MQ 2023-2024

L'esame scritto consiste in due esercizi da svolgere in un tempo massimo di tre ore.
Ammissione all'orale: voto scritto >= 15
Durante lo scritto si possono consultare le tavole PDG dei Clebsch-Gordan, appunti personali, formulari personali e libri di teoria (ad esempio: Shankar, Forte, Picasso, Sakurai, Griffiths).
Non possono essere consultati libri che contengano raccolte di esercizi svolti (ad esempio il Testa-Patrì).
Durata dello scritto ai fini dell'orale:

Appello in cui si è superato lo scritto Appelli in cui si può sostenere l'orale

1o invernale 1o e 2o invernale

2o invernale 2o invernale, 1o estivo oppure (solo per studenti fuori corso) straordinario di Maggio

Straordinario di Maggio Straordinario di Maggio, 1o estivo

(solo studenti fuori corso)

1o estivo 1o e 2o estivo

2o estivo 2o estivo, autunnale

Autunnale Autunnale

Straordinario di Novembre Straordinario di Novembre

(solo studenti fuori corso)

Consegnando uno scritto si annulla la validità di quello precedente, mentre ritirandosi la si mantiene .

Lezioni

25/09/2023 [2h]: Introduzione al corso. Fisica alla fine del 1800; constanti fondamentali e cubo delle teorie; analisi dimensionale.
26/09/2023 [2h]: Unità di misura fondamentali, confronto tra sistemi internazionale, di Gauss (CGS) e di Heaviside-Lorentz. Radiazione di corpo nero: calcolo classico di Rayleigh-Jeans e catastrofe ultravioletta; formula di Planck e sua derivazione attraverso l'ipotesi di quantizzazione. [B] cap.1, [W] cap. 1
27/09/2023 [2h]: Conferma dell'ipotesi quantistica di Planck: calore specifico dei solidi ed effetto fotoelettrico. Esperimento di Rutherford e struttura atomica (cenni). Spettri atomici e ipotesi di Bohr: calcolo semiclassico dei livelli energetici e del raggio atomico. Ipotesi sulla natura ondulatoria della materia di de Broglie; equazione di Schroedinger. [B], [W]
29/09/2023 [2h]: Quantizzazione dei livelli energetici come conseguenza della richiesta di regolarità della funzione d'onda; descrizione di una particella libera in termini di un pacchetto d'onda, principio di indeterminazione di Heisenberg; interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Limite di applicabilità della Meccanica Quantistica e limite classico. [W],[CT]
02/10/2023 [2h]: Esperimento della doppia fenditura con onde elettromagnetiche: interferenza e diffrazione. Esperimento con elettroni: probabilità e ampiezza di probabilità; effetto dell’osservazione della posizione degli elettroni. [F], [FH] cap.1
03/10/2023 [2h]: Principio di indeterminazione e sue conseguenze nell’esperimento della doppia fenditura. Esperimenti a doppia fenditura realizzati in laboratorio (con luce, neutroni, molecole, elettroni); esperimento di Zeilinger con molecole di fullerene e sue implicazioni. [F], [FH] cap.1, [FR] Definizione assiomatica della meccanica quantistica. Primo postulato: stati come vettori su spazio di Hilbert. [W], [D], [FR]
04/10/2023 [2h]: Proprietà dei vettori di uno spazio di Hilbert: vettori linearmente indipendenti, vettori ortogonali, insiemi completi, basi. Algebra degli operatori lineari sullo spazio di Hilbert e sue proprietà: autovalori ed autovettori di operatori Hermitiani; proiettori, funzioni di operatori. Secondo Postulato: caratterizzazione di una base di stati in termini dei risultati di misure di osservabili. Corrispondenza tra osservabili e operatori Hermitiani. [W], [D], [FR]
6/10/2023 [2h]: Osservabili compatibili e base di autostati simultanei; set completo di osservabili. Terzo Postulato: media statistica di osservabili, risultati della misura di una osservabile e loro probabilità. Stati fisici come raggi dello spazio di Hilbert, relazioni di equivalenza, spazio quoziente. [W], [D], [FR]
9/10/2023 [2h]: Relazione di indeterminazione. [P],[FR] Quarto Postulato: collasso della funzione d'onda (interpretazione di Copenhagen), formulazione di Von Neumann nel caso di autovalori degeneri; [P] discussione critica sul quarto postulato e incompletezza della meccanica quantistica. [W]
10/10/2023 [2h]: Teoria delle rappresentazioni: coordinate associate ad un ket e matrice associata a operatori lineari, analogia con lo spazio dei vettori del piano. Cambi di base e operatori unitari, punto di vista passivo e attivo. Operatori con spettro continuo, rappresentazione di Schroedinger come mapping su L2, funzione d’onda. [D], [P], [FR]
11/10/2023 [2h]: Operatore posizione come limite di operatori discretizzati ad autovalori numerabili. [P] Rappresentazione di Schroedinger: base di autofunzioni della posizione, delta di Dirac e sue proprietà, interpretazione della funzione d'onda come densità di probabilità. [P], [FR] Esercizio d'esame (n.1 del 27/6/2023): prima parte.
13/10/2023 [2h]: Esercizio d'esame (n.1 del 27/6/2023): seconda parte. Trasformazioni di simmetria e loro realizzazione in meccanica quantistica: operatori unitari e anti-unitari. [W], [S]
16/10/2023 [2h]: Trasformazioni di simmetria in meccanica classica (formalismo Lagrangiano e Hamiltoniano): trasformazioni attive e passive, trasformazioni canoniche, parentesi di Poisson; simmetrie di un sistema fisico e quantità conservate, teorema di Noether, esempi di traslazioni spaziali e temporali, rotazioni, generatori di trasformazioni canoniche come costanti del moto. [S] cap.2, [Tmc]
17/10/2023 [2h]: Trasformazioni di simmetria in MQ: trasformazioni infinitesime e generatori; punti di vista attivo e passivo; generatori come costanti del moto. Quinto Postulato: corrispondenza tra generatori delle trasformazioni canoniche in meccanica Hamiltoniana e generatori delle trasformazioni in MQ. [FR], [W], [GR] cap. 6
18/10/2023 [2h]: Traslazioni spaziali: impulso come generatore e sua espressione in rappresentazione di Schroedinger; arbitrarietà della rappresentazione dell’impulso rispetto ad un cambio di base. Regole di commutazione canoniche. Relazione di indeterminazione di Heisenberg. Analogia tra parentesi di Poisson e commutatore, regole di commutazione canoniche come postulato di quantizzazione. Rappresentazione degli impulsi, onde piane come autostati dell’impulso in rappresentazione di Schroedinger. [P],[FR],[S]
20/10/2023 [2h]: Azione dell’operatore posizione in rappresentazione dell’impulso. Operatori limitati e non, problema della definizione degli operatori posizione e impulso su L2. Equazione di Schroedinger e sue soluzioni; autovalori propri e impropri dell’hamiltoniana. [P], [FR] Rotazioni e loro generatori, regola di commutazione del momento angolare. Gruppi di simmetria e loro proprietà. [S], [W], [FR]
23/10/2023 [2h]: Rappresentazione lineare di un gruppo su uno spazio vettoriale. Evoluzione temporale come traslazione temporale e Hamiltoniana come suo generatore. Equazione di Schroedinger per i ket e per le funzioni d'onda. Equazione di Schroedinger per l'operatore di evoluzione temporale e sua soluzione. Autostati dell'energia come stati stazionari; evoluzione temporale di un ket generico nella base degli autostati dell'Hamiltoniana. [FR]
24/10/2023 [2h]: Trasformazione di parità e sue proprietà. [S], [W], [GR] sez. 6.4. Schema di Heisenberg: evoluzione temporale degli operatori; teorema di Ehrenfest e limite classico. [FR], [S]
25/10/2023 [2h]: Particella libera: onde piane e spettro dell'energia, teorema di degenerazione; pacchetto d'onda e sua evoluzione temporale, velocità di gruppo; pacchetto d'onda gaussiano come stato di minima dispersione; dispersione del pacchetto gaussiano in funzione del tempo. [FR]
27/10/2023 [2h]: Particella in un intervallo: autofunzioni dell'energia e dell'operatore parità, spettro dei livelli energetici; teorema di non degenerazione; sottigliezze matematiche legate all'operatore impulso. [FR], [S]
30/10/2023 [2h]: Esercizio 4 su particella confinata in un intervallo; Esercizio 5 su sistema a due livelli (n. 14, 15 di [FR])
31/10/2023 [2h]: Particella in una buca di potenziale 1D: strategia di soluzione dell'equazione di Schroedinger per stati legati; condizioni di continuità della funzione d'onda e della sua derivata prima; spettro di livelli energetici, limite di buca infinita. [PT], [P]
3/11/2023 [2h]: Considerazioni generali sulle autofunzioni e gli autovalori dell'Hamiltoniana per potenziali generici 1-dimensionali, quantizzazione dei livelli energetici e degenerazione dello spettro. Teorema dei nodi (solo enunciato). [S], [ER] sez. 5.6 e 5.7, [P],[FR]
6/11/2023 [2h]: Particella su cerchio (Esercizio 6): spettro dei livelli energetici, autofunzioni dell'Hamiltoniana e dell'operatore imnpulso; considerazioni sull'operatore posizione. [T] Oscillatore armonico 1-dimensionale: proprietà generali; risoluzione con metodo algebrico, operatori di innalzamento e abbassamento, spettro dei livelli energetici. [P], [S], [CT] cap. V
7/11/2023 [2h]: Rappresentazione degli operatori posizione e impulso come matrici infinito-dimensionali; relazione di indeterminazione posizione-impulso per autostati dell'Hamiltoniana, versione quantistica del teorema del viriale. Autofunzioni dell'energia per l'oscillatore armonico, polinomi di Hermite. [P],[FR] Autofunzioni con grande numero di eccitazione e limite classico. [S]
8/11/2023 [2h]: Stati coerenti dell'oscillatore armonico: definizione, decomposizione nella base degli autostati dell'Hamiltoniana; indeterminazione di posizione, impulso ed energia; evoluzione temporale; funzione d'onda (senza derivazione). [CT] cap. V compl. G
10/11/2023 [2h]: Esercizi 7 e 9 su potenziale con delta di Dirac (solo stati legati). Esercizio 8 su oscillatore armonico.
13/11/2023 [2h]: Scattering di particelle su potenziale in 1 dimensione: modellizzazione in termini di pacchetti d'onda e calcolo dinamico dei coefficienti di riflessione e trasmissione; limite di onde piane. Conservazione della probabilità, corrente di probabilità ed equazione di continuità. [P] sez. 17.3, [S] sez. 5.3, 5.4
14/11/2023 [2h]: Coefficienti di riflessione e trasmissione come rapporto di correnti di densità di probabilità; invarianza dei coefficienti di riflessione e trasmissione per onde incidenti da sinistra o da destra; onda di scattering, teorema ottico (1D). Considerazione su scattering in 3D, sezione d'urto. [P] sez. 17.3.
15/11/2023 [2h]: Barriera di potenziale: calcolo dei coefficienti di riflessione e trasmissione per E<V0; effetto tunnel, limite di barriera larga o alta. [FR], [P] Gradino di potenziale: calcolo dei coefficienti di riflessione e trasmissione per E<V0 ed E>V0; limite di piccola energia cinetica. [FR], [S]
16/11/2023 [2h]: Teoria delle perturbazioni indipendente dal tempo (Rayleigh-Schroedinger), caso non-degenere: correzione all'energia all'ordine quadratico e al ket di stato all'ordine lineare; rinormalizzazione della funzione d'onda. Validità dell'approssimazione e convergenza della serie perturbativa. Esempio di sistema a due livelli. [Ba] par. 10.5, [S], [P], [FR]
17/11/2023 [2h]: Esempi di applicazione della teoria delle perturbazioni: Oscillatore armonico 1-dimensionale in campo elettrico lineare; Oscillatore armonico 1-dimensionale in campo elettrico costante. [S], [CT] cap. V compl. F, cap. XI compl. A
20/11/2023 [2h]: Teoria delle pertubazioni indipendente dal tempo (Rayleigh-Schroedinger), caso degenere. [Ba] par. 10.5, [FR], [CT] Sistemi con più di un grado di libertà: prodotto diretto di spazi di Hilbert, sistemi composti, stati fattorizzabili ed entangled, evoluzione temporale di sistemi composti con Hamiltoniana separabile. Soluzione dell'equazione di Schroedinger per Hamiltoniane separabili, metodo della separazione delle variabili. [S], [FR], [P] par. 15.1
21/11/2023 [2h]: Esempi di Hamiltoniane separabili: particella in una scatola in 3D, oscillatore armonico 3D (spettro e degenerazione dei livelli energetici, autofunzioni dell'Hamiltoniana e loro parità). [S], [FR]
22/11/2023 [2h]: Sistema a due corpi: cambio di variabili e soluzione per separazione di variabili. Sistemi con potenziale centrale in 3D: coordinate sferiche, espressione dell'energia cinetica in termini degli operatori di impulso radiale e di momento angolare. [FR], [P] cap. 11, [CT] sez. VII A, B
24/11/2023 [2h]: Sistemi con potenziale centrale in 3D: strategia di risoluzione del problema agli autovalori attraverso le autofunzioni del momento angolare; spettro degli autovalori del momento angolare (metodo algebrico). [FR], [S]
27/11/2023 [2h]: Rappresentazione matriciale del momento angolare, matrici D di Wigner come rappresentazioni irriducibili del gruppo delle rotazioni. Degenerazione dell'Hamiltoniana, teorema di Wigner-Eckart per operatori scalari. Autofunzioni del momento angolare nella base delle coordinate: armoniche sferiche, polinomi di Legendre e loro proprietà. [CT] sez. VI D, [S], [FR], [GR] sez. 6.7
28/11/2023 [2h]: Restrizione ad autovalori interi del momento angolare orbitale come conseguenza della periodicità delle funzioni d'onda sulla sfera. Rotazioni in 2 dimensioni. Sistemi con potenziale centrale in 3D: andamento della funzione d'onda per r->0. [S], [FR]
29/11/2023 [2h]: Atomo di idrogeno: problema a due corpi, studio del moto relativo in coordinate polari; stima della distanza ed energia caratteristiche attraverso l'analisi dimensionale; risoluzione dell'equazione di Schroedinger radiale con formula ricorsiva. [CT] cap. VII, [S]
1/12/2023 [2h]: Atomo di idrogeno: spettro dei livelli energetici e loro degenerazione; autofunzioni radiali e loro proprietà; teorema del viriale, calcolo del valor medio <1/r> e dimensioni dell'atomo. [CT] cap. VII, [S]
4/12/2023 [2h]: Effetto Stark quadratico e lineare: un esempio di applicazione della teoria delle perturbazioni e dell'uso di regole di selezione. [S], [P]
5/12/2023 [2h]: Oscillatore armonico isotropo 3D: soluzione dell'equazione di Schroedinger in coordinate sferiche con formula ricorsiva; spettro dei livelli energetici e loro degenerazione, autofunzioni dell'Hamiltoniana. [S] Simmetrie e degenerazione dei livelli energetici. [FR] sez. 11.2.4, [GR] sez. 6.6, [M] cap. XV sez. III.11
6/12/2023 [2h]: Stati con momento angolare 1: rappresentazione reale 3-dimensionale delle rotazioni, gruppo SO(3) e sue proprietà. Spin: azione delle rotazioni su gradi di libertà interni, analogia con campo vettoriale classico; generatori di spin e momento angolare totale. Stati con spin 1/2: rappresentazione 2-dimensionale delle rotazioni, gruppo SU(2), matrici di Pauli e loro proprietà; formula di Eulero per matrici di rotazione. [FR], [S]
11/12/2023 [2h]: Azione delle rotazioni su stati di spin 1/2: rotazione del valore medio dello spin, rotazione del ket di stato. Rotazioni di 360 gradi: cambio di segno degli stati con spin semi-intero, regola di superselezione, rappresentazioni proiettive del gruppo delle rotazioni. Particelle con spin e loro descrizione: ket di stato e funzione d'onda spinoriale. [S], [FR], [Ba] sez. 7.6
12/12/2023 [2h]: Particella in campo elettromagnetico esterno: Lagrangiana ed Hamiltoniana classiche. Interazione con campo magnetico costante, momento di dipolo magnetico, precessione di Larmor del momento angolare orbitale. Contributo dello spin al dipolo magnetico e sua derivazione dall'equazione di Pauli. [S], [SN], [ER] sec. 8.2
13/12/2023 [2h]: Precessione di spin; esperimenti di interferometria neutronica per misurare la rotazione della fase di uno spinore. Esperimento di Stern-Gerlach e misura dello spin dell'elettrone. [ER] sec. 8.3, [SN], [S]
15/12/2023 [2h]: Composizione di due momenti angolari, costruzione della base di autostati del momento angolare totale: esempio 1/2x1/2=0+1; strategia per momenti angolari generici. [S], [CT] cap. X
18/12/2023 [2h]: Composizione di due momenti angolari: esempio 1x1=0+1+2; trasformazione di base e coefficienti di Clebsch-Gordan. [S], [CT] cap. X. Sistemi di 2 particelle identiche: operatore di scambio e sue proprietà. [S]
19/12/2023 [2h]: Sistemi di 2 particelle identiche: osservabili e loro invarianza sotto scambio, regola di superselezione; postulato di simmetrizzazione, fermioni e bosoni, relazione spin-statistica, principio di esclusione di Pauli; funzioni d'onda. Scattering di due particelle identiche; termine di scambio. [S], [Ba] sez. 17.1-17.3
20/12/2023 [2h]: Limite di separabilità per un sistema di 2 particelle identiche. Esempi di sistemi di due particelle identiche: due bosoni di spin s=0, due fermioni di spin s=1/2 in un intervallo 1D; due fermioni di spin s=1/2 in un scatola 3D. Sistemi di N particelle identiche: operatori di scambio e loro proprietà; spazio di Hilbert e suoi sottospazi invarianti rispetto al gruppo delle permutazioni; postulato di simmetrizzazione, ket completamente simmetrici o antisimmetrici, determinante di Slater. [S], [Ba] sez. 17.1-17.3
22/12/2023 [2h]: Invarianza di gauge in meccanica classica: legge di trasformazione della Lagrangiana e dell'Hamiltoniana, invarianza delle equazioni del moto. Invarianza di gauge in meccanica quantistica: invarianza dell'equazione di Schroedinger; equivalenza con un cambio di base; punto di vista attivo e invarianza delle quantità fisiche; confronto tra trasformazioni di simmetria e trasformazioni di gauge. [CT] Compl. HIII, [W] sez. 10.2, [SN] sez. 2.6, [S] sez. 18.4
8/1/2024 [1h]: Preparazione all'esame scritto (con il prof. Nardecchia; aula Amaldi ore 11:00-12:00)
10/1/2024 [2h]: Preparazione all'esame scritto (con il prof. Nardecchia; aula Amaldi ore 10:00-12:00)
12/1/2024 [2h]: Preparazione all'esame scritto (con il prof. Nardecchia; aula Amaldi ore 12:00-14:00)

Materiale didattico

Video con Risoluzione di Esercizi d'Esame

Esercizi n.1 del 21/5/2020 e n.2 del 18/9/2017 (lezione del 17/1/2022) [video]
Esercizi n.1 del 1/2/2017 e n.2 del 14/2/2020 (lezione del 18/1/2022) [video]
Esercizi n.2 del 13/7/2022 e n.1 del 21/5/2022 (lezione del 15/12/2022) [video]
Esercizio 1 del 16/2/2018 [testo+soluzione]; Esercizio 1 del 13/7/2022 [testo+soluzione] (lezioni del 16/1/2023 e 17/1/2023) [video parte 1, parte 2]
Esercizio n.2 del 28/6/2022 [testo+soluzione] (lezione del 17/1/2023) [video]

Esercizi:

Appunti:

Materiale extra:

Tabella PDG con i coefficienti di Clebsch-Gordan

Libri di riferimento:

[S] R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics (second edition), Springer
[P] L. Picasso, Lezioni di Meccanica Quantistica (seconda edizione), edizioni ETS
[CT] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics, Wiley-VCH
[FR] Stefano Forte, Luca Rottoli, Fisica Quantistica, Zanichelli editore
[W] S. Weinberg, Lectures on Quantum Mechanics (seconda edizione), Cambridge Univ. Press

Ulteriori referenze per approfondimenti:

[SN] J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics (third edition), Cambridge Univ. Press
[Ba] Leslie E. Ballentine, Quantum Mechanics (second edition), World Scientific
[ER] Eisberg, Resnik, Quantum Physics (second edition), Wiley ed.
[F] R. Feynman, La fisica di Feynman (versione originale: The Feynman Lectures on Physics), volume III “Meccanica Quantistica”
[FH] R. Feynman, A. Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, Dover Publications
[D] P.A.M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford Univ. Press
[GR] D. Griffiths, D.F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics (third edition), Addison-Wesley ed.
[B] David Bohm, Quantum Theory, Dover
[L] L. Landau, E. Lifsits, Meccanica Quantistica - Teoria non relativistica, Editori Riuniti
[T] D. Tong, Quantum Mechanics, lecture notes.
[Tmc] D. Tong, Classical Dynamics, lecture notes.
[M] A. Messiah, Quantum Mechanics, Dover
[PT] S. Patrì, M. Testa, Fondamenti di Meccanica Quantistica, Edizioni Nuova Cultura

Articoli e materiale di approfondimento:

Sulle costanti fondamentali e il cubo delle teorie:

Okun, The fundamental constants of physics, Usp. Fiz. Nauk 161 (1991) 177
Duff, Okun, Veneziano, Trialogue on the number of fundamental constants, JHEP 0203 (2002) 023, arXiv:physics/0110060

Sul problema della misura e le disuguaglianze di Bell:

S. Coleman, Quantum Mechanics in your face, arXiv:2011.12671, video
[W] sezione 3.7 e capitolo 12 ; [Ba] capitolo 20; [B] capitolo 20; [FR] capitolo 15

Sulla relazione tra simmetrie e degenerazione dei livelli enegetici:

L. Susskind, The Theoretical Minimum, lezione su "Symmetry Groups and Degeneracy" (video)

Sull'esperimento di Stern Gerlach

B. Friedrich, Isr. J. Chem. 2023, 63, e202300047, doi.org/10.1002/ijch.202300047 (pdf)

Link utili

iNSPIRE - motore di ricerca articoli in fisica delle alte energie
Leonard Susskind: The Theoretical Minimum
David Tong: Lectures on Theoretical Physics
Gerard 't Hooft: How to become a GOOD Theoretical Physicist

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