Didattica

01/10/2024 (2h): Presentazione del corso. Gruppi: definizione, notazioni, unicità di elemento neutro e inversi, gruppi abeliani e gruppi finiti, ordine di un gruppo, ordine di un elemento. Esempi: gruppo simmetrico, gruppo ciclico, gruppo diedrale (esempio esplicito nel caso del triangolo), GL(K), SL(K), sottogruppi additivi dei reali. Ogni elemento di un gruppo finito ha ordine finito. Sottogruppi: definizione, notazioni, un sottoinsieme di un gruppo è un sottogruppo se e solo se è chiuso rispetto all'operazione e rispetto all'inverso, un sottoinsieme finito di un gruppo è un sottogruppo se e solo se è chiuso rispetto all'operazione, sottogruppo generato da un elemento, relazione di congruenza modulo un sottogruppo, laterali sinistri di un sottogruppo. Risoluzione di esercizi.

03/10/2024 (5h): Legge di cancellazione in un gruppo. Relazione di congruenza modulo un sottogruppo, laterali sinistri e laterali destri di un sottogruppo. Sottogruppi normali: esempi e controesempi. Esempio di S3: notazioni e legge di composizione. L'insieme dei laterali destri è in biezione con l'insieme dei laterali sinistri. Tutti i laterali (destri e sinistri) hanno la stessa cardinalità di H. Ordine di un gruppo e indice di un sottogruppo. Relazione fra indice e ordine: |G| = [RG:H] |H|. Teorema di Lagrange. In un gruppo finito l'ordine di ogni elemnto divide l'ordine del gruppo. Un gruppo di ordine primo non possiede sottogruppi non banali. L'intersezione fra due sottogruppi è un sottogruppo. Il prodotto di due sottogruppi H e K è un sottogruppo se e solo se HK=KH. Cardinalità dell'insieme HK. Sottogruppo generato da un sottoinsieme. I sottogruppi di Z sono tutti e soli quelli generati da un singolo elemento. L'intersezione fra due sottogruppi di Z è generata dal minimo comune multiplo dei generatori. La somma di due sottogruppi di Z è generata dal massimo comun divisore dei generatori. Richiami sui gruppi diedrali Dn e sui gruppi ciclici Cn. La cardinalità di Dn è 2n. La cardinalità di Cn è n. Il gruppo ciclico Cn è generato da una rotazione di angolo 2π/n. Il gruppo diedrale Dn è generato da una rotazione di angolo 2π/n e da una riflessione. Descrizione degli elementi e della legge di composizione in Dn. Risoluzione di esercizi.

08/10/2024 (7h): Descrizione dei sottogruppi di Cn e Dn (senza dimostrazione). Caratterizzazione dei sottogruppi normali: condizioni equivalenti e operazione sull'insieme dei laterali. Gruppo quoziente e proiezione al quoziente. In un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale. Un gruppo in cui ogni sottogruppo è normale non è necessariamente abeliano (esempio delle unità quaternionali). Un sottogruppo di indice 2 è normale. Omomorfismi di gruppi: definizione e descrizione come diagramma commutativo. La composizione di omomorfismi è un omomorfismo. Un omomorfismo preserva l'elemento neutro e gli inversi. Esempi: proiezione al quoziente per un sottogruppo normale, esponenziale e logaritmo come omomorfismi fra il gruppo additivo dei reali e il gruppo moltiplicativo dei reali positivi, determinante come omomorfismo da GLn(K) e il gruppo moltiplicativo K*, dati un gruppo G e un suo elemento g esiste un omomorfismo Z-->G. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Il nucleo di un omomorfismo è un sottogruppo normale. Prime applicazioni: SLn(K) è normale in GLn(K). Un sottogruppo è normale se e solo se può essere realizzato come nucleo di un omomorfismo. Risoluzione di esercizi.

10/10/2024 (10h): Un omomorfismo di gruppi è iniettivo se e solo se il suo nucleo è banale. Un omomorfismo di gruppi manda sottogruppi in sottogruppi. Un omomorfismo di gruppi manda sottogruppi normali in sottogruppi normali nel gruppo immagine. La preimmagine di un sottogruppo tramite un omomorfismo è un sottogruppo. La preimmagine di un sottogruppo normale tramite un omomorfismo è un sottogruppo normale. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G, esiste una corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi di G che contengono N e i sottogruppi del gruppo quoziente G/N. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G, esiste una corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi normali di G che contengono N e i sottogruppi normali del gruppo quoziente G/N. Teorema di omomorfismo. Dato un sottogruppo normale N in un gruppo G e dato un gruppo G', esiste una corrispondenza biunivoca fra gli omomorfismi G-->G' che contengono N e gli omomorfismi G/N-->G'. Primo teorema di isomorfismo. Applicazione: isomorfismo fra il gruppo quoziente GLn(K)/SLn(K) e il gruppo moltiplicativo K*. Risoluzione di esercizi.

15/10/2024 (12h): Primo, secondo e terzo teorema di isomorfismo. Applicazioni al gruppo Z/(n): ordine di un elemento [a] in Z/(n), relazione fra mcm e MCD. Un gruppo in cui ogni elemento è inverso di se stesso è necessariamente abeliano. Classificazione di gruppi finiti a meno di isomorfismo: ogni gruppo di ordine primo p è isomorfo al gruppo ciclico Cp, i gruppi di ordine 4 sono tutti abeliani e isomorfi al gruppo ciclico C4 o al gruppo di Klein. Risoluzione di esercizi.

17/10/2024 (15h): Risoluzione degli esercizi settimanali. Classificazione di gruppi finiti a meno di isomorfismo: ogni gruppo di ordine pari contiene almeno un elemento di ordine 2, un gruppo di ordine almeno 4 in cui ogni elemento è l'inverso di se stesso contiene un sottogruppo di ordine 4 isomorfo al gruppo di Klein, un gruppo di ordine 6 contiene almeno un elemento di ordine 2 e almeno un elemento di ordine 3, un gruppo di ordine 6 è isomorfo al gruppo ciclico C6 oppure al gruppo diedrale D3. Reticolo dei sottogruppi di un gruppo. Esempi: reticolo del gruppo diedrale D6, reticolo del gruppo quoziente D6/N dove N è il sottogruppo normale generato dal quadrato di ρ in D6, corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi di D6 che contengono N e i sottogruppi del gruppo quoziente D6/N. Il gruppo simmetrico Sn: definizioni e notazioni, ogni permutazione non banale si esprime come composizione di permutazioni cicliche disgiunte, cicli disgiunti commutano fra loro, definizione del segno di una permutazione, il segno definisce un omomorfismo da Sn al gruppo {1,-1}, definizione del sottogruppo alterno An. Risoluzione di esercizi.

22/10/2024 (17h): Il gruppo simmetrico Sn: segno di una permutazione e sue proprietà, ogni trasposizione ha segno negativo, ogni k-ciclo si decompone come prodotto di k-1 trasposizioni, segno di un k-ciclo, calcolo del segno di una permutazione tramite la sua decomposizione in cicli disgiunti, permutazioni pari e dispari. Il gruppo alterno An: definizione come nucleo dell'omomorfismo segno, An è un sottogruppo normale, An ha indice 2 in Sn, l'intersezione fra un sottogruppo H di Sn con An ha indice 2 in H, descrizione dell'unico sottogruppo di ordine 4 in A4, A4 non contiene sottogruppi di ordine 6. Il gruppo simmetrico S4: sottogruppi di ordine 2 e 3, S4 contiene 4 sottogruppi non ciclici di ordine 4, S4 contiene 4 sottogruppi di ordine 6, S4 contiene 3 sottogruppi di ordine 8, S4 contiene un unico sottogruppo di ordine 12. Risoluzione di esercizi.

24/10/2024 (20h): Prodotto diretto fra gruppi: definizione, il prodotto diretto di due gruppi è abeliano se e solo se entrambi sono abeliani, dati due sottogruppi (normali) H1 in G1 e H2 in G2 si ha che H1xH2 è un sottogruppo (normale) in G1xG2, dati due sottogruppi normali H1 in G1 e H2 in G2 si ha che (G1xG2)/(H1xH2) è isomorfo a (G1/H1)x(G2/H2), dati due sottogruppi normali H1 e H2 in G1xG2 che si intersecano nel solo elemento neutro si ha che ogni elemento di H1 commuta con ogni elemento di H2, prodotto semidiretto interno di due sottogruppi, un gruppo è prodotto diretto interno di due suoi sottogruppi se e solo se è isomorfo al prodotto diretto di due gruppi, il gruppo ciclico di ordine Cnm è isomorfo al prodotto diretto dei gruppi ciclici Cn e Cm se MCD(n,m)=1. Automorfismi: definizione, automorfismi interni, gli automorfismi interni formano un sottogruppo normale del gruppo di automorfismi, centro di un gruppo, il gruppo degli automorfismi interni è isomorfo al gruppo quoziente G/Z(G). Prodotto semidiretto: definizione, il prodotto semidiretto è un gruppo, prodotto semidiretto interno, il gruppo diedrale Dn è prodotto semidiretto interno dei suoi sottogruppi generati da una rotazione di ordine n e da una riflessione.

29/10/2024 (22h): Prodotto semidiretto: definizione, il prodotto semidiretto è un gruppo, prodotto semidiretto interno, un gruppo è prodotto semidiretto interno di due suoi sottogruppi se e solo se è isomorfo a un prodotto semidiretto di due gruppi, il gruppo diedrale Dn è prodotto semidiretto dei suoi sottogruppi generati da una rotazione di ordine n e da una riflessione tramite l'omomorfismo Φσ(ρ)=ρ^{-1}. Gruppo degli invertibili di Z/(n). Esempi sul calcolo di gruppi di automorfismi: Aut(Z)=C2, Aut(Z/(5))=U5=C4, Aut(Z/(n))=Un, Aut(K4)=S3. Esempi: omomorfismi da Z/(n) in Z, da Z in Z/(n), da Z/(15) in Z/(10). Risoluzione di esercizi.

31/10/2024 (25h): Definizioni di primi e irriducibili in Z. Teorema fondamentale dell'aritmetica e fattorizzazione canonica per interi positivi. Teorema di Pitagora: la radice quadrata di un numero primo è irrazionale. Teorema di Euclide: esistono infiniti numeri primi. Numeri di Euclide: definizione, esempi, congetture. Piccolo Teorema di Fermat. Se p è primo allora [a^p]=[a] modulo (p). Funzione di Eulero: un intero n>1 è primo se e solo se Φ(n)=n-1, calcolo di Φ(p^k), Φ è una funzione moltiplicativa, calcolo di Φ(n) per ogni n, Φ(n) è pari per ogni n>2. Teorema di Wilson. Risoluzione di esercizi.

05/11/2024 (27h): Teorema di Eulero: dato un intero positivo n e un intero a coprimo con n si ha a^{Φ(n)} congruo a 1 modulo (n). Applicazioni nella risoluzione di esercizi. Teorema di Gauss: un intero positivo n si scrive come somma di Φ(d) al variare di d fra i divisori positivi di n. Esempi. Dato un intero n>1, la somma di tutti gli interi positivi minori di n e coprimi con n è nΦ(n)/2. Teorema di Wilson-Lagrange: un intero m>1 è primo se e solo se (m-1)!+1 è congruo a zero modulo (m). Teorema Cinese del Resto e sue applicazioni ai sistemi di congruenze. Risoluzione di esercizi.

07/11/2024 (30h): Divisione Euclidea e identità di Bézout. Sistemi di congruenze, risolubilità di congruenze e applicazioni del Teorema Cinese del Resto. Esempi. Dato un elemento g di ordine n un gruppo G, allora g^h=g^k se e solo se [h]=[k] in Z/(n). Azioni di gruppo: definizione, esempi, azioni transitive e semplicemente transitive, orbite e stabilizzatori, lo stabilizzatore di un elemento è un sottogruppo, se G è un gruppo finito allora ogni orbita ha cardinalità finita e vale |Ox| = [G:Stabx]. Teorema di Cauchy: se un primo p divide l'ordine di un gruppo finito G, allora esistono in G (almeno) p-1 elementi di ordine p. Risoluzione di esercizi.

12/11/2024 (32h): Azione di coniugio: centralizzatore, elementi coniugati hanno lo stesso ordine, l'orbita di un elemento ha cardinalità pari all'indice del centralizzatore, equazione delle classi. Esempi. Classi coniugate nel gruppo diedrale (casi pari e dispari). Classi coniugate nel gruppo simmetrico: due permutazioni sono coniugate se e solo se ammettono la stessa struttura ciclica. Se G è un gruppo finito di cardinalità p^k con p primo, allora |Z(G)|>1 e l'indice di Z(G) è diverso da p. Applicazioni: un gruppo di ordine p^2 con p primo è necessariamente abeliano, un gruppo di ordine p^2 con p primo è ciclico oppure è il prodotto diretto di due gruppi ciclici di ordine p.

14/11/2024 (35h): Classi coniugate nel gruppo simmetrico: due permutazioni sono coniugate se e solo se ammettono la stessa struttura ciclica. Esercizi. Definizione di p-Sylow, primo Teorema di Sylow, secondo Teorema di Sylow. Risoluzione di esercizi.

18/11/2024 (37h): Riepilogo. Centralizzante e normalizzante. Terzo Teorema di Sylow. Applicazioni dei teoremi di Sylow: nuova dimostrazione del Teorema di Wilson e del Teorema di Cauchy, ogni gruppo di ordine pq con p<q primi è ciclico o isomorfo a un prodotto semidiretto di Cq per Cp.

21/11/2024 (40h): Classificazione dei gruppi di ordine 12: ogni gruppo di ordine 12 contiene un sottogruppo normale, A4 è l'unico gruppo di ordine 12 che non contiene un sottogruppo normale di ordine 3, i gruppi abeliani C12 e C6xC2, il gruppo diedrale D6, il gruppo diciclico Dic3. Tavola delle classi di isomorfismo dei gruppi di ordine al più 15. Radici primitive modulo un intero: definizione, esempi e controesempi. Se un intero n ammette una radice primitiva allora il gruppo moltiplicativo Un è ciclico. Se un intero n ammette una radice primitiva allora il gruppo Aut(Cn) è ciclico di ordine n-1. Tutti i primi ammettono radici primitive (senza dimostrazione). Un polinomio di grado n ammette al più n soluzioni distinte in Z/(p) se p è primo. Risoluzione di esercizi.

26/11/2024 (42h): Se p è un primo e d un divisore di p-1, allora esistono esattamente d soluzioni distinte in Z/(p) della congruenza x^d-1=0 mod(p). Se p è un primo e d un divisore di p-1, allora esistono esattamente Φ(d) interi distinti in Up di ordine d. Ogni primo p ammette esattamente Φ(p-1) radici primitive distinte. Congettura di Gauss: esistono infiniti primi per cui 10 è una radice primitiva. Congettura di Artin: se a è un intero non invertibile che non è un quadrato perfetto, allora esistono infiniti primi per cui a è una radice primitiva. Se p è primo, allora il gruppo degli automorfismi di Cp è ciclico: Aut(Cp)=Up=Cp-1. Successioni esatte corte di gruppi: definizione, estensioni, sezioni, successioni che spezzano. Esempi: Q8 è un'estensione di K4 tramite C2 che non spezza, R è un'estensione di S^1 tramite Z che non spezza.

28/11/2024 (45h): Riepilogo sulle successioni esatte corte, caratterizzazione delle successioni esatte corte che spezzano in termini di prodotti semidiretti, esempi. Gruppo moltiplicativo dei quaternioni. Gruppi diciclici: definizione come sottogruppo moltiplicativo dei quaternioni, presentazione e relazioni, Dicn è un gruppo di ordine 4n, Dic2=Q8, Dicn è un'estensione di C2 tramite C2n che non spezza, n è dispari se e solo se Dicn è un'estensione di C4 tramite Cn che spezza, Dicn è isomorfo al prodotto semidiretto di Cn per C4. Gruppi semplici: esempi e controesempi, A4 non è semplice. Un sottogruppo normale non banale di An contiene necessariamente un 3-ciclo o un prodotto di trasposizioni disgiunte.

03/12/2024 (47h): Gruppi semplici. Semplicità di An per n>4: un sottogruppo normale non banale di An contiene tutti i 3-cicli, An è generato dai 3-cicli, An è semplice per n>4. Per n>4 l'unico sottogruppo normale non banale di Sn è An. Classi coniugate nel gruppo alterno: le azioni per coniugio di An e di Sn su An, le orbite di σ rispetto alle due azioni coincidono se e solo se esiste una permutazione dispari in Sn che commuta con σ, se tale permutazione dispari non esiste le cardinalità delle due orbite sono una il doppio dell'altra.

05/12/2024 (49h - orario 15-17): Definizioni di anelli (associativi unitari) e sottoanelli. Proprietà elementari che seguono dagli assiomi. Domini d'integrità, corpi e campi. Esempi e controesempi. Ogni dominio d'integrità finito è un campo. Z/(m) è un dominio d'integrità se e solo se m è primo. Omomorfismi di anelli. Risoluzione di esercizi.

10/12/2024 (51h): Ideali sinistri, destri, bilateri. Il nucleo di un omomorfismo di anelli è un ideale. Anello quoziente. Teoremi di omomorfismo e isomorfismo per anelli. Un anello commutativo è un campo se e solo se non possiede ideali non banali. Caratteristica di un anello. Ideali primi. Esempi. Risoluzione di esercizi.

12/12/2024 (54h): Risoluzione di esercizi.

17/12/2024 (57h - orario 13-16): Esonero.

09/01/2025 (58h - orario 15-16): Discussione primo esonero.

03/03/2025 (60h): Riepilogo su anelli, domini d'integrità, corpi, campi e sulle relazioni fra essi. Ideali primi: definizione, un ideale in un anello è primo se e solo se l'anello quoziente è un dominio d'integrità. Esempi. Ideali massimali: definizione, un ideale in un anello commutativo è massimale se e solo se l'anello quoziente è un campo. Studio dell'anello C[x]/(x^2) e dei suoi ideali. Estensioni di anelli: dato R un sottoanello di un anello commutativo S e dato un elemento t in S, il sottoanello generato da R e t è l'anello di polinomi R[t]. Non unicità della scrittura, elementi trascendenti su un sottoanello. Esempi.

06/03/2025 (63h): Estensioni di anelli: dato R un sottoanello di un anello commutativo S e dato un elemento t in S, il sottoanello generato da R e t è l'anello di polinomi R[t]. Non unicità della scrittura, elementi trascendenti su un sottoanello. Dato un anello R e un omomorfismo di anelli f: R -> S, esiste un unico omomorfismo di anelli da R[x] in S che estende f e che assegna a x un dato elemento di S. Divisione Euclidea in R[x]. Un anello commutativo R è un dominio d'integrità se e solo se R[x] è un dominio d'integrità. Polinomi in più variabili a coefficienti in un anello commutativo. Domini Euclidei, confronto fra differenti definizioni di valutazione. Esempi: campi, interi, polinomi in una variabile a coefficienti in un campo, interi di Gauss. Esempi di divisione Euclidea nell'anello degli interi di Gauss. Gli invertibili in un dominio Euclideo sono gli elementi con valutazione positiva minima. Criterio per stabilire se un dominio d'integrità è un dominio Euclideo. Z[x] è un dominio d'integrità, ma non è un dominio Euclideo.

10/03/2025 (65h): Risoluzione di esercizi. Esempi di domini d'integrità che non sono domini Euclidei: Z[x], K[x,y]. Anelli a ideali principali, domini a ideali principali. Esempi e controesempi. Se K è un campo, allora K[x] è un dominio a ideali principali. Se R è un anello commutativo tale che R[x] è un dominio a ideali principali, allora R è un campo. Se R è un dominio a ideali principali, allora un ideale di R è primo se e solo se è massimale.

13/03/2025 (68h): Risoluzione di esercizi. Nozioni di divisibilità in domini d'integrità: divisori, multipli, elementi associati, unità, irriducibili, primi. Esempi. In un dominio d'integrità un elemento a è primo se e solo se (a) è un ideale primo. In un dominio a ideali principali un elemento irriducibile a genera un ideale massimale (a). In un dominio d'integrità, se un elemento è primo allora è anche irriducibile. In Z un elemento è primo se e solo se è irriducibile. Domini a fattorizzazione unica. Esempio: l'anello Z[\sqrt{-5}] è un dominio d'integrità, non è un dominio a fattorizzazione unica, 3 non è primo, 3 è irriducibile. Un dominio d'integrità è un dominio a fattorizzazione unica se e solo se ogni elemento irriducibile è primo e per ogni successione {an} tale che an+1 divide an esiste un indice i tale che an sia associato ad ai per ogni n>i.

17/03/2025 (70h): Risoluzione di esercizi. Riepilogo sulle nozioni di domini Euclidei, a ideali principali e a fattorizzazione unnica. Teorema: ogni dominio Euclideo è a ideali principali. Teorema: ogni dominio a ideali principali è a fattorizzazione unica. Esempi in Z[i] e Q[x]. Se un intero primo è congruo a 3 modulo (4) allora è primo in Z[i]. Se un intero di Gauss ha valutazione prima in Z allora è primo in Z[i].

20/03/2025 (73h): Risoluzione di esercizi. Interi di Gauss: caratterizzazione dei primi di Z che sono primi in Z[i], caratterizzazione dei primi in Z[i], fattorizzazione in Z[i], esempi. Un primo positivo in Z si scrive come somma di due quadrati se e solo se è congruo a 1 modulo (4). Campo dei quozienti di un dominio d'integrità: definizione e proprietà universale.

24/03/2025 (75h): Campo dei quozienti di un dominio d'integrità. Lemma di Gauss. Caratterizzazione degli irriducibili in R[x] quando R è un dominio a fattorizzazione unica. Se R è un dominio a fattorizzazione unica, allora R[x] è un dominio a fattorizzazione unica.

27/03/2025 (78h): Gli anelli dei polinomi in un numero finito di variabili con coefficienti in un campo o negli interi sono domini a fattorizzazione unica. Criterio di Schönemann-Eisenstein per domini d'integrità. Applicazioni ai polinomi ciclotomici. Radici in Frac(R) per polinomi a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica R. Criterio di irriducibilità tramite riduzione modulo un primo in domini d'inntegrità. La riduzione di x^4+1 modulo un qualunque primo p in Z è un polinomio riducibile. Esempi e risoluzione di esercizi.

31/03/2025 (80h): Radicale di un ideale, nilradicale di un anello. Spettro di un anello: definizione, topologia di Zariski, proprietà funtoriali. Moduli sinistri su un anello: definizioni, esempi, prime proprietà, omomorfismi di moduli sinistri, sottomoduli, nucleo e immagine, spazio di omomorfismi fra moduli e endomorfismi di un modulo sinistro, omomorfismo di anelli R -> End_R(M), moduli quoziente, teorema di omomorfismo per moduli sinistri.

03/04/2025 (83h): Primo, secondo e terzo teorema di isomorfismo per moduli su un anello. Combinazioni lineari, generatori, indipendenza lineare e basi per un modulo su un anello. Moduli liberi e moduli finitamente generati. Dato un R-modulo sinistro M, per ogni intero positivo n esiste una corrispondenza biunivoca fra le basi di M formate da n elementi e gli isomorfismi R^n -> M. Esempio di un anello non banale R tale che esista un isomorfismo di R-moduli sinistri fra R^n e R^m per ogni coppia di interi positivi n, m. Teorema di Binet per matrici a coefficienti in un anello commutativo. Una matrice quadrata a coefficienti in un anello commutativo R è invertibile se e solo se il suo determinante è invertibile in R. Ogni anello commutativo soddisfa la proprietà IBN di invarianza del numero di base. Definizione di rango per un modulo finitamente generato e libero su un anello commutativo. Lemma di Zorn. Dato un ideale proprio I di un anello R esiste un ideale massimale di R contenente I. Risoluzione di esercizi.

07/04/2025: Sospensione della didattica.

10/04/2025 (86h): Richiami su insiemi parzialmente ordinati: elementi minimali, elementi massimali, minimi, massimi, catene, maggioranti. Anelli Noetheriani: ogni dominio a ideali principali è un anello Noetheriano. Corollario: se J è un ideale proprio in un dominio a ideali principali allora esiste un ideale massimale contenente J (dimostrazione indipendente dal Lemma di Zorn). Se R è un dominio a ideali principali allora ogni sottoinsieme non vuoto del quoziente di R per li invertibili ammette elementi minimali. Se R è un anello commutativo allora {m_1,...,m_n} è una base del R-modulo R^n se e solo se il determinante della matrice che ha per colonne m_1,...m_n è invertibile in R. Identità di Bézout per domini a ideali principali. Se R è un dominio a ideali principali allora (a_1,...,a_n) si può estendere a una base di R^n se e solo se MCD(a_1,...,a_n)=1. Lunghezza di un elemento (a_1,...,a_n) in R^n dove R è un dominio a ideali principali. Esistenza di elementi di lunghezza minimale in un sottomodulo di R^n dove R è un dominio a ideali principali.

14/04/2025 (88h): Teorema di struttura per i sottomoduli di R^n, dove R è un dominio a ideali principali. Teorema di struttura per moduli finitamente generati su un dominio a ideali principali. Teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati. Successioni esatte corte di moduli su un anello. Risoluzione di esercizi.

24/04/2025 (91h): Successioni esatte corte di moduli e risultati sui moduli finitamente generati. Un anello commutativo è Noetheriano se e solo se ogni suo ideale è finitamente generato. Ogni sottomodulo di un modulo finitamente generato su un anello Noetheriano è finitamente generato. Decomposizione primaria per moduli finitamente generati su domini a ideali principali. Forma canonica razionale per endomorfismi di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Matrici compagne associate a polinomi monici. Teorema di Cayley-Hamilton-Frobenius. Polinomio minimo, esistenza e unicità. Forma canonica di Jordan per endomorfismi su uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo algebricamente chiuso.

28/04/2025 (93h): Estensioni di campi, sottocampi fondamentali, grado di un'estensione, fattorizzazione del grado di un'estensione. Elementi algebrici e trascendenti, omomorfismo di valutazione, un elemento s è trascendente su F se e solo se [F(s):F] è infinito, un elemento s è algebrico su F se e solo se [F(s):F] è finito. Polinomio minimo di un elemento algebrico su un campo, irriducibilità del polinomio minimo, un polinomio monico e irriducibile è il polinomio minimo di ogni sua radice.

05/05/2025 (95h): Lemma di Kuratowski-Zorn e Teorema del buon ordinamento. Data un'estensione di campi F->K, l'insieme degli elementi di K algebrici su F è un sottocampo di K. Il campo dei numeri algebrici è un'estensione infinita di Q. La composizione di due estensioni algebriche è un'estensione algebrica. Campi algebricamente chiusi: formulazioni equivalenti. Il campo dei numeri algebrici è algebricamente chiuso. Ogni campo ammette una chiusura algebrica.

08/05/2025 (98h): Unicità della chiusura algebrica di un campo a meno di isomorfismo non canonico. Campo di spezzamento di un polinomio: definizione, esempi, esistenza, unicità a meno di isomorfismo non canonico. Radici multiple, polinomi separabili, polinomi inseparabili. Se F->K è un campo di spezzamento per un polinomio non costante f in F[x] è privo di radici multiple se e solo se è coprimo con f' in F[x] se e solo se è coprimo con f' in K[x]. Se F è un campo di caratteristica zero, ogni polinomio irriducibile in F[x] è separabile. Se F è un campo di caratteristica p, un polinomio irriducibile f in F[x] è inseparabile se e solo se f(x)=g(x^p) per qualche g in F[x].

12/05/2025 (100h): Campi finiti: ogni campo finito possiede p^n elementi (p primo), esiste ed è unico (a meno di isomorfismo non canonico) un campo finito con p^n elementi (p primo), un campo finito con p^n elementi è il campo di spezzamento del polinomio x^{p^n}-x in F_p[x], il gruppo moltiplicativo degli invertibili in un campo finito è ciclico. Estensioni normali: definizione, un'estensione è normale e finita se e solo se è il campo di spezzamento di un polinomio. Estensioni separabili: definizione, estensioni semplici, teorema dell'elemento primitivo.

15/05/2025 (103h): Teorema dell'elemento primitivo. F-omomorfismi di un'estensione di campi F->K. Esempi. Cardinalità dell'insieme degli F-omomorfismi per estensioni separabili di grado finito. Gruppo di Galois di un'estensione: definizione, esempi, relazione con gli F-omomorfismi, cardinalità. Campo fissato da un sottogruppo del gruppo di automorfismi di un campo. Corrispondenze di Galois, estensioni Galoisiane. Data un'estensione Galoisiana di grado finito, le corrispondenze di Galois sono una l'inversa dell'altra.

19/05/2025 (105h): Risoluzione di esercizi. Teorema fondamentale della teoria di Galois: corrispondenza biunivoca, corrispondenza fra sottogruppi normali ed estensioni normali, corrispondenza fra indice di un sottogruppo e grado di un'estensione, gruppo quoziente nel caso di estensioni normali. Esempi. Teorema fondamentale dell'Algebra.

22/05/2025 (108h): Polinomi simmetrici. Teorema fondamentale sui polinomi simmetrici. Estensioni radicali in caratteristica 0: definizione, ogni estensione radicale può essere estesa ad una radicale e Galoisiana. Gruppi risolubili: definizione, esempi, il gruppo di Galois di un'estensione Galoisiana e radicale è risolubile (in caratteristica 0). Se F è un campo di caratteristica 0 che contiene tutte le radici n-esime dell'unità, allora il gruppo di Galois del campo di spezzamento del polinomio x^n-a in F[x] è abeliano. Dato F campo di caratteristica 0 e dato un polinomio f in F[x] risolubile per radicali, il gruppo di Galois del campo di spezzamento di f è risolubile. Teorema di Abel-Ruffini: il polinomio generico di grado n non è risolubile per radicali per n>4.

26/05/2025 (110h): Risoluzione di esercizi.

05/06/2025 (113h): Secondo esonero.

Appelli:

1. Primo appello: 18/06/2025 (alle ore 08.30 in Aula Levi-Civita), orali dal 19 Giugno - (testo, risultati)

2. Secondo appello: 16/07/2025 (alle ore 08.30 in Aula Levi-Civita), orali dal 29 Luglio - (testo, risultati)

3. Terzo appello: 04/09/2025 (alle ore 08.30 in Aula Levi-Civita), orali dal 8 Settembre - (testo, risultati)

4. Quarto appello: 17/09/2025 (alle ore 12.00 in Aula Levi-Civita), orali dal 22 Settembre - (testo, risultati)

5. Quinto appello: 14/01/2026

Esoneri:

1. Primo esonero: 17/12/2024 (alle ore 13.00 in Aula Levi-Civita) - (testo, risultati)

2. Secondo esonero: 05/06/2025 (alle ore 16.00 in Aula Levi-Civita) - (testo, risultati)

Il superamento delle prove di esonero dà diritto a sostenere la prova orale negli appelli di Giugno e Luglio.

Per partecipare al secondo esonero non è necessario aver superato il primo esonero. Sarà possibile recuperare uno dei due esoneri esclusivamente durante l'appello di Giugno.

Le soluzioni degli esoneri e degli esami si possono trovare negli appunti del corso.

Regole d'esame:

L'esame consiste di una prova scritta ed una prova orale.

La prova scritta è superata con una votazione minima di 18/30 e comprende esercizi, applicazioni pratiche e quesiti di natura teorica. Per prendere parte a una prova scritta è necessario prenotarsi tramite Infostud. Durante la prova scritta non è consentito l'uso di calcolatrici, dispositivi elettronici, appunti, libri.

La votazione ottenuta in una prova scritta rimpiazza eventuali votazioni ottenute negli esoneri o in precedenti prove scritte.

La prova orale consiste nella discussione di definizioni, enunciati e dimostrazioni, risoluzione di esercizi (selezionati fra quelli assegnati settimanalmente).

Il superamento di una prova scritta nella sessione di Giugno/Luglio dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente in uno degli appelli nella medesima sessione.

Il superamento di una prova scritta nella sessione di Settembre dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente in uno degli appelli della medesima sessione.

Il superamento della prova scritta nell'appello di Gennaio dà diritto a sostenere la prova orale esclusivamente nel medesimo appello.

Molte delle soluzioni degli esercizi settimanali si trovano negli appunti del corso.

Primo foglio di esercizi (testo).

Secondo foglio di esercizi (testo).

Terzo foglio di esercizi (testo).

Quarto foglio di esercizi (testo).

Quinto foglio di esercizi (testo).

Sesto foglio di esercizi (testo).

Settimo foglio di esercizi (testo).

Ottavo foglio di esercizi (testo).

Nono foglio di esercizi (testo).

Decimo foglio di esercizi (testo).

Undicesimo foglio di esercizi (testo).

Dodicesimo foglio di esercizi (testo).

Tredicesimo foglio di esercizi (testo).

Quattordicesimo foglio di esercizi (testo).

Quindicesimo foglio di esercizi (testo).

Sedicesimo foglio di esercizi (testo).

Diciassettesimo foglio di esercizi (testo).

Diciottesimo foglio di esercizi (testo).

Diciannovesimo foglio di esercizi (testo).

Ventesimo foglio di esercizi (testo).

Ventunesimo foglio di esercizi (testo).

Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997.

Israel Nathan Herstein, Algebra, Editori Riuniti Univ. Press, 2010.

Appunti del corso, versione preliminare aggiornata al 10/09/2025 (contiene sicuramente errori e inesattezze che potete segnalarmi tramite mail).