Universidade Federal de Integração Latino-Americana

em que k ≥ 2 e φ^k é um polinômio homogêneo de grau k, que mantêm a parte linear e possivelmente eliminam termos de grau k ≥ 2 do campo vetorial original, obtendo um campo vetorial formalmente conjugado ao original. Para cada k ≥ 2, a equação de grau k truncada da série de potências associada ao campo obtido é chamada de uma forma normal de ordem k do sistema. Com o passar dos anos, alguns métodos foram desenvolvidos para a obtenção de formas normais. Por exemplo, Elphick et al. [3] fornecem um método algébrico no qual é possível obter a forma normal escolhendo termos não lineares que comutam com a ação de um grupo S a um parâmetro dado pelo fecho do conjunto

R = {e^{sL} : s ∈ R},

em que L é a linearização do sistema. Nessa mesma linha, no contexto com simetrias, Baptistelli, Manoel e Zeli [1] desenvolvem um método algébrico para a obtenção de formas normais que preservem as simetrias do sistema inicial. Nesse contexto, simetrias são aplicações que preservam o retrato de fases do sistema a menos de direção no tempo. O objetivo desta comunicação é apresentar um método para determinar formas normais de sistemas hamiltonianos em presença de simetrias, levando em consideração não somente os tipos de simetrias mas também a condição hamiltoniana do sistema original desde o início do processo a fim de preservá-los na forma normal. O método é baseado no apresentado por Elphick et al. [3] e reduz o problema de encontrar uma forma normal de um sistema hamiltoniano ao de determinar uma base de Hilbert para o anel das funções invariantes por um grupo que contém o fecho de R. Essa abordagem difere do caso geral com simetrias, entre outros motivos, porque os cálculos são feitos no nível das funções invariantes, enquanto que no caso geral são feitos no nível das aplicações que comutam com a ação de um grupo. Os detalhes do resultado constam em Baptistelli, Rodrigues Hernandes e Terezio [2].

[1] P. H. Baptistelli, M. Manoel, and I. O. Zeli, Normal form theory for reversible equivariant vector fields, Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series, 47(3):935–954, 2016.

[2] P. H. Baptistelli, M. E. Rodrigues Hernandes, and E. M. Terezio. Normal Forms of -Hamiltonian Vector Fields with Symmetries. Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, New Series, 54(3):33, 2023.

[3] C. Elphick, E. Tirapegui, M. E. Brachet, P. Coullet, and G. Iooss, A simple global characterization for normal forms of singular vector fields, Physica D: Nonlinear Phenomena, 29(1-2):95–127, 1987.

Data: 17/02/2025

Horário: 10h40

Local: Bloco F67 (Dep. de Matemática) da UEM