probabilistico scalabile per la modellazione di dipendenze spaziali e spazio-temporali tramite indipendenze condizionali codificate in una matrice di precisione sparsa. Questa struttura consente inferenza e previsione efficienti su dataset di grandi dimensioni sfruttando algebra lineare per matrici sparse. Un collegamento chiave è l’approccio SPDE, che approssima campi gaussiani con covarianza di Matérn tramite discretizzazione agli elementi finiti su mesh, offrendo controllo interpretabile su varianza, range e regolarità e rendendo i GMRF particolarmente adatti a geostatistica, epidemiologia, scienze ambientali, imaging e analisi su reti. La presentazione introdurrà la formulazione dei GMRF, i vantaggi computazionali derivanti dalla sparsità, la costruzione pratica dei modelli (grafo, specifica della precisione, stima e validazione) e mostrerà esempi applicativi.

Tiziano Iannaccio - Independent Component Analysis 

Approfondimento dei corsi di Statistica Multivariata e ADASM.

Independent Component Analysis è un modello che separa un segnale multivariato in componenti additive fra loro statisticamente indipendenti. Una delle applicazioni più note di ICA è il "cocktail party problem", dove l'obiettivo è separare voci individuali da misture di suoni registrate in una stanza rumorosa. Altri ambiti di applicazione frequenti sono le neuroscienze, la finanza e l'analisi di immagini. In questo seminario verranno fornite intuizione, formalizzazione e implementazione del modello ICA.

Fabrizio Di Mari - Il framework della sopravvivenza relativa come strumento per valutare i progressi medici in oncologia 

L’analisi della sopravvivenza oncologica nell'ambito degli studi di popolazione si basa sul framework della sopravvivenza relativa, che consente di stimare la sopravvivenza specificamente attribuibile alla malattia di interesse anche in assenza di informazioni sulla causa individuale di morte. All’interno di questo framework, il rischio di morte complessivo viene scomposto nel rischio in eccesso dovuto al cancro e nel rischio dovuto alle altre cause concorrenti, quest’ultimo derivato da fonti di dati routinarie, come le tavole di mortalità nazionali o regionali. La funzione di sopravvivenza associata unicamente al rischio in eccesso corrisponde alla quantità di interesse, nota come sopravvivenza netta. Gli stimatori non parametrici di questa quantità sono stati ampiamente utilizzati nell’epidemiologia del cancro; tuttavia, la loro applicazione è stata oggetto di un lungo dibattito metodologico riguardante bias, variabilità e consistenza. Questo seminario introduce il framework della sopravvivenza relativa e ne delinea i fondamenti matematici, illustrando le principali proprietà statistiche degli stimatori non parametrici, il loro sviluppo storico e la loro rilevanza attuale nella ricerca oncologica basata sui dati di popolazione.

Lorenzo Facciaroni - Probabilità e morfismi

Nello studio dei gruppi finiti, un punto di vista interessante è quello probabilistico: si può infatti indagare con quale probabilità due elementi commutino, oppure un elemento sia fissato da un automorfismo. Questo approccio, basato sull’analisi delle distribuzioni di probabilità associate alla struttura del gruppo, conduce spesso a risultati significativi e inattesi, capaci di chiarire questioni non banali della teoria dei gruppi. 

Andrea Pedicone - Introduzione alla teoria della convergenza di processi stocastici

Approfondimento del corso di Processi Stocastici

Il teorema limite centrale funzionale, noto anche come teorema di Donsker o principio di invarianza, costituisce l'estensione del teorema limite centrale al caso di successioni di processi stocastici. In esso è descritta la formazione del moto Browniano come limite di una passeggiata aleatoria normalizzata ad incrementi i.i.d.. Tale teoria nasce dalle idee Kolmogorov, Erdös e Kac, con lo scopo di conoscere la distribuzione di funzionali del moto Browniano. Nel tempo, si è evoluta fornendo numerose applicazioni nella teoria della probabilità e nella statistica matematica, ma anche nella teoria dei numeri e nell'analisi. In questo breve seminario, dopo aver introdotto i concetti fondamentali, verranno presentate le principali motivazioni che hanno spinto a sviluppare una teoria per la convergenza di processi stocastici. Seguiranno applicazioni e spunti per affrontare problemi più generali come teoremi limite per successioni di elementi aleatori dipendenti o successioni indicizzate da variabili aleatorie. 

Andrea Vaiano - Modelli di mistura

Il seminario introduce il modello di mistura di dimensione finita a componenti gaussiane, presentando la teoria, l’algoritmo di stima e un’applicazione a dati reali. Esploreremo il valore aggiunto di questo modello nel ricostruire l’eterogeneità non osservata e presenteremo possibili estensioni attraverso Hidden Markov Models (HMM).