Cursillo "¿Qué tienen de especial las álgebras y los grupos de Lie nilpotentes?"

Mauricio Godoy, Universidad de La Frontera.

Resumen: Muchas y muchos matemáticos en el mundo estudian específicamente los casos nilpotentes en la teoría de Lie, ya sea por razones geométricas, algebraicas o analíticas. Este nivel de especialización parece demasiado restrictivo si uno no conoce algunas de las peculiaridades que hacen que estos grupos sean deseables de estudiar. La idea de este cursillo es presentar una subcolección de rarezas de estos grupos y sus álgebras de Lie que respondan la pregunta del título y expliquen su popularidad.

Cursillo "Introducción a la geometría tórica"

Álvaro Liendo, Universidad de Talca.

Resumen: La geometría tórica es un área de las matemáticas situada en la intersección del álgebra, la geometría y la combinatoria. Su atractivo reside en que las variedades tóricas pueden describirse a partir de datos puramente combinatorios, como polítopos y conos racionales, lo que permite traducir problemas geométricos en problemas combinatorios. En este minicurso introductorio presentaremos las nociones fundamentales del tema: desde la construcción de variedades tórica a partir de abanicos hasta ejemplos concretos de superficies y variedades proyectivas.

Cursillo "Sobre la racionalidad de las hipersuperficies cúbicas"

Yulieth Prieto, Pontificia Universidad Católica de Chile.

Resumen: La cuestión de la racionalidad de las hipersuperficies ha sido objeto de estudio desde hace mucho tiempo. Entre ellas, las hipersuperficies cúbicas, aquellas definidas por un polinomio homogéneo de grado tres, han despertado un interés particular en las últimas décadas. Es bien sabido que las superficies cúbicas son racionales, mientras que las tres-variedades cúbicas no lo son, gracias a los trabajos de Clemens y Griffiths.

Aunque se han obtenido avances significativos y se conocen ejemplos de cúbicas racionales, la racionalidad aún no ha sido demostrada en su mayor generalidad. De hecho, un ejemplo explícito de una 4-variedad cúbica irracional solo se ha establecido en el caso muy general, gracias a trabajos recientes de Katzarkov, Kontsevich, Pantev y Yu.

En este minicurso estudiaremos el caso de las 4-variedades cúbicas especiales, utilizando un lenguaje que combina herramientas clásicas de la geometría algebraica con desarrollos más modernos, como la teoría de Hodge y la teoría de espacios de moduli, un enfoque introducido en los trabajos de Hassett.

Cursillo "Variedades Abelianas"

Anita M. Rojas, Universidad de Chile.

Resumen: Comenzaremos presentando los objetos de estudio; toros complejos y variedades abelianas. Mostraremos cómo resultados de álgebra, específicamente de teoría de representaciones, permiten estudiar algo de la geometría de estos objetos. Concentrándonos en descomposiciones y presentando ejemplos concretos.

Cursillo "Topología de variedades algebraicas complejas"

Roberto Villaflor, Universidad Técnica Federico Santa María.

Resumen: En este cursillo hablaremos de resultados clásicos de Lefschetz que permiten estudiar los grupos de homología de variedades complejas proyectivas suaves. Motivaremos las bases de la teoría de homología singular para luego pasar a aplicaciones de los teoremas de Lefschetz calculando dichos grupos en ejemplos concretos.