30/09/2025 (2h): Presentazione del corso. Gruppi: definizione, notazioni, unicità di elemento neutro e inversi, gruppi abeliani e gruppi finiti, ordine di un gruppo, ordine di un elemento. Esempi: gruppo simmetrico, gruppo ciclico, gruppo diedrale (esempio esplicito nel caso del triangolo), GL(K), SL(K), sottogruppi additivi dei reali. Ogni elemento di un gruppo finito ha ordine finito. Sottogruppi: definizione, notazioni, un sottoinsieme di un gruppo è un sottogruppo se e solo se è chiuso rispetto all'operazione e rispetto all'inverso, un sottoinsieme finito di un gruppo è un sottogruppo se e solo se è chiuso rispetto all'operazione, sottogruppo generato da un elemento. Risoluzione di esercizi.
02/10/2025 (5h): Relazione di congruenza modulo un sottogruppo, laterali sinistri e laterali destri di un sottogruppo. Sottogruppi normali: esempi e controesempi. Esempio di D3: notazioni e legge di composizione. L'insieme dei laterali destri è in biezione con l'insieme dei laterali sinistri. Tutti i laterali (destri e sinistri) hanno la stessa cardinalità di H. Ordine di un gruppo e indice di un sottogruppo. Relazione fra indice e ordine: |G| = [RG:H] |H|. Teorema di Lagrange. In un gruppo finito l'ordine di ogni elemento divide l'ordine del gruppo. Un gruppo di ordine primo non possiede sottogruppi non banali. L'intersezione fra due sottogruppi è un sottogruppo. Il prodotto di due sottogruppi H e K è un sottogruppo se e solo se HK=KH. Cardinalità dell'insieme HK. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. I sottogruppi di Z sono tutti e soli quelli generati da un singolo elemento. L'intersezione fra due sottogruppi di Z è generata dal minimo comune multiplo dei generatori. La somma di due sottogruppi di Z è generata dal massimo comun divisore dei generatori. Richiami sui gruppi diedrali Dn e sui gruppi ciclici Cn. La cardinalità di Dn è 2n. La cardinalità di Cn è n. Il gruppo ciclico Cn è generato da una rotazione di angolo 2π/n. Il gruppo diedrale Dn è generato da una rotazione di angolo 2π/n e da una riflessione. Descrizione degli elementi e della legge di composizione in Dn. Risoluzione di esercizi.
07/10/2025 (7h): Descrizione dei sottogruppi di Cn e Dn. Caratterizzazione dei sottogruppi normali: condizioni equivalenti e operazione sull'insieme dei laterali. Gruppo quoziente e proiezione al quoziente. In un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale. Un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale non è necessariamente abeliano (esempio delle unità quaternionali). Un sottogruppo di indice 2 è normale. Omomorfismi di gruppi: definizione e descrizione come diagramma commutativo. Esempi: proiezione al quoziente per un sottogruppo normale, esponenziale e logaritmo come omomorfismi fra il gruppo additivo dei reali e il gruppo moltiplicativo dei reali positivi, determinante come omomorfismo da GLn(K) e il gruppo moltiplicativo K*, dati un gruppo G e un suo elemento g esiste un omomorfismo Z-->G. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale. Prime applicazioni: SLn(K) è normale in GLn(K). Risoluzione di esercizi.
09/10/2025 (10h): La composizione di omomorfismi è un omomorfismo. Un omomorfismo preserva l'elemento neutro e gli inversi. Un sottogruppo è normale se e solo se può essere realizzato come nucleo di un omomorfismo. Un omomorfismo di gruppi è iniettivo se e solo se il suo nucleo è banale. Un omomorfismo di gruppi manda sottogruppi in sottogruppi. Un omomorfismo di gruppi manda sottogruppi normali in sottogruppi normali nel gruppo immagine. La preimmagine di un sottogruppo tramite un omomorfismo è un sottogruppo. La preimmagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo è un sottogruppo normale. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G, esiste una corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi di G che contengono N e i sottogruppi del gruppo quoziente G/N. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G, esiste una corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi normali di G che contengono N e i sottogruppi normali del gruppo quoziente G/N. Teorema di omomorfismo. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G e dato un gruppo G', esiste una corrispondenza biunivoca fra gli omomorfismi G-->G' che contengono N e gli omomorfismi G/N-->G'. Primo teorema di isomorfismo. Applicazione: isomorfismo fra il gruppo quoziente GLn(K)/SLn(K) e il gruppo moltiplicativo K*. Risoluzione di esercizi.
14/10/2025 (12h): Primo, secondo e terzo teorema di isomorfismo. Applicazioni al gruppo Z/(n): ordine di un elemento [a] in Z/(n), relazione fra mcm e MCD. Un gruppo in cui ogni elemento è inverso di se stesso è necessariamente abeliano. Classificazione di gruppi finiti a meno di isomorfismo: ogni gruppo di ordine primo p è isomorfo al gruppo ciclico Cp, i gruppi di ordine 4 sono tutti abeliani e isomorfi al gruppo ciclico C4 o al gruppo di Klein. Risoluzione di esercizi.
16/10/2025 (15h): Risoluzione degli esercizi settimanali. Classificazione di gruppi finiti a meno di isomorfismo: ogni gruppo di ordine pari contiene almeno un elemento di ordine 2, un gruppo di ordine almeno 4 in cui ogni elemento è l'inverso di se stesso contiene un sottogruppo di ordine 4 isomorfo al gruppo di Klein, un gruppo di ordine 6 contiene almeno un elemento di ordine 2 e almeno un elemento di ordine 3, un gruppo di ordine 6 è isomorfo al gruppo ciclico C6 oppure al gruppo diedrale D3. Classificazione a meno di isomorfismo dei gruppi di ordine 8.
21/10/2025 - orario 17-19 (17h): Reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Esempi: reticolo del gruppo diedrale D4, reticolo del gruppo quoziente D4/N dove N è il sottogruppo normale generato dal quadrato di ρ in D4, corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi di D4 che contengono N e i sottogruppi del gruppo quoziente D4/N. Il gruppo simmetrico Sn: definizioni e notazioni, ogni permutazione non banale si esprime come composizione di permutazioni cicliche disgiunte, cicli disgiunti commutano fra loro, definizione del segno di una permutazione, il segno definisce un omomorfismo da Sn al gruppo {1,-1}, ogni trasposizione ha segno negativo. Risoluzione di esercizi.
23/10/2025 (20h): Il gruppo simmetrico Sn: segno di una permutazione e sue proprietà, ogni trasposizione ha segno negativo, ogni k-ciclo si decompone come prodotto di k-1 trasposizioni, segno di un k-ciclo, calcolo del segno di una permutazione tramite la sua decomposizione in cicli disgiunti, permutazioni pari e dispari. Il gruppo alterno An: definizione come nucleo dell'omomorfismo segno, An è un sottogruppo normale, An ha indice 2 in Sn, l'intersezione fra un sottogruppo H di Sn con An ha indice 2 in H, descrizione dell'unico sottogruppo di ordine 4 in A4, A4 non contiene sottogruppi di ordine 6. Il gruppo simmetrico S4: sottogruppi di ordine 2 e 3, S4 contiene 4 sottogruppi non ciclici di ordine 4, S4 contiene 4 sottogruppi di ordine 6, S4 contiene 3 sottogruppi di ordine 8, S4 contiene un unico sottogruppo di ordine 12. Risoluzione di esercizi.
24/10/2025 (20h): Prodotto diretto fra gruppi. Dati due sottogruppi normali H1 e H2 in G che si intersecano nel solo elemento neutro si ha che ogni elemento di H1 commuta con ogni elemento di H2, prodotto diretto interno di due sottogruppi, un gruppo è prodotto diretto interno di due suoi sottogruppi se e solo se è isomorfo al prodotto diretto di due gruppi.
28/10/2025 (22h): Prodotto diretto fra gruppi: definizione, il prodotto diretto di due gruppi è abeliano se e solo se entrambi sono abeliani, dati due sottogruppi (normali) H1 in G1 e H2 in G2 si ha che H1xH2 è un sottogruppo (normale) in G1xG2, dati due sottogruppi normali H1 in G1 e H2 in G2 si ha che (G1xG2)/(H1xH2) è isomorfo a (G1/H1)x(G2/H2), prodotto diretto interno di due sottogruppi, un gruppo è prodotto diretto interno di due suoi sottogruppi se e solo se è isomorfo al prodotto diretto di due gruppi, il gruppo ciclico di ordine Cnm è isomorfo al prodotto diretto dei gruppi ciclici Cn e Cm se MCD(n,m)=1. Automorfismi: definizione, automorfismi interni, gli automorfismi interni formano un sottogruppo normale del gruppo di automorfismi, centro di un gruppo, il gruppo degli automorfismi interni è isomorfo al gruppo quoziente G/Z(G). Prodotto semidiretto: definizione, il prodotto semidiretto è un gruppo, prodotto semidiretto interno.
Appelli:
Primo appello: 17/06/2026 (alle ore 08.00 in Aula Levi-Civita)
Secondo appello: 14/07/2026 (alle ore 08.00 in Aula Levi-Civita)
Terzo appello: 02/09/2026
Quarto appello: 17/09/2026
Quinto appello: 27/01/2027
Esoneri:
Primo esonero: 17/12/2025 (alle ore 10.00 in Aula Levi-Civita)
Secondo esonero: ??/05/2026
Il superamento delle prove di esonero dà diritto a sostenere la prova orale negli appelli di Giugno e Luglio.
Regole d'esame:
L'esame consiste di una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta è superata con una votazione minima di 18/30 e comprende esercizi, applicazioni pratiche e quesiti di natura teorica. Per prendere parte a una prova scritta è necessario prenotarsi tramite Infostud. Durante la prova scritta non è consentito l'uso di calcolatrici, dispositivi elettronici, appunti, libri.
La votazione ottenuta in una prova scritta rimpiazza eventuali votazioni ottenute negli esoneri o in precedenti prove scritte.
La prova orale consiste nella discussione di definizioni, enunciati e dimostrazioni, risoluzione di esercizi (selezionati fra quelli assegnati settimanalmente).
Il superamento di una prova scritta nella sessione di Giugno/Luglio dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente in uno degli appelli nella medesima sessione.
Il superamento di una prova scritta nella sessione di Settembre dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente in uno degli appelli della medesima sessione.
Il superamento della prova scritta nell'appello di Gennaio dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente nel medesimo appello.
Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997.
Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti Univ. Press, 2010.
Appunti del corso, versione preliminare aggiornata al 21/10/2025 (contiene sicuramente errori e inesattezze che potete segnalarmi tramite mail).