Resumo: The integral closure of an ideal is an algebraic object that has had many applications in various aspects of Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Furthermore, it has been used in Singularity Theory problems, such as in Teissier’s study on the equisingularity of families of hypersurface germs [5]. More specifically, Teissier algebraically characterized the equisingularity of families of complex hypersurfaces in terms of the integral closure of an ideal dependent on the family of analytic germs. With this, a complete characterization of the integral closure of ideals was formulated. Calculating the integral closure of an ideal is a challenging problem. However, there are some cases where it is possible to calculate the integral closure simply. The Newton polyhedron of an ideal I ⊆ On provides useful information about the integral closure \overline{I} and, in some cases, fully determines \overline{I}. For example, when I is an ideal generated by monomials of On, the integral closure \overline{I} of I is generated by the monomials x^k = x1^{k_1} ... xn^{k_n}, whose exponents k belong to the Newton polyhedron of I. This result was extended by Saia [4], characterizing the class of ideals I ⊆ On with integral closure generated by monomials whose exponents belong to its Newton polyhedron. In this work we extend the result mentioned above to the context of ideals of the analytical local ring O_{X(S)} of a toric variety X(S). We characterize the ideals in O_{X(S)} whose integral closure is generated by monomials with exponents belonging to the Newton polyhedron defined in cone(S) ⊆ Rn_{+}, where S is a finitely generated monoid in Zn_{+}.

This work was supported by the Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES), under the guidance of Tha´ıs Maria Dalbelo (UFSCar) and Thiago Filipe da Silva (UFES).

Referências:

[1] Araújo, A. S., Dalbelo, T. M., da Silva, T. Newton polyhedra and the integral closure of ideals on toric varieties, Preprint, 2024, https://arxiv.org/abs/2409.07986.

[2] Brasselet, J.-P. Introduction to Toric Varieties}. Publicações matemáticas. IMPA, 2004.

[3] Kempf, G., Knudsen,F., Mumford, D.G., Saint-Donat, B. Toroidal Embeddings I. Springer Berlin Heidel- berg, 1973.

[4] Saia, M. J. The integral closure of ideals and the Newton filtration. J. Algebraic Geometry {\bf 5} , 1-11, 1996.

[5] Teissier, B. Monômes, volumes et multiplicités. In Introduction à la théorie des singularités II,  127 - 141. Travaux en Cours 37, Hermann, Paris, 1988.

Resumo: Mixed functions are real analytic functions on complex variables and their conjugates. They generalize complex functions and inherit several properties from this context. In particular, it is a well-known fact that links of complex varieties with an isolated singularity are contact submanifolds of the sphere with a canonical contact structure. We present the foundations of these constructions and a result due to M. Oka showing that this still holds for certain mixed varieties. Moreover, some classes of mixed links are ambient diffeomorphic with holomorphic ones, allowing us to define a new induced contact structure. In this case, we address the problem of comparing both structures. 

This is a thesis project under the supervision of Maria Aparecida Ruas (USP) and José Seade (UNAM).

Resumo: Neste trabalho, apresentamos o número de Milnor e o número de Tjurina de uma folheação holomorfa unidimensional F no plano complexo. Posteriormente, definimos o k-ésimo número de Milnor e o k-ésimo número de Tjurina do germe de uma folheação holomorfa F em (C2, 0) com singularidade reduzida do tipo não degenerada e do tipo sela-nó. Apresentamos também a relação entre os números de Milnor e Tjurina de uma folheação singular F com respeito a um divisor equilibrado de separatrizes B para F[2]. Por fim, estudamos a relação entre o k-ésimo número de Milnor e o k-ésimo número de Tjurina com respeito a uma separatriz C de F. 

Trabalho em conjunto com Arturo Ulisses Fernández Pérez (UFMG).

Referências:

[1] A. Dimca, On free and plus-one generated curves arising from free curves by addition-deletion of a line (2023), arXiv: 2310.08972.

[2] A. Fernández-Pérez, E.R. García Barroso, N. Saravia-Molina, On Milnor and Tjurina numbers of foliations (2021), arXiv: 2112.14519.

[3] A. Fernández-Pérez, R. Mol, Residue-type indices and holomorphic foliations. Ann. Sc.Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5), Vol. XIX (2019), 1111-1134.

[4] R. M. Benazic Tome, A resolution theorem for absolutely isolated singularities of holomorphic vector fields. Bol. Soc. Bras. Mat. 28 (1997), 211-231.

[5] C. Camacho, A. Lins Neto, P. Sad, Topological invariants and equidesingularization for holomorphic vector fields. J. Differential Geom. 20 (1) (1984), 143-174.

[6] D. Eisenbud, The geometry of syzygies, Vol. 229. New York: Springer, (2005).

[7] A. Elashvili, G. Khimshiashvili, Lie Algebras of Simple Hypersurface Singularities, (2006).

[8] A. Fernández-Pérez, G. Marra, Local Normal Forms of Singular Levi-Flat Hypersurfaces. J. Geom. Anal. 29 (2019), 2776–2804.

[9] N. Hussain, Z. Liu, S. ST. Yau et al. k-th Milnor numbers and k-th Tjurina numbers of weighted homogeneous singularities. Geom. Dedicata 217, 34 (2023).

[10] J.F. Mattei, Quasi-homogénéité etéquiréductibilité de feuilletages holomorphes en dimension deux, Géométrie complexe et systèmes dynamiques (Orsay, 1995), Astérisque 261 (2000), 253-276.

[11] J. F. Mattei, R. Moussu, Holonomie et intégrales premieres. Annales Scientifiques de l’´Ecole Normale Supérieure, Vol. 13, No. 4. (1980).

[12] W. Fulton, Algebraic Curves, W. A. Benjamin, New York, (2008).

Resumo:  O número de Milnor μ(f) associado a um germe de função analítica f : (Kn, 0) → (K, 0) com singularidade isolada tem sido amplamente investigado desde sua introdução nos trabalhos seminais de Milnor [2]. Quando K = C, Lê [1] demonstrou que μ(f) é um invariante topológico. No entanto, essa propriedade não se verifica no caso real (K = R). Um exemplo clássico, dado por Wall [3], considera as funções f_{ij}:Rn →R, definidas por 

f_{ij}(x1, . . . , xn)=x1^{2i} + x2^2 + · · · + xj^2 − x{j+1}^2 − · · · − xn^2.

Nesse caso, o tipo homotópico de V(f_{ij}) é determinado por j e n, enquanto μ(f_{ij})=2i - 1, evidenciando a dependência de μ(f) em aspectos não topológicos.

No contexto da Geometria Métrica, surge naturalmente a questão de sob quais condições o número de Milnor  é um invariante bi-Lipschitz. Este trabalho investiga essa questão para aplicações F: Rn → Rk, considerando a equivalência R-bi-Lipschitz. Para isso, introduzimos novos conceitos, como a ordem de F e a α-derivada de F, ambos invariantes Lipschitz. Em particular, obtemos como consequência a invariância R-bi-Lipschitz do número de Milnor para uma classe específica de germes de fuções suaves f:(Rn, 0) → (R, 0).

Trabalho em colaboração com J. Edson Sampaio (UFC) e Emanoel Souza (IMPA).

Referências

[1] Lê, Dûng Tráng. Topologie des singularités des hypersurfaces complexes. Singularités à Cargèse, Astérisque, vol. 7, pp. 171–182, Société Mathématique de France, 1973.

[2] Milnor, J. Singular Points of Complex Hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies, vol. 61, Princeton University Press, 1968.

[3] Wall, C. T. C. Topological invariance of the Milnor number mod 2. Topology, vol. 22, no. 3, pp. 345–350, 1983.

Resumo: Neste trabalho discutimos a noção de índices de campos de vetores e 1-formas para variedades regulares reais e complexas e generalizamos para variedades singulares. Estudamos o Teorema de Poincaré-Hopf que relaciona a soma dos índices de um ponto singular isolado de um campo de vetor em uma variedade compacta, e sem bordo, com a característica de Euler da variedade ambiente. Para variedades complexas e compactas, o índice de campo de vetores e de 1-formas é relacionado com a característica de Euler da variedade, que neste caso trata-se da classe top de Chern. Generalizamos este resultado para variedades singulares e estudamos outros índices para campos de vetores e 1-formas em singularidades e singularidades isoladas: o índice radial (Schwartz), o índice GSV, o índice de Poincaré-Hopf e o índice homológico. Para este estudo, calculou-se estes índices através de métodos topológicos e formas algébricas. Relacionamos os resultados obtidos com outros invariantes topológicos, como o número de Milnor e a característica de Euler da variedade.

Trabalho sob a orientação de Arturo Ulises Fernandéz Pérez (UFMG) e Gilcione Nonato Costa (UFMG).

Palavras-chave: 1-formas; campos de vetores; índices; singularidades isoladas; variedades regulares; variedades singulares.

Resumo: In 2009, Tobias Dyckerhoff introduced in his doctoral thesis that for regular local rings we have HMF^π(R, w) ∼ HMF(\hat{R}, w). In this talk I intend to explain some results related to the derived category of singularities and its applications in Mirror symmetry.

Keywords: Derived categories, Matrix factorization, Idempotent completion.

Resumo: Nesta apresentação vamos exibir a forma normal de curvas parametrizadas em C3 de multiplicidade 4, utilizando a relação de A-equivalencia. Gibson e Hobbs classificaram os germes de curvas simples em C3, as quais incluem todas as curvas de multiplicidade 3 e algumas de multiplicidade 4. Nossa estratégia para obter tal classificação é utilizar determinadas diferenciais de Kahler de modo a caracterizar os difeomorfismos que nos permitem eliminar termos em uma dada componente da curva, sem reintroduzir novos termos em outra componente. Nosso objetivo é manipular cuidadosamente essa interdependência entre as componentes, fazendo todas as eliminações possíveis em uma componente sem interferir nas demais.

Referência:

Gibson, C. G., Hobbs, C. A., Simple singularities of space curves, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1993), 297-310.