En esta sesión vamos a examinar el período conocido como "crisis de los fundamentos" y las repercusiones que tuvo en el tratamiento contemporáneo de la teoría de conjuntos el trabajo realizado para superar esta crisis.
Vamos a introducir en esta sesión los elementos principales del cálculo proposicional. Presentamos los operadores lógicos usuales. Utilizando estos operadores y los signos de agrupación, aprenderemos a formar expresiones correctas.
En esta sesión continuamos estudiando el cálculo proposicional; utilizamos las tablas de verdad para dar significado a las expresiones complejas. Hablamos también de las tautologías y las contradicciones.
En esta sesión examinamos una serie de tautologías que son fundamentales para toda la matemática, pues sobre ellas descansa la corrección de las argumentaciones utilizadas en las demostraciones.
En esta sesión presentamos los elementos que conforman un sistema formal y damos un ejemplo que, a pesar de su aparente simplicidad, permite ilustrar aspectos interesantes.
Empezamos esta sesión hablando de la terminología estándar usada para los teoremas y pasamos luego a examinar los métodos generales de demostración en matemática clásica: las demostraciones directas, por la contrarrecíproca y por reducción al absurdo.
Presentamos en esta sesión los dos primeros axiomas de nuestra teoría y demostramos las propiedades más importantes de la igualdad y de la contenencia entre conjuntos. El conjunto vacío hace su aparición en esta sesión.
En esta sesión continuamos el estudio de la teoría de conjuntos: introducimos el esquema axiomático de separación y lo usamos para definir intersecciones y diferencias; también vemos cómo este axioma nos libra de paradojas como las de Russell, Berry y Cantor. Presentamos además un par de axiomas adicionales para definir la unión conjuntista y formar conjuntos finitos con cualquier cantidad de elementos.
Establecemos las propiedades fundamentales de las uniones, intersecciones y diferencias conjuntistas. Presentamos también la diferencia simétrica y sus propiedades fundamentales.
Definimos, en esta sesión, la noción de complemento de un conjunto con respecto a un referencial y mostramos sus propiedades centrales. Presentamos también, con ayuda de nuestro sexto axioma, la noción importantísima del conjunto de partes de un conjunto y probamos algunas de sus propiedades.
En esta sesión introducimos la construcción fundamental de par ordenado y, con ayuda de ella, definimos el producto cartesiano de dos conjuntos y establecemos las propiedades fundamentales de este producto.
En esta sesión extendemos las operaciones de unión e intersección a colecciones arbitrarias de conjuntos y generalizamos las propiedades más importantes de estas operaciones.
Hacemos un trabajo similar al de la sesión anterior extendiendo las operaciones de unión e intersección, pero usando ahora familias indizadas de conjuntos; presentamos las variantes correspondientes para las propiedades más importantes de las uniones e intersecciones.
En esta sesión damos las definiciones y propiedades iniciales de las relaciones binarias definidas sobre un par de conjuntos.
Presentamos las dos operaciones fundamentales entre relaciones: composición e inversión y estudiamos sus propiedades fundamentales.
Centramos nuestra atención ahora en las relaciones de equivalencia y, con la ayuda de la noción de clases de equivalencia, presentamos la construcción de conjunto cociente que es importantísima para toda la matemática.
En esta sesión establecemos la conexión que existe entre particiones de un conjunto y relaciones de equivalencia definidas sobre el conjunto; como vamos a ver, se trata de dos caras de una misma moneda.
En esta sesión presentamos las relaciones de orden parcial sobre un conjunto. Ilustramos con ejemplos los conceptos de órdenes parciales totales y no totales y definimos algunos elementos especiales en los conjuntos parcialmente ordenados: elementos maximales, elementos minimales, máximo y mínimo.
Continuamos estudiando, en esta sesión, los conjuntos parcialmente ordenados. En particular, presentamos las nociones de cotas superiores, cotas inferiores, extremo superior y extremo inferior y estudiamos algunas de sus propiedades fundamentales.
En esta sesión damos las definiciones y propiedades iniciales de las funciones entre un par de conjuntos.
Continuamos nuestro estudio de las funciones: presentamos, a manera de ejemplo, las funciones identidad, las inclusiones y las funciones constantes. Luego nos ocupamos de estudiar qué condiciones se requieren para cambiar el codeominio de una función y cómo restringir su dominio.
Introducimos en esta sesión las propiedades muy importantes (y deseables) de inyectividad y sobreyectividad de una función. La biyectividad no es otra cosa que tener estas dos propiedades de manera simultánea.
Aprovechando lo que ya estudiamos sobre la composición de relaciones, estudiamos ahora la compuesta de dos funciones y vemos cómo se comporta esta compuesta con respecto a la inyectividad y a la sobreyectividad (y, por lo tanto, también con respecto a la biyectividad) de de las funciones involucradas.
Estudiamos el problema de la invertibilidad de una función y establecemos, como resultado fundamental, que una función es invertible si y solo si es biyectiva.
Definimos las imágenes directas (mediante una función) de subconjuntos del dominio y las imágenes inversas (mediante una función) de subconjuntos del codominio, y establecemos sus propiedades fundamentales.
Generalizamos, en esta sesión, la construcción del producto cartesiano a una familia no vacía de conjuntos; introducimos las proyecciones asociadas y demostramos la propiedad universal de los productos.
En esta sesión, aprovechando la noción de biyección entre conjuntos, hacemos una pequeña introducción al estudio de la equipotencia.