Martedì 9-11 in aula C, Giovedì 14-16 in aula G, Venerdì 10-12 in aula C. Inizio 26 settembre 2024.
Programma Verranno riproposte le prime 46 ore del corso del 2023-24; di conseguenza gli argomenti saranno trattati in maniera piu' rilassata e con un maggior numero di esempi concreti ed esercizi. Gli argomenti trattati saranno, in linea di massima, i seguenti:
Elementi di algebra omologica.
Omologia e coomologia singolare.
Successione di Mayer-Vietoris ed invarianza della dimensione.
Fasci e coomologia di Cech.
Risoluzioni e teorema di de Rham astratto. Equivalenza tra coomologia singolare e coomologia di Cech per varietà topologiche.
Varietà differenziabili, forme differenziabili, orientazioni.
Coomologia di de Rham.
Integrazione di forme e dualità di Poincaré in coomologia di de Rham.
Alcuni riferimenti bibliografici (lista in aggiornamento):
Dispense del corso (Versione 18-12-2024)
Appunti sulle serie di potenze (Versione 22-12-2024)
Dispense di Arbarello e Salvati Manni
Vick, Homology theory
Gi 26-09-24 (2): somma e prodotto diretto di moduli, gruppi abeliani liberi, teorema di scambio. Richiami su lemma di Zorn e teorema di Zermelo.
Ve 27-09-24 (4): sottogruppi di gruppi abeliani liberi, il prodotto diretto infinito degli interi non e' libero. Simplessi singolari e identita' semicosimpliciali.
Ma 1-10-24 (6): Definiziome dei gruppi di omologia singolare. Omologia del punto. Studio dell'H-zero. Complessi di gruppi abeliani e loro morfismi. Quasi-isomorfismi.
Gi 3-10-24 (8): omologia ed applicazioni continue, omotopia tra morfismi di complessi. Morfismi indotti da cicli naturali.
Ve 4-10-24 (10): Invarianza omotopica dell'omologia. Suddivisioni baricentriche (senza dimostrazione).
Ma 8-10-24 (12): Il teorema delle catene piccole. Successioni esatte.
Gi 10-10-24 (14): successione esatta lunga di omologia associata ad una successione esatta corta di complessi. Successione esatta di Mayer-Vietoris.
Ve 11-10-24 (16): omologia delle sfere, omologia del piano proiettivo reale, teorema di invarianza della dimensione, teorema del punto fisso.
Gi 17-10-24 (18): gruppi finitamente generati, ricoprimenti semplici, immagine di piccole palle tramite diffeomorfismi di classe C2.
Ve 18-10-24 (20): omologia delle varieta' compatte e' finitamente generata. Il funtore Hom, gruppi divisibili, rango di gruppi abeliani finitamente generati.
Ma 22-10-24 (22): coomologia singolare, invarianza omotopica e coomologia degli spazi contraibili. Teorema dei coefficienti universali (versione ``lazy''), coomologia delle sfere.
Gi 24-10-24 (24): Mayer-Vietoris in coomologia, complesso delle cocatene piccole.
Ve 25-10-24 (26): germi di funzioni differenziabili, prefasci.
Ma 29-10-24 (28): spighe, fasci, morfismi, esempi.
Gi 31-10-24 (30): successioni esatte di fasci, esattezza a sinistra delle sezioni, nucleo e conucleo di un morfismo di fasci.
Ma 5-11-24 (32): successione esponenziale e criterio topologico per l'esistenza del logaritmo continuo. Coomologia di Cech dei ricoprimenti, il caso dei ricoprimenti stupidi.
Gi 7-10-24 (34): raffinamenti e loro effetto in coomologia. Cocatene alternanti e normalizzate. Teorema di quasi-isomorfismo (solo enunciato).
Ve 8-11-24 (36): insiemi diretti, sistemi diretti, colimite, proprietà universale ed esattezza del colimite.
Ma 12-11-24 (38): coomologia di Cech, fasci fini ed aciclici. Iniettivita tra H-uno dei ricoprimenti ed H-uno dei fasci.
Gi 14-11-24 (40): spazi paracompatti, teorema di restringimento. Prefasci con le stesse spighe hanno stessa coomologia.
Ve 15-11-24 (42): successione esatta lunga di coomologia di Cech. Teorema di de Rham delle risoluzioni acicliche. Teorema di Leray dei ricoprimenti aciclici (solo enunciato).
Ma 19-11-24 (44): risoluzione singolare di fasci costanti ed applicazioni.
Gi 21-11-24 (46): Spazi con funzioni, prevarieta' modellate, spazio cotangente di Zariski.
Ve 22-11-24 (48): spazio tangente di Zariski, differenziale di morfismi. Varieta' differenziabili, esempi, funzioni bump.
Ma 26-11-24 (50): partizioni dell'unita' e campi di vettori. Il fascio strutturale di una varieta' differenziabile e' fine.
Gi 28-11-24 (52): dipendenza analitica e teorema del Dini, struttura locale delle sottovarieta'. Orientabilita' e prima classe di Stiefel-Whitney.
Ve 29-11-24 (54): forme alternanti su uno spazio vettoriale, prodotto interno e prodotto esterno.
Ma 3-12-24 (56): forme differenziali, descrizione in coordinate locali. Differenziale e coomologia di de Rham. Lemma di Poincare' per i poliintervalli.
Gi 5-12024 (58): coomologia a supporto compatto di varieta', calcolo per R^n. Pull-back di forme differenziali. Esempio di forma di volume sulla sfera.
Ve 6-12-24 (60): varieta' orientate ed integrazione di forme differenziali.
Ma 10-12-24 (62): dimostrazione della dualita' di Poincare' in coomologia di de Rham.
Gi 12-12-24 (64): funzioni olomorfe e separatamente olomorfe in piu' variabili. Formula di Cauchy.
Ve 13-12-24 (66): principio di identita' e principio del massimo modulo per funzioni olomorfe.
Ma 17-12-24 (68): Serie di potenze formali e convergenti.
Gi 19-12-24 (70): Teoremi di divisione e di preparazione di Weierstrass.
Ve 20-12-24 (72): Fattorizzazione unica delle serie di potenze.