Resumo:

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que os números naturais n maior ou igual a 2 podem ser escritos de forma única (a menos da ordem dos fatores) como produto de primos. Mas em outras estruturas algébricas, a fatoração pode não existir (como em certos subaneis dos polinômios em uma variável com coeficientes racionais) ou, caso exista, pode não ser única (como no anel de inteiros de um corpo de números algébricos ou o monoide das sequências soma-zero sobre um grupo abeliano). Por exemplo, se os elementos de um anel H podem ser escritos de várias formas distintas como produto finito de irredutíveis, digamos, a = u1 . . . uk = v1 . . . vm, então o conjunto de comprimentos de  a ∈ H, L(a) = {k ∈ N | ∃ u1, . . . , uk irredutíveis tais que a={u1 . . . uk}, e o sistema dos conjuntos de comprimentos de H, L(H) = {L(a) | a ∈ H}, são meios de descrever a não-unicidade de fatorações em H. Além disso, para k ∈ N, seja Uk(H) o conjunto de todos os m ∈ N tais que existem irredutíveis  u1, . . . , uk, v1, . . . , vm satisfazendo  u1 . . . uk = v1 . . . vm. Sejam λk(H) = min Uk(H) e ρk(H) = sup Uk(H) (k-ésima elasticidade). Sabe-se que  λk(H) pode ser escrito como função de ρk(H), que por sua vez pode ser cotado inferior e superiormente pela constante de Davenport de G que é definida como o comprimento máximo de uma sequência soma-zero minimal. Os conjuntos  L(H) e Uk(H) são, em geral, bem estruturados (se parecem com progressões aritméticas). Por exemplo, sob hipóteses razoavelmente fracas tem-se que Uk(H) = [λk(H), ρk(H)] ∩ Z. Isso torna a k-ésima elasticidade um dos objetos mais importantes para descrever não-unicidade de fatorações. Nesse minicurso, vamos introduzir de forma mais amigável e autocontida possível a relação entre a teoria da fatoração, focado em não-unicidade, e os problemas de soma-zero em combinatória aditiva (em particular, a constante de Davenport). Vamos apresentar os principais resultados e conjecturas sobre ρk(H). 

Resumo:

Neste minicurso apresentaremos os conceitos iniciais da teoria de grafos como os de um grafo, subgrafos, grau de um vértice, caminhos, conexidade, árvores, grafos completos, dentre outros. No final serão discutidos os grafos Eulerianos e Hamiltonianos, culminando com alguns resultados básicos sobre a Teoria dos grafos hamiltonianos como os Teoremas de Bondy, Chvátal e Dirac.