Equações de Navier-Stokes: Um Desafio Matemático do Milênio

Resumo: As equações de Navier-Stokes descrevem o movimento de fluidos viscosos incompressíveis e são fundamentais na física e na engenharia. Apesar de sua importância, a existência e a suavidade das soluções tridimensionais permanecem um questão em aberto, classificada como um dos sete Problemas do Milênio pelo Clay Mathematics Institute, com um prêmio de US$ 1 milhão para uma solução válida.

Nesta palestra, exploraremos os fundamentos físicos das equações de Navier-Stokes, abordando o comportamento de fluidos sob diferentes condições e as distinções entre soluções periódicas e não periódicas. Discutiremos os conteitos de existência e unicidade de soluções locais, critérios de regularidades e fenômenos de blow-up em espaços de Sobolev fracionários. Além disso, apresentaremos avanços recentes na área e destacamos questões ainda não resolvidas.

Sobre o decaimento da energia local para soluções de modelos dispersivos não lineares e não locais.

Resumo: Estudamos o comportamento assintótico, para tempos grandes, de soluções de grande amplitude da equação de Benjamin-Ono com dispersão generalizada. Por meio de identidades viriais, identificamos regiões espaciais ao redor da origem, que crescem sem limite no tempo e não contêm a região de possíveis sólitons, nas quais toda solução pertencente a um espaço de Sobolev apropriado necessariamente decai para zero ao longo de alguma sequência de tempos. Um resultado semelhante também é obtido para soluções da equação de Benjamin, um modelo para ondas gravitacionais-capilares solitárias em águas profundas ([1]). Também discutimos algumas aplicações dessa abordagem para soluções das equações de Kadomtsev-Petviashvili do tipo fracionária ([2]).

Referências bibliográficas:

[1] Nascimento, A. C.: On local energy decay for solutions of the dispersive generalized Benjamin-Ono equation. Submitted. (2025).

[2] Nascimento, A. C.: On local energy decay for large solutions of the fractional Kadomtsev-Petviashvili type equations. Submitted. (2025).

Análise teórica e computacional de um sistema termoelástico não linear

Resumo: Este artigo apresenta um estudo teórico e numérico de um sistema termoelástico não linear em um espaço n-dimensional. Na análise teórica, demonstra-se a existência de uma solução forte global no tempo, sua estabilidade, unicidade e que a energia apresenta uma taxa de decaimento exponencial. Na parte computacional, são apresentadas simulações para os casos unidimensional e bidimensional, a fim de investigar as soluções numéricas considerando diversos subespaços aproximados.

Alguns resultados sobre a g-estabilidade de hipersuperfícies em um conjunto de dados iniciais

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Observações sobre funções potenciais em variedades quasi-Einstein não compactas. 

Resumo: Um bom entendimento da taxa de crescimento e da unicidade da função potencial fornece informações fundamentais, uma vez que muitas propriedades-chave de classes especiais de variedades se baseiam nesses aspectos. Neste trabalho, estudamos potenciais m-quasi-Einstein em variedades não compactas. Mostramos que o espaço de todas as funções potenciais positivas em uma variedade quasi-Einstein tridimensional tem dimensão no máximo 2; no caso de igualdade, obtemos a classificação de tais variedades. Em seguida, investigamos o comportamento desses potenciais sob a hipótese adicional de que a variedade é assintoticamente flat e mostramos que toda variedade quasi-Einstein assintoticamente flat de dimensão n com λ=0 é necessariamente Ricci flat.

Teorema da Massa Positiva via conjuntos de nível de funções harmônicas

Resumo: Nesta palestra, apresentaremos uma demonstração do Teorema da Massa positiva baseada no estudo dos conjuntos de nível harmônicas, para variedades tridimensionais assintoticamente planas com fronteiras não compactas. Além disso, discutiremos a extensão para versão espaço-tempo no mesmo contexto.

Métodos de otimização livres de derivadas

Resumo: Em muitos problemas práticos de otimização, o acesso direto às derivadas das funções envolvidas nem sempre está disponível, o que torna seu cálculo desafiador.  Além disso, a avaliação da função objetivo e de suas derivadas pode ser computacionalmente custosa. Como resultado, há um interesse crescente em métodos que apresentem baixo custo computacional, mantendo, ao mesmo tempo, uma boa complexidade no pior caso em termos de número de avaliações de função e de iterações.  Nesse contexto, a pesquisa sobre métodos livres de derivadas avançou significativamente, especialmente em problemas de otimização escalar.  Nesta palestra, serão apresentadas algumas motivações para o estudo dessa classe de métodos, bem como resultados recentes e desafios teóricos e computacionais relacionados ao tema.

Métodos de Inversas Parciais de Spingarn: 

Versões Inexatas e Aplicações em Otimização.

Resumo: Nesta palestra apresentaremos uma visão geral do método das inversas parciais de Spingarn, com ênfase em versões inexatas, destacando o papel das inversas parciais como ferramenta na construção e análise de algoritmos de decomposição em otimização. Como aplicações, discutiremos um algoritmo inexato de decomposição, que generaliza o algoritmo clássico de Spingarn, e um algoritmo paralelo do tipo forward–backward para problemas de otimização convexa com múltiplos termos na função objetivo.

A matemática por trás das imagens digitais

Resumo: Descubra como a matemática dá vida às imagens digitais! Nesta palestra vamos entender, de forma simples e prática, como números, fórmulas e conceitos matemáticos (otimização) transformam pixels em fotos e efeitos visuais. Vamos mostrar como a matemática está presente em câmeras, rede sociais e exames médicos.