Descripción: Este trabajo desarrolla un nuevo marco combinatorio en la intersección de la teoría de Lie y la combinatoria algebraica, basado en una generalización del juego de Kostant. El trabajo comienza estableciendo los fundamentos de sistemas de raíces, la clasificación de diagramas de Dynkin y la estructura de los grupos de Weyl. Posteriormente, se analiza el juego de Kostant original como herramienta para generar raíces positivas, demostrando su terminación única en diagramas de lazo simple y su papel en una clasificación alternativa de los mismos.
La contribución principal es una generalización multivértice del juego que permite modificar múltiples vértices de un diagrama de Dynkin simultáneamente. Se prueba que las configuraciones resultantes de este nuevo juego establecen una biyección natural con los elementos del cociente W/W_J de grupos de Weyl por subgrupos parabólicos. Este formalismo se aplica a problemas en geometría algebraica, particularmente en casos específicos de la conjetura de Mukai mediante polinomios de Hilbert, y se implementa computacionalmente en Java. Los resultados ofrecen nuevas perspectivas combinatorias para estudiar problemas de conteo de raíces, la regularidad de lenguajes de palabras reducidas y la construcción de Tableaux de Young.
Descripción: Este artículo tiene como objetivo presentar una demostración guiada del teorema de clasificación de los grupos de Lie compactos conexos. Se explorará el camino que va desde la definición de un grupo de Lie compacto hasta su álgebra de Lie, la construcción de sistemas de raíces a partir de esta álgebra, y finalmente la representación de estos sistemas mediante diagramas de Dynkin, en esta parte se introduce una idea innovadora con la cual se pretende clasificar los diagramas de Dynkin de una manera diferente a la tradicional: mediante el juego de Kostant. Posteriormente, se recorrerá el camino inverso: cómo, a partir de un diagrama de Dynkin, se puede reconstruir el sistema de raíces, el álgebra de Lie semisimple y, finalmente, los grupos de Lie compactos asociados. Se destacarán herramientas fundamentales como el mapeo exponencial, la descomposición de Cartan (en el contexto de espacios de raíces) y las relaciones de Serre, proporcionando un tratamiento detallado en cada paso.