Prof. Francesco Amoroso, Univ. Torino

Due seminari a cura dei dottorandi Danilo Avaro e Riccardo Bernardini 

Venerdì 24 gennaio aula H del Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo

10:00 - 11:00 Danilo Avaro, Una minorazione dell’altezza canonica per i punti di una curva ellittica definiti in un’estensione abeliana

11:00 - 12:00 Riccardo Bernardini, Minorazione dell’esponente del gruppo delle classi in campi CM

Corso di dottorato presso Dip. Matematica Guido Castelnuovo.

Titolo: Introduzione alla teoria delle altezze.

Durata: 16 ore

Gli appunti del corso sono qui (possibilità di aggiornamenti)

Riassunto del corso del Prof. Amoroso:

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Il corso si propone per prima cosa di dare una breve introduzione alla teoria delle altezze normalizzate su gruppi algebrici, in particolare su una potenza del gruppo moltiplicativo.

Dopo aver richiamato le nozioni di valutazioni e valori assoluti su un campo di numeri si darà la definizione di altezza di Weil nello spazio proiettivo, e quindi quella di altezza normalizzata per sotto-varietà di A, dove A è una potenza del gruppo moltiplicativo oppure una varietà abeliana.

Si caratterizzeranno quindi punti (e sotto-varietà) di altezza nulla ci si porrà il problema della minorazione dell’altezza, problema coperto da una vasta bibliografia. Si tratterà da prima il problema, geometricamente banale, della minorazione dell’altezza di numeri algebrici: congettura di Lehmer, teorema di Dobrowolski, campi nei quali lo zero non è un punto di accumulazione per l’altezza.

Si considereranno infine analoghi problemi per sottovarietà di A, dove A è una potenza del gruppo moltiplicativo oppure una varietà abeliana.

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Per le dottorande e dottorandi che vogliono passare l'esame, ecco proposte di temi.

1) Equidistribuzione.

Approccio di Bombieri-Zannier 2001 per dimostrare che un’estensione galoisiana con gradi locali limitati a un primo ha la proprietà (B). Quindi [BZ], teoremi 2 e 3. Come scritto dagli autori, il teorema 3 può essere visto come un analogo p-adico del teorema di equidistribuzione di Bilu.

Si potrà quindi completare con l’articolo di Rumely [R] dove si trova un’idea della dimostrazione del teorema di dimostrazione classico in termini di teoria del potenziale, e un cenno a estensioni nel caso non Archimedeo. Si veda anche [PS] per un approccio in termine di dinamica.

Oppure, a scelta, presentare recenti miglioramenti delle stime di [BZ], vedi [P].

Bibliografia:

[BZ] E. Bombieri and U. Zannier. A note on heights in certain infinite extensions of Q. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend.

Lincei (9) Mat. Appl., 12:5–14, 2001.

[P] L. Pottmeyer, Small totally p-adic algebraic numbers, Int. J. Number Theory 14 (10) (2018) 2687-2697

[PS] C.Petsche and E. Stacy. A dynamical construction of small totally p-adic algebraic numbers. J. of Number Theory, volume 202, pages 27-36. 2019

[R] R. Rumely. On Bilu’s equidistribution theorem. In Spectral problems in geometry and arithmetic (Iowa City, IA, 1997), volume 237 of Contemp. Math., pages 159–166. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.

2) Minorazione dell’altezza ed esponente del gruppo delle classi di ideali.

Si tratta di dimostrare che l’esponente del gruppo delle classi di un’estensione galoisiana CM tende all’infinito col discriminante, [AD] (3) p.86. Si potrà quindi completare con analoghi risultati [A] per i campi generati da un numero di Salem.

[A] Une minoration pour l'exposant du groupe des classes d'un corps engendré par un nombre de Salem. Int. J. Number Theory, 3 (2007), no. 2, 217-229.

[AD] F. Amoroso and R. Dvornicich. Lower bounds for the height and size of the ideal class group in CM-fields. Monatsh. Math., 138(2):85–94, 2003.

3) Minorazione dell’altezza di Néron-Tate per punti di curve ellittiche definite su estensioni abeliane.

Si tratta di riassumere i punti essenziali degli articoli [B] (caso CM) e [S] (caso non CM), dove si dimostra una minorazione per l’altezza di

Néron-Tate h(P) per un punto P di una curva ellittica, definito su un’estensione abeliana.

[B] M. H. Baker. Lower bounds for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions. Int. Math. Res. Not., (29):1571–1589, 2003.

[S] J. H. Silverman. A lower bound for the canonical height on elliptic curves over abelian extensions. J. Number Theory, 104(2):353–372, 2004.